Курс лекций для специальности Прикладная математика и информатика

Вид материала

Курс лекций

Подобный материал:

• Программа по курсу "Математика. Алгебра и геометрия" для специальности 080801 (351400), 143.45kb.
• Программа вступительного экзамена по математике подготовки магистров по направлению, 86.94kb.
• Программа дисциплины дс. 08 «Информационная безопасность» для студентов специальности, 149.66kb.
• Программа дисциплины ф дифференциальные уравнения для студентов специальности 010501, 101.63kb.
• Программа дисциплины математический анализ и обыкновенные дифференциальные уравнения., 139.76kb.
• Рабочая программа по дисциплине «принятие управленческих решений» (по выбору) для специальности, 89.25kb.
• Программа дисциплины Современная прикладная алгебра для направления 010500 Прикладная, 214.78kb.
• Программа дисциплины ф. 8 Общая физика Разделы «Механика», «Колебания и волны», «Молекулярная, 113.79kb.
• «Прикладная математика и информатика», 3781.56kb.
• Основная образовательная программа специальности высшего профессионального образования, 68.9kb.

§10. Функция распределения случайной величины и её свойства.

Пусть на некотором вероятностном пространстве



Заметим, что _

Определение.

Функцией распределения случайной величины _ функцию _: _.

Замечание. _

Покажем справедливость последнего равенства.

Имеем



Таким образом, мы можем утверждать, что функция распределения и распределение однозначно определяют друг друга.

Свойства функции распределения.

1) 0_;

2) _

3)_

4)<sub>

</sub>

Доказательство.

1. _=_;
   
2. Если _, то _=_.
   
3. Необходимо показать, что _ (*)
   

Пусть

и

Рассмотрим - последовательность “расширяющихся событий” и .

По свойству вероятности .

Таким образом, (*) выполнено.

Замечание: Если бы мы определили функцию распределения равенством: , тогда свойство 3) необходимо заменить на непрерывность справа.

4. Рассмотрим событие ; ; .
   

По свойству вероятности .

Но .

Но это возможно только когда первое слагаемое равно 1, а второе равно 0.

Доказали для . Пользуясь свойством 2) (монотонностью функции распределения) распространяем это свойство на все x.

Теорема: Пусть :_ и удовлетворяет свойствам 2,3,4. Тогда - функция распределения некоторой случайной величины.

Доказательство: Пусть , = , определим сначала на полуоткрытых интервалах равенством: . Затем естественным образом продлим на все измеримые подмножества прямой. Здесь - вероятностная мера (что легко проверяется).

Таким образом, определили вероятностное пространство: _, .

Пусть ; - случайная величина.

Имеем , т.е. теорема доказана.


Задача: Задан конечный набор функций распределения: , числа : - функция распределения?


§11. Различные типы распределения случайных величин.

1.Случайные величины с дискретным законом распределения.

Определение:

- с дискретным законом распределения : -не более чем счетное (нбчс) и .

Так как - нбчс, то занумеруем элементы множества =

Составим таблицу:

			…
			…

где = .

Эту таблицу будем называть законом распределения случайной величины .

Пример: Пусть (т.е. все значения упорядочены по возрастанию, хотя это и не обязательно). Рассмотрим функцию распределения.

и =


График функции распределения – ступенчатая функция.


Свойства :

и

Это следует из равенств:




Примеры (наиболее распространенных случайных величин с дискретным законом распределения)

₁₎

- случайная величина с вырожденным распределением в точке .

Ее закон

распределения и

график функции

распределения:

	1

2) - с распределением Бернулли

Таблица: ()

	0	1

₃₎

- с биномиальным распределением с параметрами и

принимает значения: 0, 1, 2, …, и число успехов в испытаниях Бернулли



₄₎

- с распределением Пуассона с параметром

принимает значения: 0, 1, 2, 3, … и


Лекция 6 (12.10.10)

2. Случайные величины с абсолютно непрерывным распределением.
   

Определение:

- с абсолютно непрерывным распределением _ , где - функция, которую будем называть плотностью распределения случайной величины .

В частности, если , то

Таким образом, = почти всюду.


Свойства :

1. почти всюду
   
2. =1
   

Примеры (наиболее распространенных случайных величин с абсолютно непрерывным распределением)

1. - с равномерным распределением на ;
   

Обозначение

Это означает, что: _{плотность}

График функции распределения:

2. - с экспоненциальным распределением с параметром
   

Это означает, что: _{плотность}

График функции распределения:

3. - с нормальным (гауссовским) законом распределения с параметрами , , где , .
   

Обозначение:



Если , - со стандартным нормальным распределением.

При этом



Графики плотности и функции распределения:



4. - с распределением Коши.
   

Графики:

плотностьфункция распр.

3.Сингулярные случайные величины – те, у которых функция распределения непрерывна, но ее производная почти всюду равна 0.

_{Определение.}

- точка роста

Если - с сингулярным распределением, то у функции распределения множество точек роста образует множество меры нуль.