Курс лекций для специальности Прикладная математика и информатика

Вид материала

Курс лекций

Содержание Теорема (Интегральная теорема Муавра - Лапласа). Теорема (Пуассона)

Подобный материал:

• Программа по курсу "Математика. Алгебра и геометрия" для специальности 080801 (351400), 143.45kb.
• Программа вступительного экзамена по математике подготовки магистров по направлению, 86.94kb.
• Программа дисциплины дс. 08 «Информационная безопасность» для студентов специальности, 149.66kb.
• Программа дисциплины ф дифференциальные уравнения для студентов специальности 010501, 101.63kb.
• Программа дисциплины математический анализ и обыкновенные дифференциальные уравнения., 139.76kb.
• Рабочая программа по дисциплине «принятие управленческих решений» (по выбору) для специальности, 89.25kb.
• Программа дисциплины Современная прикладная алгебра для направления 010500 Прикладная, 214.78kb.
• Программа дисциплины ф. 8 Общая физика Разделы «Механика», «Колебания и волны», «Молекулярная, 113.79kb.
• «Прикладная математика и информатика», 3781.56kb.
• Основная образовательная программа специальности высшего профессионального образования, 68.9kb.

§8.Предельные теоремы в схеме Бернулли.

По-прежнему рассматриваем испытаний Бернулли. И нас по-прежнему интересует величина . Вы скажете, а зачем нам что-то искать, есть же: . Хорошо, а что делать в случае 10000-кратного подбрасывания монеты? Например. Большое это число или маленькое?

Каков же ответ? Будем вычислять с некоторой погрешностью.

Рассмотрим испытаний Бернулли, ,-число успехов в испытаниях.

Локальная теорема Муавра-Лапласа. Справедливо следующее соотношение

равномерно по k: при фиксированном . Это означает, что

, где

-функция Гаусса.

Для функции существуют таблицы, которые показывают значения функции в различных точках. Таблицы устроены следующим образом:

X	1	2	…	8	9
0,0
0,1
…
1,4
…

_{Доказательство (теоремы):}

Будем пользоваться следующими утверждениями, известными из курса математического анализа:

Лемма 1 (Формула Стирлинга).

Лемма 2. где для всех

_Имеем



,

Запишем, что такое



Рассмотрим







Итак, .



Перепишем . Теорема доказана.


Лекция 4. (28.09.10)

Задача: Пусть есть 2 числа _ и _ : 0 _{ } n.

Как вычислить



Возникают сложности: 1) в степенях, 2) в количестве слагаемых.

Можно заменить на приближение (по локальной теореме), но тогда погрешность может быть очень большой!

Ответ дается в следующей теореме.

Теорема (Интегральная теорема Муавра - Лапласа).

Справедливо равенство:



Здесь k – число успехов, n – число испытаний.

Следствие из теоремы:

Доказательство этой теоремы последует в курсе позже, как частный случай более общей теоремы.

Как применять теорему? Если n очень большое, то

Обозначим

Свойства функции :

1) и ;

2) строго возрастает;

3) ;

4) ;




Существуют таблицы для :

X	1	2	…	8	9
0,0
0,1
0,2
…
1,2
…

Рассмотрим новую задачу.

Пусть N=n, k - фикс. Вопрос: как при больших n найти вероятность получения ровно k успехов, если p мало? В этом случае локальная теорема Муавра-Лапласа дает слишком большую погрешность.

Теорема (Пуассона)

Будем рассматривать серии независимых испытаний Бернулли.

Пусть _11 – серия из одного испытания с вероятностью успеха ;

_21 , _22 – серия из двух независимых испытаний с вероятностью успеха в каждом из них ;

….

_n1 , …,_nn – серия из n независимых испытаний с вероятностью успеха в каждом из них ;

Обозначим . Тогда для фиксированного числа справедливо соотношение:

Следствие: Пусть . Тогда для любого фиксированного .

Доказательство (теоремы):

Будем пользоваться следующими 3-мя простыми утверждениями, которые встречались в курсе математического анализа:

Утв.1 равномерно для

Утв.2 для любого фиксированного

Утв.3 для любых


Рассмотрим только те , которые удовлетворяют неравенству .

= =

Теорема будет доказана

Из утв.2 следует: :

Множество всех разобьем на 2 непересекающихся подмножества:

Пусть , если , , если .

Не ограничивая общности, предположим, что оба эти подмножества счётные.

,будем оценивать и (по 3 утв.)

. Тогда






Показали, что при + может быть сколь угодно маленькой.

Примеры ( применения трёх теорем).

1. Есть 1460 аспирантов и студентов. Р( хотя бы у одного День Рождения 1 января)=?
   

Рассматриваем случай не високосного года. Проводим опрос: ответ «Да»-успех, «Нет»-неудача.



Р( хотя бы у одного ДР 1 января)= (т. Пуассона)

2. Есть 1600 студентов и аспирантов. Какова вероятность, что у 420 человек ДР приходится на летний период?
   

Пусть все сезоны одинаковы по длительности По локальной теореме Муавра-Лапласа




А какова вероятность, что у 400 человек ДР приходится на летний период?

3. Количество людей, у которых ДР летом, не больше 420.
   

Теорема ( Закон больших чисел Бернулли).

Пусть ,число успехов в испытаниях. Тогда для



(частота успеха)

Доказательство.




Лекция 5 (5.10.10)

§9. Случайные величины и их распределение.

Рассмотрим вероятностное пространство .

Определение.

Функция , -измерима -случайная величина.

Это означает, что для любого измеримого подмножества (-множество, измеримое по Лебегу по прямой) прообраз .

Рассмотрим случай, когда функция является случайной величиной и когда нет.

Возьмём это мера каждого отрезка, т.е.

a)

не случайная величина.

б) это случайная величина.



Любая является случайной величиной.

Задание: Описать все возможные случайные величины для такого вероятностного пространства.

Что же нам даёт случайная величина?

Рассмотрим функцию _, _ называется распределением случайной величины _.

Теорема. _-вероятность, заданная на .

Доказательство. Проверим 3 свойства вероятности.

1. _
   
2. _=_=_
   
3. _
   

<sub>

</sub>()=_.

Смысл введения случайной величины:

(_. Мы перешли к другому вероятностному пространству.