Geum.ru

Курс лекций для специальности Прикладная математика и информатика

Вид материалаКурс лекций

Содержание


Пример (парадокс Монти Холла)
Уу…унун…н )
Подобный материал:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11
§5. Формула полной вероятности. Формула Байеса.

Определение

-набор случайных событий. Мы будем называть его полной системой событий

1) ;

2) ;

Теорема (Формула полной вероятности).

Пусть - полная система событий. .

Тогда для случайного события вероятность этого события можно вычислить по формуле

.

Доказательство.



Замечание. Формула полной вероятности верна, если вместо полной системы событий будем считать, что .

Теорема(Формула Байеса).

Пусть - полная система событий. , , .

Тогда .

Доказательство.




Пример.

Представим, что хотим провести эксперимент. Имеется ящик, а в нем 10 белых и 6 чёрных шариков. Два шарика по дороге потерялись, неизвестно какие. Затем из ящика наугад достали 3 шарика.


  1. Р(2 белых и 1 чёрный)=?

Введём 3 следующих события:

С1=потеряли 2 белых шарика;

С2=потеряли 1 чёрный и 1 белый шарик;

С3=потеряли 2 чёрных шарика.

С1, С2, С3-полная система событий.

Пусть событие 2 белых и 1 чёрный,

Воспользуемся формулой полной вероятности



2)Рассмотрим теперь другой случай




Пример (парадокс Монти Холла): Представьте, что вы стали участником игры, в которой вам нужно выбрать одну из трех дверей. За одной из дверей находится автомобиль, за двумя другими дверями — козы. Вы выбираете одну из дверей, например, номер 1, после этого ведущий, который знает, где находится автомобиль, а где — козы, открывает одну из оставшихся дверей, например, номер 3, за которой (он знает) находится коза. После этого он спрашивает вас, не желаете ли вы изменить свой выбор и выбрать дверь номер 2. Увеличатся ли ваши шансы выиграть автомобиль, если вы примете предложение ведущего и измените свой выбор?


§6.Независимость событий

Пусть . Что значит, что они независимы?

Интуитивно понимаем так: происхождение или непроисхождение события В не должно влиять на происхождение или непроисхождение события А.

Определение

 – независимые события

Замечания 1: Пусть  0. Тогда  - независимые  

2: События  - независимы   - независимы.

Доказательство замечания 2. Имеем  =  , но

 + 

 (1 - ) = 

  =  - это и есть определение независимости событий .

Примеры независимых событий:
  1. 3 раза подкидываем монету

Выпишем результаты: (О О О), (О О Р), (О Р О), (Р О О), (Р Р О), (Р О Р), (О Р Р), (Р Р Р).

Считаем, что все 8 результатов равновероятны.

Пусть событие  = (на первом месте О), событие  = (нечетное число О).

Тогда  = = = 

 = ,  =

Вывод : независимость по определению.

Определения

Рассмотрим события
  1. попарно независимы - независимы при
  2. независимы в совокупности или взаимно независимы  если k n и

 1  n  ( ) = 

Заметим, что понятие 2 более сложное, чем 1. И из 2 1, обратное неверно.

Пример, когда из 1 не следует 2 (пример Бернштейна):

Имеется правильный тетраэдр, все грани которого - правильные треугольники, раскрашенные в один из четырех цветов – Белый, Красный, Синий, Пестрый (БКС).

Нас будет интересовать грань, которая окажется внизу, и одно из трех событий – Б,К,С. (Б – на нижней грани присутствует белый цвет и так далее.)

 =

Будут ли они попарно независимы?

 = =  (Б) 

А теперь для независимости в совокупности:

  =  (Б) 

Вывод: понятия попарной независимости и независимости в совокупности различны.

Независимость - алгебр

Пусть имеется ( ) – вероятностное пространство.

Пусть 1 - - алгебра событий ,  - алгебра

2 - - алгебра событий 

1 и 2 – независимые  - алгебры, если   и  2 события  являются независимыми.


Пример:
  1. Невозможное событие независимо с любым другим событием.
  2. Достоверное событие независимо с любым другим событием.
  3. Вероятность Р - площадь кусочка

Рассмотрим  – алгебру измеримых по Лебегу подмножеств прямой.

1-- - алгебра на оси ОХ;

2 - - алгебра на оси ОУ;


Тогда

1={ | 1 } и

2={ 2 } независимые  – алгебры.


Лекция 3 (21.09.10)

§7. Испытания Бернулли. Формула Бернулли.

Рассмотрим вероятностное пространство ( ).

Определения:

1.  - испытание – это разбиение множества элементарных событий на попарно несовместные.

Т.е.  = { }, и ;

2. Рассмотрим два испытания: 1= {}; 2 = { }

1 и 2 - независимые испытания, если - независимые.

Пусть имеются несколько испытаний 1, 2, …, k. Они независимы - взаимно независимые события.

Примеры: 1) Рассмотрим двукратное подбрасывание симметричной монеты:

= { (ОО), (ОР), (РО), (РР)}; Все исходы равновероятны.

1 = {}, где ={(ОО),(ОР)} - первый элемент – О

= {(РО),(РР)} - первый элемент – Р

2 = { }, где = {(ОО),(РО)} - второй элемент – О

= {(ОР),(РР)} - второй элемент – Р

= {(ОО)} = = *=

= = , где = {(ОО),(ОР)} , = {(ОО),(РО)} .

Таким образом, убедились в независимости испытаний.

2) одновременное подбрасывание монетки и кубика: = { (0,1), (0,2), …,(0,6), (Р1), …,(Р6)}, все исходы равновероятны, =

1 = {}, где ={на монетке выпал орел}, = {на монетке выпала решка}

2 = { }, где = {на кубике выпала i-я грань}.

Эти испытания независимы.

Определение:

n испытаний Бернулли – это n независимых испытаний с двумя исходами в каждом испытании, условно называемые «успехом» и «неудачей», и с постоянной вероятностью «успеха» во всех испытаниях.


Пусть 1, 2, …, n - независимые испытания

k = {Уk , Нk}, Уk = p k

Пусть событие = {в n испытаниях произошло ровно k успехов}

Обозначение: =

Рассматриваем объединение попарно несовместных событий: = (УУ…УН…Н) (УУ…УНУН…Н ) …,

где в каждой комбинации из символов У и Н k штук У и (n-k) штук Н;

Рассмотрим цепочку и посчитаем УУНУ…НУ, где k успехов и (n-k) неудач.

УУНУ…НУ = У1 У2 Н3 Н4 … Нn-1 Уn= pk * (1-p)n-k = pk * qn-k , где qn-k=(1-p)n-k

Сколько таких цепочек? Ответ - . Итак, получаем

= ** - Формула Бернулли

Следствия:
  1. =
  2. =
  3. хотя бы один успех=



Задача: Рассмотрим n испытаний Бернулли, 1 У = , где 0<<1

Пусть - наивероятнейшее число успехов в n испытаниях, n, p – известны, = ?

Найдем все такие k, для которых выполняется неравенство





Возможны 2 ситуации:

1 .


= [] – одно наивероятнейшее число успехов.

2 .



Если , то

То два наивероятнейших числа успехов.

Пример: Возьмем симметричную монету.

Каково наиболее вероятное число успехов (орлов) при подбрасывании 10 раз? Ответ - 5.

Каково наиболее вероятное число успехов (орлов) при подбрасывании 13 раз? Ответ - 6 и 7.