Курс лекций для специальности Прикладная математика и информатика

Вид материала

Курс лекций

Содержание Существует несколько различных теорем, в которых даются условия решения этой задачи. Приведем одно из условий. Число называется

Подобный материал:

• Программа по курсу "Математика. Алгебра и геометрия" для специальности 080801 (351400), 143.45kb.
• Программа вступительного экзамена по математике подготовки магистров по направлению, 86.94kb.
• Программа дисциплины дс. 08 «Информационная безопасность» для студентов специальности, 149.66kb.
• Программа дисциплины ф дифференциальные уравнения для студентов специальности 010501, 101.63kb.
• Программа дисциплины математический анализ и обыкновенные дифференциальные уравнения., 139.76kb.
• Рабочая программа по дисциплине «принятие управленческих решений» (по выбору) для специальности, 89.25kb.
• Программа дисциплины Современная прикладная алгебра для направления 010500 Прикладная, 214.78kb.
• Программа дисциплины ф. 8 Общая физика Разделы «Механика», «Колебания и волны», «Молекулярная, 113.79kb.
• «Прикладная математика и информатика», 3781.56kb.
• Основная образовательная программа специальности высшего профессионального образования, 68.9kb.

§17. Моменты случайной величины

Пусть на некотором вероятностном пространстве _.

Пусть .

Определения:

1. Моментом -го порядка случайной величины наз. число , если это число существует.
   
2. Число наз. центральным моментом -го порядка случайной величины .
   
3. Число наз. абсолютным моментом -го порядка случайной величины .
   
4. Число наз. центральным абсолютным моментом -го порядка случайной величины .
   

Замечание. Все определенные моменты либо одновременно существуют, либо отсутствуют.

Свойства моментов:

1. Пусть и существует . Тогда существует и .
   

Доказательство. Всегда справедливо неравенство

2. Неравенство Гельдера:
   

: для любых случайных величин (если их моменты существуют).

Доказательство. В курсе математического анализа для интегралов было неравенство (неравенство Гельдера для интегралов)

2’) Неравенство Коши – Буняковского – Шварца ():

3. Неравенство Ляпунова ():
   

Иначе: введем функцию - не убывает.

Доказательство. Имеет место равенство . Воспользуемся неравенством Гельдера:

= {где = 1} =

Проблема моментов. Пусть имеется набор чисел

Существует ли такая случайная величина , что ? И если существует, то она единственная?

Существует несколько различных теорем, в которых даются условия решения этой задачи. Приведем одно из условий.

Проблема моментов разрешима единственным образом, если

.


Пусть имеется случайных величин , определенных на одном и том же вероятностном пространстве _.

Обозначим случайный вектор .

Пусть , .

Определение:

Число называется смешанным моментом порядка случайных величин .


Замечание: Если для всех существует (момент порядка ), то существует и смешанный момент порядка для - .

Доказательство. ≤ = { по неравенству Гельдера}=

= .


Рассмотрим .

Определения:

1. Обозначим - ковариация случайных величин и .
   
2. Составим матрицу . Это ковариационная матрица случайного вектора .
   

Пусть далее

- матрица, составленная из случайных величин . Определим .


Рассмотрим случайный вектор .

Тогда , где - ковариационная матрица.


Свойства ковариационной матрицы :

1. - не случайный вектор .
   

Доказательство.

2. - не случайная матрица
   

Доказательство.

Предположим, что , и в этом случае . Понятно, что





_{Замечание.}

Пусть - независимы. Тогда .


§18. Ковариация и коэффициенты корреляции.

случайные величины, определенные на одном и том же вероятностном пространстве .



Свойства ковариации:

1. ;

2. независимые сл. величины ;

3. - числа

Пусть случайные величины, у которых сущ. .

Число называется коэффициентом корреляции.

Замечание. (к определению)

. При этом .

было свойство.



Таким образом, говорим, что провели центрирование и нормирование случайной величины.

Свойства коэффициента корреляции:

1. (т. е. )
   
2. независимые сл. величины
   
3. Если то (т. е. и линейно связные с вер.=1)
   

и (положительное число)

(т. е. у тот же знак, что и у коэффициента корреляции)


Доказательство свойств.

1. 
   

Таким образом

_{2) Следует из свойств для ковариации.}

3) Пусть



(заметим, что если , то )



Пусть

(если , то )




Задача. зависимые сл. величины : () – случайный вектор – равномерно распределён в

круге К: т.е. имеется плотность

_, где _=

Чему равен -?


Лекция 11 ( 16.11.10)

§19. Неравенство Чебышева

Пусть на некотором вероятностном пространстве _, причем

<sub> - неотрицательная.

Лемма (Неравенство Маркова)

Для любого t>0 и любой неотрицательной случайной величины  справедливо неравенство:</sub>



Доказательство.

Рассмотрим {где } , где .


Следствия:

1. , - четная, и не убывает на . Тогда для любого
   

.

Доказательство (следствия 1).

_.

2. Существует . Тогда для любого
   

.

{Из 1-го следствия, рассматривая , получаем неравенство Чебышева}

§20. Различные виды сходимостей случайных величин

Пусть на некотором вероятностном пространстве <sub>

Определения.</sub>

1. Сходимость по вероятности
   

.

2. Сходимость с вероятностью 1 или почти наверное
   

п. н. .

3. Сходимость в среднем порядка _
   

существуют и и .

4. Сходимость по распределению
   

- точки непрерывности .


Замечание: в пункте IV сходятся не случайные величины, а их функции распределения. При этом случайные величины могут быть далеки друг от друга.

Пример: ,

, ; , .

и



Теорема: (О соотношениях между видами сходимостей)

, , .

Доказательство.



_.







2

{Пусть , тогда ( )}

.

Отметим, что = ;

=

= _.



Пусть случайные величины. Тогда всегда верно:



Тогда

Пусть - точка непрерывности функции распределения .



Устремим и получим в 1) и 2) соотношениях:



А теперь устремим



Поскольку верхний и нижний предел “зажаты” одним и тем же числом