Курс лекций для специальности Прикладная математика и информатика

Вид материала

Курс лекций

Подобный материал:

• Программа по курсу "Математика. Алгебра и геометрия" для специальности 080801 (351400), 143.45kb.
• Программа вступительного экзамена по математике подготовки магистров по направлению, 86.94kb.
• Программа дисциплины дс. 08 «Информационная безопасность» для студентов специальности, 149.66kb.
• Программа дисциплины ф дифференциальные уравнения для студентов специальности 010501, 101.63kb.
• Программа дисциплины математический анализ и обыкновенные дифференциальные уравнения., 139.76kb.
• Рабочая программа по дисциплине «принятие управленческих решений» (по выбору) для специальности, 89.25kb.
• Программа дисциплины Современная прикладная алгебра для направления 010500 Прикладная, 214.78kb.
• Программа дисциплины ф. 8 Общая физика Разделы «Механика», «Колебания и волны», «Молекулярная, 113.79kb.
• «Прикладная математика и информатика», 3781.56kb.
• Основная образовательная программа специальности высшего профессионального образования, 68.9kb.

§12. Случайные векторы и их распределение

Пусть на некотором вероятностном пространстве _: , - измеримо, то есть ^d . Это отображение наз. случайным вектором.

( - -мерное Евклидово пространство.)

То же самое можно определить иначе:

Пусть - случайные величины

по правилу . Это и есть случайный вектор.

Случайные вектора возникают, когда в результате эксперимента нас интересует сразу несколько характеристик наблюдаемого эксперимента.

Так же, как и для случайных величин, для случайного вектора можно определить функцию распределения.

Определение. по правилу: = - это функция распределения случайного вектора.




Пусть

Значение функции распределения в точке (x₁,x₂) – это вероятность того, что случайный вектор попадает в заштрихованный угол на картинке выше.


Свойства функции распределения.

1. _
   
2. _{ })_
   
3. _ - непрерывна слева по каждой координате.
   
4. _
   

_,

5. Пусть _ Тогда
   

.

1. Случайные векторы с дискретным распределением.
   

Определение.



Утверждение. _



Пример. Мультиномиальное   распределение с параметрами _.

2. Случайные векторы с абсолютно непрерывным законом распределения.
   

Определение.



_

Здесь p_ξ – плотность распределения случайного вектора.

Свойства плотности.

1. почти всюду.
   
2. =1.
   

Понятно, что для случайного вектора с абсолютно непрерывным распределением

почти всюду.


Утверждение. Пусть 

Доказательство. Рассмотрим ,

т. е.

Пример.

Пусть _

- мера Лебега множества _

Пусть <sub>

</sub>._-индикатор множества _

Тогда _ имеет равномерное распределение на множестве _, а _ - плотность случайного вектора _


Лекция 7 (19.10.10)

§13. Независимость случайных величин

Пусть на некотором вероятностном пространстве _ определены - случайные величины. Нам необходимо определить понятие независимости случайных величин. Понятие независимости у нас уже встречалось, но для случайных событий. Напомним его:

если , то - независимые

Определим независимость для случайных величин.

Определение 1.

- независимые случайные величины .

Или это означает, что

- здесь речь идет о независимости в совокупности.

Следствие: Пусть и независимые случайные величины.

Тогда . Верно и обратное.

Доказательство.

;

Левая часть: при ;

Правая часть: при ;

Т.о. .



Пусть (для n>2 доказательство проводится аналогично).

=

===

=.


Определение 2.

- независимые случайные величины <sub>

 </sub> или, что то же самое

.

Совсем нетрудно заметить, что определения 1 и 2 равносильны.


Пусть на некотором вероятностном пространстве _ определена случайная величина

(, измеримая, т.е. ).

Рассмотрим множество случайных событий _ - множество всех прообразов измеримых подмножеств прямой; очевидно, что .

Заметим, что выполняются следующие соотношения:

1. 
   
2. \
   
3. _ - измеримые подмножества прямой, тогда , где _.
   

Из соотношений 1-3 следует, что - - алгебра.

Определение.

- это - алгебра, порожденная случайной величиной .

Примеры: , _ , - мера Лебега.

1. ;
   
2. (где ) .
   
3. _.
   

Определение 3.

- независимые случайные величины - независимые - алгебры.

_{(Напомним, что означает что σ-алгебры являются независимыми:}

-независимые - алгебры. - независимые случайные события.)

Примеры.

1. Пусть в качестве Ω выступает множество точек квадрата со стороной 1, т.е. _
   

Независимы ли: _ и _

Рассмотрим _


Теперь рассмотрим <sub>


</sub>

Видим, что _, т. е. наши случайные величины независимы.


Независимы ли: _ и _

Имеем



_.


Случайные величины зависимы.

Рассмотрим случай, когда случайный вектор <sub>

</sub>



Теорема. Пусть _{ } Тогда _

Док. «_» Необходимость.

Если случайные величины _



«_» Достаточность.



Теорема: Пусть - случайные величины с абсолютно непрерывным распределением. Тогда - независимые случайные величины - с абсолютно непрерывным распределением и его плотность распределения .


Лекция 8. (26.10.10)

Теорема: Пусть - независимые случайные величины. Если при всех - с абсолютно непрерывным распределением, то - с абсолютно непрерывным распределением и плотность случайного вектора имеет вид: .

Доказательство. , где

.


Теорема: Пусть - независимые случайные величины, - измеримые функции . Тогда - независимые случайные величины.

Док-во. Пусть (для n>2 доказательство проводится точно так же).

- независимые - независимые события.

_ - измеримые подмножества прямой.



.