Курс лекций для специальности Прикладная математика и информатика

Вид материала

Курс лекций

Содержание Формула свертки для функции распределения Пример, когда обратное утверждение в свойстве 4 неверно. Если , то такие случайные величины называют 2-ой способ вычисления (по определению)

Подобный материал:

• Программа по курсу "Математика. Алгебра и геометрия" для специальности 080801 (351400), 143.45kb.
• Программа вступительного экзамена по математике подготовки магистров по направлению, 86.94kb.
• Программа дисциплины дс. 08 «Информационная безопасность» для студентов специальности, 149.66kb.
• Программа дисциплины ф дифференциальные уравнения для студентов специальности 010501, 101.63kb.
• Программа дисциплины математический анализ и обыкновенные дифференциальные уравнения., 139.76kb.
• Рабочая программа по дисциплине «принятие управленческих решений» (по выбору) для специальности, 89.25kb.
• Программа дисциплины Современная прикладная алгебра для направления 010500 Прикладная, 214.78kb.
• Программа дисциплины ф. 8 Общая физика Разделы «Механика», «Колебания и волны», «Молекулярная, 113.79kb.
• «Прикладная математика и информатика», 3781.56kb.
• Основная образовательная программа специальности высшего профессионального образования, 68.9kb.

§14. Распределение суммы независимых случайных величин. Свертка функций распределения.

Пусть - независимые случайные величины с известными нам функциями распределения .

И пусть _ мы знаем значения . Как вычислять ?

Известно, что = . Следовательно, нам надо научиться находить .

Рассмотрим случайный вектор , знаем его функцию распределения = {где - произвольная точка} =

==

Вычисляем это как повторный интеграл: = =

Итак, получаем формулу для вычисления функции распределения суммы независимых случайных величин, которую называют формулой свертки:

Формула свертки для функции распределения:

= (*)

Следствия:

1. Пусть - с абсолютно непрерывным распределением (имеется - плотность).
   

Тогда - с абсолютно непрерывным распределением и =. Это получается из формулы (*) дифференцированием по x.

2. Если , - независимые случайные величины с абсолютно непрерывным распределением,
   

то - с абсолютно непрерывным распределением и ==

=

(Последняя формула называется формулой свертки для плотностей.)


§15. Математическое ожидание случайной величины.

Пусть на некотором вероятностном пространстве _: Ω→R,


Определение

Математическим ожиданием случайной величины называют число , вычисляемое по формуле , если оно (это число) существует. {Если интеграл расходится, то говорят, что у случайной величины отсутствует математическое ожидание}


Рассмотрим =max и =min .

Существование эквивалентно существованию и .

Тогда имеем

=+


=-

Таким образом, существование эквивалентно существованию .

Что вообще означает число ?

Рассмотрим следующий пример: пусть с дискретным распределением:

			…
			…

Введем случайное событие ;

, то есть эти события несовместны. Кроме того, .

Тогда

=, где ==.

Замечание. Математическое ожидание часто еще называют средним случайной величины.

Давайте теперь предположим, что значений у случайной величины _ ровно _. И все _ - среднее случайной величины. Это еще одно пояснение, почему математическое ожидание называют средним случайной величины.

Итак, далее будем считать, что математическое ожидание и среднее случайной величины – синонимы.

Свойства _

1. _
   
2. Линейность математического ожидания.
   

3. _
   
4. _
   

Доказательство свойства 4: P(_)=1<sub> 

</sub>

5. _
   

Доказательство свойства 5:

_.


Теорема. Пусть _

вероятностном пространстве; <sub>

 </sub>

Следствия.

1. n=1
   

_ и, в частности, _

2. Если _с абсолютно непрерывным законом распределения, тогда _{ }
   

Доказательство (теоремы).

1. Рассмотрим ситуацию, когда функция _ принимает не более чем счётное число значений.
   

Пусть _функции _.

_, _

Введём в рассмотрение события



Рассмотрим

<sub>

</sub>.

2. Рассмотрим ситуацию, когда _
   

Определим функцию равенством если

<sub>Тогда, так определяемая функция принимает не более чем счетное число значений.

Имеем</sub>

из определения .




<sub> 

</sub>.

Рассмотрим _ +

+_- {где _- =0 по первому пункту }

+|_.

Теорема доказана.


Ещё одно следствие, которое мы сформулируем как отдельный результат:

Теорема. _


Доказательство. Пусть , тогда .

_.

Замечание . В обратную сторону утверждение неверно.

Предлагается самостоятельно привести пример, когда обратное утверждение неверно.


Лекция 9 (2.11.10)

§16. Дисперсия (степень рассеяния)

Пусть на некотором вероятностном пространстве _.

Определение.

Дисперсией случайной величины называется число

, (1)

если это число существует.

Справедливо также следующая запись:

Таким образом, дисперсия – это среднее квадратичного отклонения случайной величины от своего среднего.


Свойства дисперсии:

1. , для некоторого (т.е. случайная величина с вырожденным распределением)
   
2. 
   
3. 
   
4. - независимые случайные величины . Верно и для попарно независимых случайных величин (доказательство по индукции).
   

Замечание: Свойство 4 в обратную сторону неверно.

Доказательство свойств: 1. , т.к. вычисляем

(неотрицательная функция интегрируется по вероятностной мере)

.

2. ==

.

3. .

4. +

+= {где и независимы, т.к. и - независимы} = = {где =0 и =0} =

= .

Определение.

= - ковариация случайных величин и .


Пример, когда обратное утверждение в свойстве 4 неверно. Пусть распределение ξ следующее:

: -1, 0, 1

: 1/3, 1/3, 1/3 и положим

- зависимые и , что легко проверяется непосредственно. Следовательно,

.


Если , то такие случайные величины называют некоррелированными.

После данного определения свойство 4 можно переформулировать так:

4. Если случайные величины некоррелированные, то . В обратную сторону тоже верно.


Примеры вычисления математического ожидания и дисперсии для часто встречающихся распределений.

Прежде чем перейти к примерам, сделаем следующее замечание.

Пусть , , ,





разные функции, т.е. , но законы распределения у них совпадают:

: 0, 1 : 0, 1

: 1/2, 1/2 : 1/2, 1/2

У них и .

Вывод: и - это характеристики распределения случайной величины!


Примеры:

1. Случайные величины с дискретным законом распределения (т.е. у случайных величин конечное или счетное число значений)
   

			…
			…

1. - с вырожденным распределением, т.е. .
   

2. 	0	1

   - с распределением Бернулли:
   

3. - с биномиальным распределением.
   

; ( - можно рассматривать как число успехов в независимых испытаниях Бернулли).

	0	1

Введем случайные величины - независимые одинаково распределенные случайные величины,


, где - можно интерпретировать как число успехов в -ом испытании - число успехов во всех испытаниях.

_Имеем,

; и ;

Распределение у и у одинаковое и .

;

2-ой способ вычисления (по определению): =

= {где = } ;

= =

=

= ;

4. П - распределение Пуассона
   

и

Вычисляем:





= + =



.

2. - с абсолютно непрерывным распределением, - плотность;
   

1. 
   

Это означает, что:

;

;

.

2. - с распределением Коши;
   

- расходится (так как интегрируемая функция в ~ );

Математическое ожидание отсутствует.

3. - с нормальным (гауссовским) законом распределения с параметрами , , где , .
   

Обозначение:




= { пусть } = =

= .

Здесь - нечетная функция по симметричному относительно 0 множеству, интеграл сходится = 0; а = 1 как интеграл от плотности по всей прямой.

И, следовательно, .

Далее,

= { пусть } = =

= .


Вопрос: чему равна дисперсия разности независимых случайных величин?

Имеем:

Дисперсия разности – это НЕ разность дисперсий.


Лекция 10 (9.11.10)