Курс лекций для специальности Прикладная математика и информатика
Вид материала | Курс лекций |
СодержаниеЦМ с конечным числом состояний (конечная ЦМ {КЦМ}). |
- Программа по курсу "Математика. Алгебра и геометрия" для специальности 080801 (351400), 143.45kb.
- Программа вступительного экзамена по математике подготовки магистров по направлению, 86.94kb.
- Программа дисциплины дс. 08 «Информационная безопасность» для студентов специальности, 149.66kb.
- Программа дисциплины ф дифференциальные уравнения для студентов специальности 010501, 101.63kb.
- Программа дисциплины математический анализ и обыкновенные дифференциальные уравнения., 139.76kb.
- Рабочая программа по дисциплине «принятие управленческих решений» (по выбору) для специальности, 89.25kb.
- Программа дисциплины Современная прикладная алгебра для направления 010500 Прикладная, 214.78kb.
- Программа дисциплины ф. 8 Общая физика Разделы «Механика», «Колебания и волны», «Молекулярная, 113.79kb.
- «Прикладная математика и информатика», 3781.56kb.
- Основная образовательная программа специальности высшего профессионального образования, 68.9kb.
Определение Состояние


Теорема.
В неразложимой цепи Маркова все состояния нулевые или все состояния ненулевые.
Доказательство.




Тогда

Лекция 16 (21.12.10)
Пусть у нас есть неразложимая ЦМ,


Определение. Пусть







Заметим, что


Последнее следует из следующих соотношений:

Лемма. Пусть







Доказательство.






(Пусть





Где

Таким образом

Рассмотрим

Получаем, что






Пусть










Теорема. Пусть


Доказательство. В силу неразложимости ЦМ состояния i и j сообщаются, т.е. найдутся натуральные




Пусть



Рассмотрим


Аналогично ,

Пусть


Разобьем все множество состояний на


Состояние




Покажем, что




для некоторого t. Тогда









Из (1) и (2) следует, что



Утверждение. Докажем, что если




Доказательство.



Предположим противное. Пусть существует



Тогда


Матрица переходных вероятностей будет выглядеть следующим образом (заштрихованные блоки являются стохастическими матрицами).
| ![]() | ![]() | ![]() | . . . | ![]() |
![]() | 0 | | | | |
![]() | 0 | 0 | | | |
![]() | | | | | |
. . . | | | | | |
![]() | | | | | |
Пусть далее

Утверждение. В конечной ЦМ все существенные состояния являются возвратными и все возвратные состояния существенны, т.е. в КЦМ понятия существенности и возвратности равносильны.
Доказательство.
- Докажем сначала, что если
- возвратное, то
- существенное.
Предположим противное:












(А)


- Теперь покажем, что






Кроме того, имеем



Рассмотрим


Заметим, что суммировать можно только по существенным состояниям (в противном случае получаются нули).





Если








Имеем, что

Противоречие с тем, что



Лекция 17 (15.02.11)
Теорема (Финальные или стационарные вероятности)
Пусть существует




Тогда: 1) существует

2) вектор




(Каков смысл:
Представим, что мы наблюдаем за перемещением частицы по состояниям системы и заснули, а частичка продолжала «гулять». Тогда вектор
