Курс лекций для специальности Прикладная математика и информатика

Вид материала

Курс лекций

Содержание

ЦМ с конечным числом состояний (конечная ЦМ {КЦМ}).

Подобный материал:

Программа по курсу "Математика. Алгебра и геометрия" для специальности 080801 (351400), 143.45kb.
Программа вступительного экзамена по математике подготовки магистров по направлению, 86.94kb.
Программа дисциплины дс. 08 «Информационная безопасность» для студентов специальности, 149.66kb.
Программа дисциплины ф дифференциальные уравнения для студентов специальности 010501, 101.63kb.
Программа дисциплины математический анализ и обыкновенные дифференциальные уравнения., 139.76kb.
Рабочая программа по дисциплине «принятие управленческих решений» (по выбору) для специальности, 89.25kb.
Программа дисциплины Современная прикладная алгебра для направления 010500 Прикладная, 214.78kb.
Программа дисциплины ф. 8 Общая физика Разделы «Механика», «Колебания и волны», «Молекулярная, 113.79kb.
«Прикладная математика и информатика», 3781.56kb.
Основная образовательная программа специальности высшего профессионального образования, 68.9kb.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

§26. Цепи Маркова. Нулевые и периодические состояния.

Определение Состояние

нулевое состояние

Теорема.

В неразложимой цепи Маркова все состояния нулевые или все состояния ненулевые.

Доказательство.

нулевое состояние и

_Тогда

Лекция 16 (21.12.10)

Пусть у нас есть неразложимая ЦМ,

состояние, определим множество

_{Определение}_._Пусть

. Если то периодическое состояние и период состояния j. Если то непериодическое состояние.

Заметим, что

аддитивный класс

_{Последнее}_{следует}_из_{следующих}_{соотношений:}

Лемма. Пусть

аддитивный класс и

период. Тогда

Доказательство.

.

(Пусть - множество натуральных чисел. Заметим: если

) Итак,

_Где

_{Таким образом}

_{Рассмотрим}

Получаем, что

(*)

Пусть

. Представим в виде

(разделили на

с остатком), где

. Имеем далее:

, т.е.

. Следовательно, выполняется (*), откуда и следует утверждение леммы.

Теорема. Пусть

существенные сообщающиеся состояния неразложимой ЦМ. Тогда

Доказательство. В силу неразложимости ЦМ состояния i и j сообщаются, т.е. найдутся натуральные

т.е.

Пусть

, т. е.

Рассмотрим

Аналогично ,

Теорема доказана.

Пусть

- произвольное состояние ЦМ с периодом

.

Разобьем все множество состояний на

классов:

.

Состояние

существует

.

Покажем, что

и пусть

_для_{некоторого}_t_._Тогда

(1)

(2)

Из (1) и (2) следует, что

, т.е.

и никак иначе.

Утверждение. Докажем, что если

, то

; (это означает, что с вероятностью равной 1 переходы из состояний одного класса в состояния другого класса возможны только по следующей схеме:

)

Доказательство.

. Докажем это.

Предположим противное. Пусть существует

и пусть

, т.е.

Тогда

(по определению разбиения множества всех состояний).

называются циклическими подклассами.

Матрица переходных вероятностей будет выглядеть следующим образом (заштрихованные блоки являются стохастическими матрицами).

			. . .
	0
	0	0

. . .

Пусть далее

- ЦМ с конечным числом состояний (конечная ЦМ {КЦМ}).

Утверждение. В конечной ЦМ все существенные состояния являются возвратными и все возвратные состояния существенны, т.е. в КЦМ понятия существенности и возвратности равносильны.

Доказательство.