Если использовать разности высших порядков вплоть до n-го, то разностное уравнение 1

Первому слагаемому соответствует оригинал m+(t), равный нулю при отрицательных значениях t, а второму — при положи­тельных. Разложение (1 61) называют расщеплением. Равенст­во w(t)=m+(l) в частотной области запишется следующим об­разом.



Если функция М(иа) дробно рациональная, то разложение (1 61) можно выполнять, не переходя к оригиналам, а восполь­зовавшись тем, чю для функции /(/), равной нулю при t<.Q и стремящейся к нулю при /->-<», преобразование Лапласа F(p) имеет все полюсы в левой полуплоскости комплексного пере­менного Наоборот, функция, равная нулю при £>0, имеет пре­образование Лапласа с полюсами в правой полуплоскости

Пример. Псть




83


Преобразование Лапласа получим из преобразования Фурье заменой ко па р




В первом из этих слагаемых полюс р° = — 1,так что это М₎во втором понос равен +1, это М- Коэффициенты А и В опредспнм, приведя последнее ра­венство к общему знаменателю и учитывая, что числитель полученною вы­ражения должен равняться р



Обобщим задачу синтеза формирующего устройства, предпо­лагая, что на его вход подается сигнал g(t) и требуется так подобрать импульсную характеристику w(t), чтобы выход уст­ройства у(1) минимально отличался от желаемою сигнала m(t)

Если g(t)=0 при <0, задача сводится к предыдущей, так как при t<0 y(t)=0; при >0 нужно сформировать y(t) рав­ным m+(t). В частотной области



Если g(t)=0 при /<0, поступим следующим образом Отбро­сим условие физической реализуемости и запишем в частотной области условие равенства желаемого сигнала и сигнала на вы­ходе формирующего устройства:



Преобразуем это равенство к такой форме, чтобы оригинал слагаемого, зависящего от W (/со), обращался в нуль при /*<0. Для этого представим G(ito) в виде



Здесь первому сомножителю соответствует оригинал, равный нулю при £<0, второму — при />0 Такое представление назы­вают факторизацией. Поделим обе части равенства (1.63) на g-(ico). Получим:



Согласно условию физической реализуемости, оригинал функ­ции W(i(») и, следовательно, произведения G¹ (*ш) W(iw), дол­жен обращаться в нуль при <0, при /0 выбором W(tco) мо­жем добиться равенства функций времени, соответствующих левой и правой частям выражения (1 64). Таким образом, наи-


84

лучшему выбору соответствует условие

Индекс «плюс» в нижней части квадратной скобки соответству­ет расщеплению дроби М/G- на два слагаемых:

Оригинал первого равен нулю при t<0, второго — при t>0 Окончательно получим.

Таким образом, учет требований физической реализуемости формирующего устройства осуществляют в частотой области с помощью двух операций — факторизации и расщепления. Факторизацию используют для того, чтобы множителем при W(i(u) оказалась функция, которой во временной области соот­ветствует оригинал, равный нулю при /<0. Операция расщеп­ления соответствует во временной области разбиению оригина­ла на два слагаемых, одно из которых определено для tO, другое — для /<0



Оптимальная фильтрация и прогнозирование случайных процес­сов. Пусть на вход линейной системы (фильтра) подается слу­чайный сигнал g(t), равный сумме полезного сигнала y(t) и по­мехи е(1). Для y(t) и e(t) известно, что это случайные стацио­нарные процессы со спектральными плотностями S_y (со) и 5_е(со). Требуется найти такую характеристику фильтра W(ico), чтобы сигнал y(t) на его выходе минимально в среднеквадратичном смысле отличался от желаемого сигнала (рис 1.57). В свою очередь, желаемый сигнал тем или иным способом связан с по­лезным сигналом. Если, например, m(l)=y(t), 10 задача фильт­ра заключается в выделении сигнала из ею смеси с помехой. Если m(l)=dyldt, фильтр реализует помехоустойчивое диффе­ренцирование у(1) Если tn(t) = y(t+t), осуществляется помехо­устойчивым прогноз полезного сигнала В общем случае связь между у(1) и ///(/) удобно задать в частотной области в виде


85


всегда физически реализуема. Для задачи выделения полезно­го сигнала W_w(io)) = l; для задачи дифференцирования №_Эт(1со) =1ш; для задачи прогноза И?эт(йо) =е'^мг Физически реализуема характеристика эталонного оператора только в первом из этих трех примеров.

Критерием оптимальности поставленной задачи является среднеквадратичная величина ошибки р между желаемым сиг­налом и сигналом у на выходе фильтра Обозначая для краткости кости чертой операцию усреднения, запишем:



В частотной области среднеквадратичная ошибка запишется в форме

Здесь S_e(co)—спектральная плотность ошибки, которая выра­жается через спектральную плотность сигнала g(t) на входе фильтра, его частотную характеристику и взаимную спектраль­ную плотность входного и желаемого сигналов:



При этом требование физической реализуемости фильтра ни­как не учитывалось. Произведение 5₆(ю) W(ia>) равно, как из­вестно, взаимной спектральной плотности сигналов на входе и выходе фильтра S_gy(t(o).

Таким образом, амплитудно-фазовую характеристику фильтра без учета физической реализуемости следует выбирать так, чтобы взаимная спектральная плотность сигнала на входе и выходе фильтра была равна взаимной спектральной плотно­сти входного и желаемого сигналов. Для некоррелированных сигнала y(t) и помехи e(t) спектральная плотность входного сигнала





Взаимная спектральная плотность g(t) и tn(t) может быть выражена через характеристику эталонного оператора F_3T(iu>):


86


учета физической реализуемости, имеет вид-



Если оказывается, что наиденная таким образом характери­стика реализуема, она дает оптимальное решение. Однако знать эту характеристику полезно и тогда, когда она не реализуема, так как при подстановке ее в ,S_f (м) вычисленное значение сред­неквадратичной ошибки дает тот нижний предел, меньше кото­рого эта ошибка заведомо быть не може!

Перейдем к учету условий физической реализуемости. Ана­логично задаче синтеза формирующего устройства преобразуем равенство (1 G6) так, чтобы зависящее от W слагаемое имело оригинал, равный нулю при t<0 Для этого проведем фактори­зацию S_g (со):



Оригинал первого сомножителя отличен от нуля при iO, а второго — при <0 В силу симметрии S_g(w) функции S_g⁺ и S_g- удовлетворяют равенству

Левая часть этого равенства для физически реализуемой функ­ции W(1ы) имеет оригинал, равный пулю при /<0, а при 10 выбором W можем сформировать нужную функцию. Наилуч­шему выбору W соответствует совпадение оригиналов от левой и правой час!ей равенства (1.67) при tO. После расщепления правой части равенства (1.67).



где знак «плюс» соответствует функции, оригинал которой от­личен от нуля лишь при 0, получим для выбора W условие





Пример. Решить задачу об оптимальном выделении сигнала у из смеси о помехой е, если спектральные плотности 5„ и S_e имеют вид


87

Оптимальным физически реализуемым фильтром оказалось апериодиче­ское звено с оптимально найденными коэффициентом усиления и постоянной времени (экспоненциальный фильтр, см разд 33).

Обобщение задачи оптимальной фильтрации. Рассмотренная выше задача оптимальной фильтрации была обобщена в са­мых разных направлениях. Остановимся на одном из таких обобщений, связанным с тем, что ошибка системы для разных частот имеет различный вес. Этот фактор можно учесть, введя в критерий оптимальности весовую функцию, в результате чего он примет вид:



Чем больше весовая функция Н(w) на некоторой частоте, тем меньше ордината спектральной плотности ошибки, соответст­вующая оптимальному решению. Примером критерия, имеюще-


88


го вид (1.69), служат обобщенные интегральные критерии, где наряду с дисперсией ошибки г учитывается дисперсия ее про­изводных Так, минимизация выражения




Весовая функция 1 { лщ² на высоких частотах возрастает, по­этому спектр ошибки для оптимального фильтра окажется низ­кочастотным

Полученную выше формулу для расчета АФХ оптимального фильтра нетрудно распространить на случай функционала (1.69) Для этого нужно записать условие стационарности функ­ционала 1ц по W. Очевидно, это условие будет отличаться от равенства (1 G5) только тем, что левая и правая его части бу­дут содержать в качестве множителя функцию Н_№. Получим:



Для расчета оптимальной физически реализуемой АФХ фильтра проведем, как и выше, факторизацию S_g и Я, после чего поде­лим левую и правую части равенства (1.70) на произведение Sg-ff-. Получим:



Для оптимального физически реализуемого фильтра оригиналы левой и правой частей этого условия должны совпадать при tQ. После расщепления правой части равенства придем к оп­тимальному решению в форме



Оптимальное оценивание состояния объекта. В задаче опти­мальной фильтрации предполагались известными спектральные плотности полезного сигнала и помехи, которые могут быть най­дены посредством статистической обработки реализаций этих стационарных и эрг одических процессов При этом мы не пред­полагали известным механизм генерации этих сигналов. Между тем, если полезный сигнал представляет собой вектор-функ­цию у, характеризующую состояние технологического процесса, то приближенно известна его математическая модель; часть со­ставляющих вектора состояния или некоторые зависящие от него переменные можно измерять и по результатам текущих из­мерений уточнять оценку у; сигнал, а в некоторых случаях и помехи, нельзя считать стационарными процессами.


89




Расчет функции y(t) при таких предположениях называют оцениванием состояния; если же в момент t нужно рассчитать y(t+t), то имеем задачу оценивания с прогнозом состояния. Схема, иллюстрирующая постановку задачи оценивания, при­ведена на рис. 1.59. Предполагаются известными модель обь-екта: статистические характеристики сигналов е, | и т|, харак­теризующие ошибки и случайные возмущения в модели, ошибки при измерении входных воздействий и при измерении пере­менных состояния соответственно; функция z(t) и вектор у₀-Требуется оценить вектор у в момент t или (t+i). Основы тео­рии оценивании развиты в работах Калмана и Бьюси [23]

Для систем регулирования модель объекта можно линеари­зовать. Поэтому рассмотрим синтез алгоритма оценивания для линейных систем. Модель системы в векторно-матричной форме записи имеет вид (1.72), а модель измерений — вид (173):



В уравнениях (1.72) — (1.74) y(t)—n-мерный вектор состоя­ния; z(t)—/-мерный вектор измеряемых выходов; e(t)—«-мер­ный вектор случайных возмущений; r\(t)—/-мерный вектор слу­чайных ошибок измерений; | — случайная составляющая на­чальных условий; А — квадратная матрица (пХ); С — прямо­угольная матрица (/Хп).



Требуется по наблюдениям за процессом z(t) найти такую оценку состояния процесса y(t), при которой достигает мини­мума критерий