Содержание уравнения математической физики (нм-3) Уравнения математической физики (нп-3)

Вид материала

Изложение

Содержание Содержание курса Часть 2. Функциональные пространства в задачах математической физики. Часть 3. Эллиптические уравнения. Часть 4. Гиперболические уравнения. Часть 5. Параболические уравнения. Программа составлена Уравнения математической физики (нп-3) Цель курса Содержание курса Тема 2. Классификация уравнений и систем. Тема 3. Преобразование Фурье. Тема 4. Пространства Соболева и Соболева-Слободецкого. Тема 5. Обобщенные постановки краевых задач. Тема 7. Метод Фурье. Тема 8. Аппроксимация решений.

Подобный материал:

• Учебно-методический комплекс по дисциплине Линейные и нелинейные уравнения физики (Методы, 325.5kb.
• Программа курса «уравнения математической физики» для математического отделения, 34.71kb.
• Календарный план учебных занятий по обязательной дисциплине «Уравнения математической, 92.11kb.
• М. К. Аммосова рабочая программа дисциплины «Уравнения математической физики» (специальность, 50.63kb.
• Уравнения математической физики Лектор 2010/11 уч года д ф. м наук, и о. проф. Косимов, 67.08kb.
• Уравнения математической физики направление подготовки, 18.02kb.
• Программа дисциплины Уравнения математической физики для направления 010500. 62 «Прикладная, 204.13kb.
• Учебно-методический комплекс по дисциплине опд. Ф. 02. Методы математической физики., 351.4kb.
• Учебно- методический комплекс по дисциплине опд. Ф 02. Методы математической физики, 340.98kb.
• Факультет прикладной математики и кибернетики, 180.69kb.

СОДЕРЖАНИЕ


Уравнения математической физики (НМ-3)…………………………………1

Уравнения математической физики (НП-3)…………………………………4

__________________________________________________________________


УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ (НМ-3)


Кафедра дифференциальных уравнений и математической физики

Факультет физико-математических и естественных наук

Обязательный курс

Объем учебной нагрузки: 88 час. - лекции, 104 час. – семинары

Цель курса

Основными целями преподавания курса является овладение студентами:

- практическими методами решения краевых, смешанных и начальных задач математической физики, включая метод разделения переменных, преобразование Фурье, метод потенциалов;

- функциональными методами исследования задач математической физики, включая вариационные методы исчисления, методы гильбертова пространства, методы теории полугрупп.

Изложение курса строится на основе классических курсов теории функций действительного и комплексного переменного, а также функционального анализа. Широкое использование в курсе фундаментальных понятий функционального анализа позволяет дать современное изложение основных разделов теории линейных уравнений математической физики в доступной форме. С целью наиболее полного усвоения студентами материала и понимания физического смысла рассматриваются простейшие уравнения математической физики : уравнение Пуассона, волновое уравнение, уравнение теплопроводности, уравнение диффузии. В то же время излагаемые в курсе методы позволяют легко получить соответствующие результаты и для уравнений с переменными коэффициентами эллиптического, гиперболического и параболического типов.

Наряду с единством математического аппарата и общей структурой курс отличается прикладной направленностью. Основу его составляет изложение с единой точки зрения методов исследования различных задач математической физики, описывающих волновые процессы распространения тепла и диффузии, стационарные задачи теории упругости, электростатики и др.

Содержание курса

Часть 1. Постановка задач математической физики

Классификация линейных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка. Задача о равновесии и движении мембраны. Задача о распространении тепла. Процессы диффузии. Постановка краевых задач для уравнения Пуассона. Постановка смешанных задач и задачи Коши для уравнения теплопроводности и волнового уравнения.

Часть 2. Функциональные пространства в задачах математической физики.

Пространства Лебега интегрируемых функций. Преобразование Фурье многих переменных. Теорема Планшереля. Пространства Соболева, их свойства и физический смысл. Усреднения функций. Теорема о продолжении функций. Теорема о компактности оператора вложения. Эквивалентные нормы. След функции и его свойства. Теорема вложения Соболева. Обобщённые производные и конечноразностные отношения.

Часть 3. Эллиптические уравнения.

Обобщённые решения краевых задач для эллиптических уравнений. Разрешимость краевых задач для уравнений Лапласа и Пуассона. Фредгольмова разрешимость краевых задач для эллиптических уравнений второго порядка. Собственные функции и собственные значения. Метод разделения переменных. Вариационные и краевые задачи. Метод Ритца. Гладкость обобщённых решений краевых задач для уравнения Пуассона внутри области и вблизи границы. Обобщённые и классические решения краевых задач для уравнения Пуассона. Фундаментальные решения дифференциальных операторов. Потенциалы. Функция Грина. Гармонические функции. Теорема о среднем. Принцип максимума.

Часть 4. Гиперболические уравнения.

Смешанные задачи для волнового уравнения. Существование и единственность обобщённого решения. Нахождение решения методом разделения переменных. Метод Галёркина. Задача Коши для волнового уравнения. Существование и единственность классического решения. Распространение волн в полупространстве, на плоскости и на прямой. Формулы Кирхгофа, Пуассона и Даламбера. Метод спуска.

Характеристики для уравнений с частными производными и система уравнений. Задачи с данными на характеристиках. Задача Гурса.

Часть 5. Параболические уравнения.

Смешанные задачи для уравнения теплопроводности. Существование и единственность обобщённого решения. Нахождение решения методом разделения переменных. Метод Галёркина.

Задача Коши для уравнения теплопроводности. Существование и единственность классического решения. Формула Пуассона.

Полугруппы линейных операторов. Генератор полугрупп. Равномерно непрерывные полугруппы и их свойства. Сильно непрерывные полугруппы и их свойства. Теорема Хилле – Иосиды. Разрешимость задачи Коши для абстрактного дифференциального уравнения в банаховом пространстве. Исследование разрешимости задачи Коши и смешанных задач для уравнения диффузии методом полугруппы.


Литература.

Обязательная.

1. В.П.Михайлов. Дифференциальные уравнения в частных производных. М., Наука, 1983
   
2. К.Иосида. Функциональный анализ. М., Мир, 1967
   
3. В.С.Владимиров и др. Сборник задач по уравнениям математической физики. М., Наука, 1974
   

Дополнительная.

1. В.И.Безяев, А.Л.Скубачевский. Функциональные пространства в задачах математической физики. М., МАИ, 1992
   
2. В.И.Безяев, А.А.Варин, Т.Ю.Красулина. Эллиптические краевые задачи. М., МАИ, 1993
   
3. В.И.Безяев, Р.Я.Глаголева. Начальные и краевые задачи для эволюционных уравнений. М., МАИ, 1995
   
4. А.Н.Колмогоров, С.В.Фомин. Теория функций и функциональный анализ. М., Наука, 1989
   
5. С.Г.Михлин. Линейные уравнения в частных производных. М., Высшая школа, 1977
   
6. О.А.Ладыженская. Краевые задачи математической физики. М., Наука, 1973
   
7. О.А.Олейник. Лекции об уравнениях с частными производными. М., Бином, 2005
   
8. И.Г.Петровский. Лекции об уравнениях с частными производными. М., Физматгиз, 1961
   
9. У.Рудин. Функциональный анализ. М., Мир, 1975
   
10. А.Н.Тихонов, А.М.Самарский. Уравнения математической физики. М., Наука, 1977
    
11. В.А.Шамаев и др. Сборник задач по дифференциальным уравнениям в частных производных. М., Бином, 2005
    
12. A.Pazy. Semigroups of linear operators and applications to partial differential equations. New-York – Berlin – Heidelberg, Springer, 1983
    

Программа составлена

Скубачевским А.Л.,

д.ф.-м.н., профессором

кафедры дифференциальных уравнений и математической физики

факультета физико-математических и естественных наук.


УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ (НП-3)


Кафедра дифференциальных уравнений и математической физики.

Факультет физико-математических и естественных наук.

Обязательный курс.

Объем учебной нагрузки: 70 часов – лекции, 53 часа – семинары.

Цель курса

Основной целью курса является введение в современные методы решения задач математической физики, ориентированное на студентов, специализирующихся по прикладной математике. Подробно разбираются все этапы построения математических моделей физических процессов. Хорошо отраженная в учебной литературе классическая часть стандартного курса уравнений математической физики излагается кратко. Основное внимание уделяется изложению современного подхода к дифференциальным уравнениям в частных производных, лежащего в основе построения эффективных аналитико-численных методов решения задач математической физики.

Содержание курса

Тема 1. Постановка задач математической физики.

Математическая модель физического процесса и этапы ее построения. Понятие корректности постановки задачи математической физики. Вывод уравнения теплопроводности и уравнения диффузии. Постановка основных начально-краевых задач. Вывод уравнения неразрывности сплошной среды и постановка простейшей задачи стационарного обтекания твердого тела потенциальным потоком невязкой несжимаемой жидкости. Вывод уравнений Эйлера и постановка основных начально-краевых задач динамики идеальной жидкости. Тензор напряжений и теорема Коши. Уравнения динамики сплошной среды в форме Коши. Уравнения Навье-Стокса как простейшая математическая модель динамики вязкой сплошной среды. Постановка основных начально-краевых задач динамики вязкой несжимаемой жидкости.


Тема 2. Классификация уравнений и систем.

Классификация общих квазилинейных дифференциальных уравнений в частных производных в Rⁿ. Эллиптические уравнения. Гиперболические уравнения. Параболические уравнения. Примеры. Классификация систем дифференциальных уравнений в частных производных по Петровскому. Недостаток классификации по Петровскому. Примеры. Системы, эллиптические по Дуглису-Ниренбергу. Примеры. Классификация уравнений второго порядка в Rⁿ по квадратичной форме. Канонический вид эллиптических, гиперболических и параболических уравнений второго порядка. Замена переменных в дифференциальных уравнениях в частных производных. Приведение к каноническому виду квазилинейных уравнений второго порядка в Rⁿ.


Тема 3. Преобразование Фурье.

Пространство Шварца S. Преобразование Фурье на S и его свойства.

Обращение преобразование Фурье на S. Теорема о свертке. Решение задачи Коши для уравнения теплопроводности с помощью преобразования Фурье с начальными данными из S. Ядро Пуассона. Расширение преобразования Фурье на все пространство L₂ и теорема Планшереля. Решение задачи Коши для уравнения теплопроводности с растущими начальными данными.


Тема 4. Пространства Соболева и Соболева-Слободецкого.

Расширение понятия классического решения. Обобщенные производные

по Соболеву. Примеры вычисления обобщенных производных. Пространство Соболева и его полнота. Интегральное представление функции из пространства Соболева. Связь между классической и обобщенной производными. Пространство Шварца обобщенных функций медленного роста S' и его свойства. Преобразование Фурье в S'. Пространство Соболева-Слободецкого вещественного порядка гладкости s. Теоремы вложения. Теорема о следах на гиперплоскости и теорема продолжения с гиперплоскости. Решение дифференциальных уравнений на всем Rⁿ с помощью преобразования Фурье. Эллиптический оператор как изометрия между двумя пространствами Соболева-Слободецкого.


Тема 5. Обобщенные постановки краевых задач.

Обобщенные постановки первой, второй и третьей краевых задач для уравнения Пуассона с неоднородными краевыми условиями в классе решений с первыми производными из L₂ . Проверка корректности определения обобщенного решения. Обобщенные постановки первой, второй и третьей краевых задач для уравнения Пуассона в классе L₂ с неоднородными краевыми условиями. Проверка корректности определения обобщенного решения. Решение поставленных краевых задач в случае полупространства с помощью преобразования Фурье. L₂ – оценки для построенных решений. Линейные непрерывные функционалы на гильбертовом пространстве. Теорема Рисса об общем виде линейного непрерывного функционала. Непрерывные билинейные и полуторалинейные формы на гильбертовом пространстве. Теорема Лакса-Мильграма. Неравенство Фридрихса. Теоремы существования и единственности обобщенных решений первой, второй и третьей краевых задач с однородными краевыми условиями в классе решений с первыми производными из L₂ .


Тема 7. Метод Фурье.

Дифференциальные операторы. Область определения дифференциального

оператора. Ограниченность и неограниченность дифференциального

оператора. Примеры. Замкнутые операторы и критерий замкнутости.

Пример незамкнутого дифференциального оператора. Область определения

дифференциального оператора как замкнутое подпространство в пространстве Соболева. Замкнутость области значений дифференциального оператора. Ядро дифференциального оператора и его ортогональное дополнение. Компактность вложения пространства Соболева в пространство Лебега. Сопряженные дифференциальные операторы. Область определения

сопряженного дифференциального оператора. Примеры. Самосопряженные дифференциальные операторы. Примеры. Ортогональное разложение пространства Лебега L₂ , индуцированное дифференциальным оператором.

Свойства собственных чисел и собственных функций самосопряженного дифференциального оператора. Полнота системы собственных функций самосопряженного дифференциального оператора. Построение методом Фурье обобщенных решений класса L₂ для начально-краевых задач математической физики с неоднородными начальными и граничными условиями. Построение методом Фурье обобщенных решений класса L₂ для

краевых задач математической физики с неоднородными граничными условиями.


Тема 8. Аппроксимация решений.

Аппроксимация в пространствах Соболева решений эллиптического или параболического уравнения решениями того же уравнения в подходящем расширении области. Способы построения в явном виде базисных систем решений для произвольных областей и полнота таких базисных систем. Аппроксимация решений краевых и начально-краевых задач линейными комбинациями базисных решений. Способы определения коэффициентов линейных комбинаций базисных решений.


Темы коллоквиумов

Коллоквиум 1. Преобразование Фурье.

Коллоквиум 2. Метод Фурье.

Литература

1. Вентцель Т.Д., Горицкий А.Ю., Капустина Т.О., Кондратьев В.А.,

Радкевич Е.В., Розанова О.С., Чечкин Г.А., Шамаев А.С.,

Шапошникова Т.А. Сборник задач по уравнениям с частными

производными (под ред. Шамаева А.С.) – М., 2005.

2. Владимиров В.С. Уравнения математической физики. – М., Наука, 1981.


3. Владимиров В.С., Михайлов В.П., Башарин А.А., Каримова Х.К.,

Сидоров Ю.В., Шабунин М.И. Сборник задач по уравнениям

математической физики (под ред. Владимирова В.С.) – М., Наука, 1982.


4. Масленникова В.Н. Дифференциальные уравнения в частных

производных. – М., Изд-во РУДН, 1997.


5. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. –

М., Наука, 1976.


6. Олейник О.А. Лекции об уравнениях с частными производными. –

М., Бином, 2005.


Программу составил

Боговский М.Е. – к.ф.-м.н., доцент кафедры дифференциальных уравнений

и математической физики факультета физико-математических и

естественных наук