Программа дисциплины Уравнения математической физики для направления 010500. 62 «Прикладная математика и информатика»

Вид материала

Программа дисциплины

Содержание Программа дисциплины Уравнения математической физики 1Область применения и нормативные ссылки 2Цели освоения дисциплины 3Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины 4Место дисциплины в структуре образовательной программы 5Тематический план учебной дисциплины Название темы 6Формы контроля знаний студентов 6.1Критерии оценки знаний, навыков 7Содержание дисциплины 1.1. Фундаментальное решение уравнения Лапласа. Формулы Грина. Интегральное представление Грина. Функция Грина задачи Дирихле дл 1.2. Метод Фурье для уравнения Лапласа 1.3. Гармонические функции 1.4. Краевые задачи для уравнения Пуассона и их простейшие свойства 1.5. Цилиндрические функции 1.6. Энергетический метод. Обобщенная и вариационная постановки краевых задач для уравнения Пуассона 2.1. Задача Коши для уравнения теплопроводности. Фундаментальное решение. Интегральное представление решений. Принцип максимума 2.2. Начально-краевые задачи для уравнения теплопроводности 3.1. Задача Коши для уравнения колебаний струны и волнового уравнения. Формулы Даламбера, Кирхгофа и Пуассона 3.2. Начально-краевые задачи для волнового уравнения. Их решение методом разделения переменных. Энергетический метод ... Полное содержание

Подобный материал:

• Правительство Российской Федерации Национальный исследовательский университет  Высшая, 139.37kb.
• Программа дисциплины ф дифференциальные уравнения для студентов специальности 010501, 101.63kb.
• Программа дисциплины математический анализ и обыкновенные дифференциальные уравнения., 139.76kb.
• Программа дисциплины дс. 08 «Информационная безопасность» для студентов специальности, 149.66kb.
• Программа дисциплины Современная прикладная алгебра для направления 010500 Прикладная, 214.78kb.
• Программа дисциплины Численные методы для направления 010500. 62 «Прикладная математика, 159.87kb.
• Рабочая программа по дисциплине «Языки программирования и методы трансляции» для направления, 233.24kb.
• Программа дисциплины Теоретические основы информатики и архитектура ЭВМ  для направлений, 240.65kb.
• Программа дисциплины, 64.95kb.
• Рабочая программа По дисциплине "Методы оптимизации " Для направления 010500 «Прикладная, 109.25kb.

Правительство Российской Федерации


Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования
"Национальный исследовательский университет
"Высшая школа экономики"


Факультет бизнес-информатики, отделение прикладной математики и информатики


Программа дисциплины Уравнения математической физики




для направления 010500.62 «Прикладная математика и информатика»

подготовки бакалавра


Автор программы:

Злотник А.А., д.-ф.м.н., проф., электронный адрес: azlotnik2007@mail.ru


Одобрена на заседании кафедры высшей математики на факультете экономики

«___»____________ 2011 г.

Зав. кафедрой Ф.Т. Алескеров


Рекомендована секцией УМС «___»____________ 2011 г.

Председатель


Утверждена УС факультета «___»____________ 2011 г.

Ученый секретарь ________________________


Москва, 2011

Настоящая программа не может быть использована другими подразделениями университета и другими вузами без разрешения кафедры-разработчика программы.

1Область применения и нормативные ссылки

Настоящая программа учебной дисциплины устанавливает минимальные требования к знаниям и умениям студента и определяет содержание и виды учебных занятий и отчетности.

Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов направления 010500.62 «Прикладная математика и информатика» подготовки бакалавра, изучающих дисциплину Уравнения математической физики.

Программа разработана в соответствии с:

• образовательным стандартом НИУ ВШЭ по направлению 010500.62 «Прикладная математика и информатика», уровень подготовки: бакалавр, утвержденным Ученым советом НИУ ВШЭ 02.07.2010 г., протокол № 15
  
• образовательной программой 010500.62, направление «Прикладная математика и информатика» подготовки бакалавра
  
• Рабочим учебным планом университета по направлению 010500.62 «Прикладная математика и информатика» подготовки бакалавра, одобренным Ученым советом факультета бизнес-информатики 26.04.2011 г.
  

2Цели освоения дисциплины

Целями освоения дисциплины Уравнения математической физики являются приобретение базовых знаний - постановкам основных задач, свойствам и методам их анализа и решения, формирование умения аналитически решать соответствующие конкретные задачи, приобретение навыков изучения свойств решений основных задач.

3Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины

В результате освоения дисциплины студент должен:

• знать основные уравнения математической физики, постановки соответствующих краевых задач, задач Коши и начально-краевых задач для них, основные свойства решений этих задач и методы их исследования и нахождения
  
• уметь аналитически решать стандартные указанные задачи с помощью метода разделения переменных и метода интегральных представлений решения
  
• иметь навыки изучения свойств решений указанных задач
  

В результате освоения дисциплины студент осваивает следующие компетенции:

Компетенция	Код по ФГОС/ НИУ	Дескрипторы – основные признаки освоения (показатели достижения результата)	Формы и методы обучения, способствующие формированию и развитию компетенции
Способность приобретать новые знания с использованием научной методологии и современных образовательных и информационных технологий	ОНК-6	Дает правильные определения основных понятий, формулировки теорем, воспроизводит их доказательства, правильно применяет методы решения конкретных задач	лекции, семинарские занятия, самостоятельная работа
Способность порождать новые идеи (креативность)	ОНК-7	Умеет решать нестандартные задачи теоретического характера	лекции, решение нестандартных задач на семинарских занятиях, выполнение заданий для самостоятельной работы
Способность рефлексии и критического переосмысления накопленного опыта	СЛК-2	Умеет решать предложенные задачи на основе полученного опыта решения аналогичных задач	выполнение домашних заданий, контрольных работ
Способность демонстрации общенаучных базовых знаний естественных наук, математики и информатики, понимание основных фактов, концепций, принципов теорий, связанных с прикладной математикой и информатикой	ПК-1	Демонстрирует понимание физических основ изучаемых уравнений и методов их анализа и решения	лекции, выполнение заданий для самостоятельной работы
Способность понимать и применять в исследовательской и прикладной деятельности современный математический аппарат	ПК-2	Правильно применяет изученные ранее методы математического анализа и освоенные методы данной дисциплины	лекции, выполнение заданий на семинарских занятиях, домашних заданий, контрольных работ, заданий для самостоятельной работы

4Место дисциплины в структуре образовательной программы

Настоящая дисциплина относится к циклу дисциплин ОПД.00 Общие профессиональные дисциплины направления (ОПД.Ф.00 Федеральный компонент) и блоку дисциплин, обеспечивающих профессиональную подготовку.


Изучение данной дисциплины базируется на следующих дисциплинах:

• математический анализ
  
• геометрия и алгебра
  
• дифференциальные уравнения
  

Для освоения учебной дисциплины, студенты должны владеть следующими знаниями и компетенциями:

• дифференциальным и интегральным исчислением функций одной и многих переменных, теорией функциональных рядов и рядов Фурье
  
• многомерными линейными преобразованиями, основными понятиями евклидовых пространств
  
• теорией и методами решения задачи Коши, краевых задач и задач на собственные значения для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений.
  

Основные положения дисциплины должны быть использованы в дальнейшем при изучении следующих дисциплин:

• численные методы
  

5Тематический план учебной дисциплины

№№	Название темы	Всего часов	Аудиторные часы		Самост. работа
			лекции	семинары
0.1	Введение. Классификация линейных дифференциальных уравнений 2-го порядка с частными производными	5	1	1	3
1.1	Фундаментальное решение уравнения Лапласа. Формулы Грина. Интегральное представление Грина. Функция Грина задачи Дирихле для уравнения Пуассона	15	3	3	12
1.2	Метод Фурье для уравнения Лапласа	12	2	2	8
1.3	Гармонические функции	16	3	3	10
1.4	Краевые задачи для уравнения Пуассона и их простейшие свойства	18	3	3	12
1.5	Цилиндрические функции	10	2	2	6
1.6	Энергетический метод. Обобщенная и вариационная постановки краевых задач для уравнения Пуассона	8	2	2	6
2.1	Задача Коши для уравнения теплопроводности. Фундаментальное решение. Интегральное представление решений. Принцип максимума и его приложения	20	4	4	12
2.2	Начально-краевые задачи для уравнения теплопроводности	16	3	3	10
3.1	Задача Коши для уравнения колебаний струны и волнового уравнения. Формулы Даламбера, Кирхгофа и Пуассона	20	4	4	12
3.2	Начально-краевые задачи для волнового уравнения. Их решение методом разделения переменных. Энергетический метод	18	3	3	11
	Итого	162	30	30	102

6Формы контроля знаний студентов

Тип контроля	Форма контроля	1 год		Параметры
		3	4
Текущий (неделя)	Контрольная работа	9		Письменная аудиторная работа на 2 часа по разделу 1
	Домашнее задание		8	Письменная домашняя работа, включающая 4 отдельных задания по разделам 2 и 3. Каждое задание сдается через неделю после выдачи
Итоговый	Экзамен		4	Письменный экзамен на 4 часа

6.1Критерии оценки знаний, навыков

Для текущего контроля студент должен продемонстрировать владение методами решения конкретных задач по разделу 1, прежде всего методом Фурье (для контрольной работы) и по разделам 2 и 3, прежде всего методом интегральных представлений и методом разделения переменных (для домашнего задания). Компетенции ОНК-6, СЛК-2, ПК-2.

Для итогового контроля (экзамена) студент должен продемонстрировать знание основных постановок рассмотренных задач и относящихся к ним результатам и методам решения, методами доказательства результатов, а также умение решать конкретные типичные задачи. Компетенции ОНК-6, СЛК-2, ПК-1, ПК-2.

Оценки по всем формам текущего контроля выставляются по 10-ти балльной шкале.

Выдача домашних заданий осуществляется дистанционно.

7Содержание дисциплины

Введение

0.1. Классификация линейных дифференциальных уравнений 2-го порядка с частными производными

1. Общий вид и основные типы линейных дифференциальных уравнений 2-го порядка с частными производными. Типичные примеры.
   
2. Преобразование дифференциального уравнения 2-го порядка с частными производными при линейной замене переменных. Независимость типа уравнения от выбора системы координат и простейший (канонический) вид уравнения в фиксированной точке.
   

Количество часов аудиторной работы: лекции 1 час, семинары 1 час.

Общий объем самостоятельной работы: 3 часа.

Литература по разделу: [1]-[3].


Раздел 1. Уравнения Лапласа и Пуассона


1.1. Фундаментальное решение уравнения Лапласа. Формулы Грина. Интегральное представление Грина. Функция Грина задачи Дирихле для уравнения Пуассона

1. Радиально симметричные решения уравнения Лапласа. Фундаментальное решение уравнения Лапласа. Оценки его производных.
   
2. Первая и вторая формулы Грина.
   
3. Интегральное представление Грина.
   
4. Фундаментальное решение уравнения Лапласа как его решение в смысле обобщенных функций.
   
5. Постановка задачи Дирихле для уравнения Пуассона.
   
6. Функция Грина задачи Дирихле для уравнения Пуассона. Интегральное представление решения этой задачи.
   
7. Свойство симметрии функции Грина.
   
8. Функция Грина задачи Дирихле для уравнения Пуассона в шаре.
   
9. Формула Пуассона для решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа в шаре.
   
10. Теорема о свойствах функции, определенной формулой Пуассона.
    

1.2. Метод Фурье для уравнения Лапласа

1. Решения с разделяющимися переменными уравнения Лапласа в полярных координатах.
   

1. Формальное решение в виде ряда Фурье задачи Дирихле для уравнения Лапласа в круге.
   
2. Теорема о строгом обосновании метода Фурье для задачи Дирихле для уравнения Лапласа в круге.
   
3. Связь решения в виде ряда Фурье и формулы Пуассона для задачи Дирихле для уравнения Лапласа в круге.
   
4. Метод Фурье для уравнения Лапласа в прямоугольнике.
   

1.3. Гармонические функции

2. Гармонические функции. Лемма об интеграле от оператора Лапласа от гладкой функции.
   
3. Формулы среднего значения для гармонических функций.
   
4. Обратная теорема о среднем значении.
   
5. Строгий принцип максимума.
   
6. Четыре следствия принципа максимума для гармонических функций.
   
7. Лемма Хопфа.
   
8. Принцип максимума и принцип минимума для супер- и субгармонических функций.
   
9. Теорема о неравенстве Харнака для функций, гармонических в области.
   
10. Теорема о регулярности гармонических функций.
    

1.4. Краевые задачи для уравнения Пуассона и их простейшие свойства

1. Формулировки трех основных краевых задач для уравнения Пуассона.
   
2. Теорема о свойствах краевой задачи Неймана для уравнения Пуассона.
   
3. Теорема об априорной оценке краевой задачи Дирихле для уравнения Пуассона. Ее следствие.
   
4. Теорема о свойствах третьей краевой задачи для уравнения Пуассона. Ее следствие.
   
5. Понятие корректности задачи математической физики.
   
6. Пример Адамара некорректной краевой задачи для уравнения Пуассона.
   
7. Постановка задач на собственные значения для уравнения Пуассона.
   
8. Теорема о свойствах задач на собственные значения для уравнения Пуассона.
   

1.5. Цилиндрические функции

1. Уравнение Бесселя порядка ν.
   
2. Функция Бесселя порядка ν и ее свойства.
   
3. Функция Бесселя порядка –ν. Общий вид решения уравнения Бесселя порядка ν при нецелом ν.
   
4. Функция Неймана. Общий вид решения уравнения Бесселя порядка ν при целом ν.
   
5. Рекуррентные формулы для функций Бесселя и их следствия.
   
6. Формула для интеграла от квадрата цилиндрической функции порядка ν с весом .
   

1.6. Энергетический метод. Обобщенная и вариационная постановки краевых задач для уравнения Пуассона

1. Интегральное тождество для решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона.
   
2. Обобщенная постановка задачи Дирихле для уравнения Пуассона. Теорема о решении задачи Дирихле для уравнения Пуассона в обобщенной постановке.
   
3. Неравенство Фридрихса.
   
4. Теорема о единственности и энергетической оценке решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона.
   
5. Интегральное тождество для решения второй и третьей краевых задач для уравнения Пуассона.
   
6. Теорема о единственности и энергетической оценке решения третьей краевой задачи для уравнения Пуассона.
   
7. Энергетический функционал для задачи Дирихле для уравнения Пуассона. Вариационная постановка этой задачи.
   
8. Теорема о вариационной постановке задачи Дирихле для уравнения Пуассона.
   
9. Энергетический функционал для третьей краевой задачи для уравнения Пуассона. Вариационная постановка этой задачи.
   
10. Теорема о вариационной постановке третьей краевой задачи для уравнения Пуассона.
    

Количество часов аудиторной работы: лекции 15 час., семинары 15 час.

Общий объем самостоятельной работы: 54 час.

Литература по разделу: [1]-[3].


Раздел 2. Уравнение теплопроводности


2.1. Задача Коши для уравнения теплопроводности. Фундаментальное решение. Интегральное представление решений. Принцип максимума и его приложения

1. Постановка задачи Коши для уравнения теплопроводности.
   
2. Задача Коши для преобразования Фурье решения задачи Коши для уравнения теплопроводности. Формула для преобразования Фурье решения.
   
3. Определение фундаментального решения уравнения теплопроводности. Его явный вид.
   
4. Интегральное представление решения задачи Коши для уравнения теплопроводности.
   
5. Свойства фундаментального решения уравнения теплопроводности.
   
6. Теорема о свойствах интегрального представления решения задачи Коши для однородного уравнения теплопроводности.
   
7. Теорема о свойствах интегрального представления решения задачи Коши для неоднородного уравнения теплопроводности с нулевой начальной функцией.
   
8. Принцип максимума и минимума для супер- и субпараболических функций.
   
9. Теорема о равномерной двусторонней оценке решения задачи Коши для уравнения теплопроводности.
   
10. Замечания и следствие к теореме о равномерной двусторонней оценке решения задачи Коши для уравнения теплопроводности.
    

2.2. Начально-краевые задачи для уравнения теплопроводности

1. Постановки трех начально-краевых задач для уравнения теплопроводности.
   
2. Теорема о равномерной двусторонней оценке решения первой краевой задачи для уравнения теплопроводности.
   
3. Замечания и следствие к теореме о равномерной двусторонней оценке решения первой краевой задачи для уравнения теплопроводности.
   
4. Решения с разделяющимися переменными начально-краевых задач для уравнения теплопроводности.
   
5. Формальное решение в виде ряда начально-краевых задач для уравнения теплопроводности.
   
6. Теорема об экспоненциальной стабилизации решения первой и третьей начально-краевых задач для однородного уравнения теплопроводности.
   
7. Теорема об энергетической оценке решений трех начально-краевых задач для уравнения теплопроводности.
   
8. Следствие о единственности и непрерывной зависимости от начальной функции и правой части решений трех начально-краевых задач для уравнения теплопроводности.
   

Количество часов аудиторной работы: лекции 7 час., семинары 7 час.

Общий объем самостоятельной работы: 22 часа.

Литература по разделу: [1]-[3].


Раздел 3. Уравнение колебаний струны и волновое уравнение


3.1. Задача Коши для уравнения колебаний струны и волнового уравнения. Формулы Даламбера, Кирхгофа и Пуассона

1. Постановка задачи Коши для уравнения колебаний струны.
   
2. Вывод формулы для общего решения однородного уравнения колебаний струны.
   
3. Формула Даламбера для решения задачи Коши для однородного уравнения колебаний струны. Единственность решения задачи Коши.
   
4. Принцип Дюамеля и вывод формулы для решения задачи Коши для неоднородного уравнения колебаний струны с нулевыми начальными данными.
   
5. Замечания о формуле Даламбера. Характеристический треугольник. Равномерная оценка решения задачи Коши для уравнения колебаний струны и его непрерывная зависимость от данных.
   
6. Функция Кирхгофа. Решение задачи Коши для однородного трехмерного волнового уравнения с нулевой первой начальной функцией и произвольной второй начальной функцией.
   
7. Решение задачи Коши для однородного трехмерного волнового уравнения с произвольной первой начальной функцией и нулевой второй начальной функцией.
   
8. Решение общей задачи Коши для трехмерного волнового уравнения.
   
9. Метод спуска. Преобразование функции Кирхгофа в функцию Пуассона. Решение общей задачи Коши для двумерного волнового уравнения.
   
10. Анализ формулы Кирхгофа для локализованного в шаре в начале координат возмущения нулевых начальных данных. Сферическая волна. Передний и задний фронт.
    

3.2. Начально-краевые задачи для волнового уравнения. Их решение методом разделения переменных. Энергетический метод

1. Постановка трех начально-краевых задач для волнового уравнения.
   
2. Решения с разделяющимися переменными начально-краевых задач для волнового уравнения.
   
3. Формальное решение в виде ряда начально-краевых задач для однородного волнового уравнения.
   
4. Формальное решение в виде ряда начально-краевых задач для неоднородного волнового уравнения с нулевыми начальными функциями.
   
5. Формальное решение в виде ряда общих начально-краевых задач для волнового уравнения.
   
6. Энергетическое равенство для второй и третьей начально-краевых задач для волнового уравнения. Физический смысл равенства и его отдельных слагаемых. Случай однородного волнового уравнения.
   
7. Энергетическая оценка решений начально-краевых задач для волнового уравнения.
   
8. Следствия энергетической оценки решений начально-краевых задач для волнового уравнения.
   

Количество часов аудиторной работы: лекции 7 час., семинары 7 час.

Общий объем самостоятельной работы: 23 часа.

Литература по разделу: [1]-[3].

8Образовательные технологии

Лекции и семинарские занятия.

8.1Методические рекомендации преподавателю

8.2Методические указания студентам

9Оценочные средства для текущего контроля и аттестации студента

9.1Тематика заданий текущего контроля

Контрольная работа проводится по материалу раздела 1 и содержит задачи на решение краевых задач для уравнения Пуассона методом Фурье.

Домашнее задание состоит из 4 отдельных заданий по материалу разделов 2 и 3 и содержит задачи на интегральные представления решений задач Коши для уравнения теплопроводности и уравнения колебаний струны/волнового уравнения и на метод разделения переменных для решения начально-краевых задач для этих уравнений, а также на вывод оценок решений этих задач с помощью принципа максимума и энергетического метода.

9.2Вопросы для оценки качества освоения дисциплины

Отдельные вопросы программы дисциплины из раздела 7 являются одновременно вопросами к экзамену.

9.3Примеры заданий промежуточного /итогового контроля

10Порядок формирования оценок по дисциплине

Оцениваются аудиторная, самостоятельная, текущая и экзаменационная работы студента. Соответствующие оценки определяют итоговую оценку.

Аудиторная работа оценивается по результатам 3 письменных тестов, а также посещения семинарских занятий и активности студента на них. Тесты даются на 1 час по различным темам, предполагают полный ответ на вопросы (а не ответы типа да/нет) и оцениваются максимум в 2.5 балла каждый (пропорционально количеству и полноте правильных ответов). Посещение семинарских занятий и активность студента на них оцениваются максимум в 2.5 балла. Накопленная оценка О_{аудиторная} по 10-ти балльной шкале за работу на семинарских занятиях определяется перед итоговым контролем.

Самостоятельная работу студентов оценивается по результатам выполнения 7 домашних работ по разделу 1. Оценка О_{сам. работа} по 10-ти балльной шкале ставится пропорционально общему количеству решенных задач с учетом правильности и полноты решений. Накопленная оценка за самостоятельную работу определяется перед итоговым контролем.

Текущий контроль делается по результатам выполнения контрольной работы и домашнего задания. Контрольная работа проводится в письменном виде в аудитории на 2 часа и содержит задачи по разделу 1. Оценка О_к/р по 10-ти балльной шкале ставится пропорционально общему количеству решенных задач с учетом правильности и полноты решений. Домашнее задание, включенное в РУП, состоит из 4 отдельных заданий по разделам 2 и 3. Оценка О_дз по 10-ти балльной шкале ставится пропорционально общему количеству решенных задач с учетом правильности и полноты решений. Накопленная оценка за текущий контроль учитывает результаты студента следующим образом:

О_{текущий} = 0.5·О_к/р + 0.5·О_дз

и определяется перед итоговым контролем. Способ округления накопленной оценки текущего контроля: арифметический.

Экзаменационная работа студента оценивается следующим образом. На экзамене предлагается ответить на 6 вопросов программы по разным темам курса и решить 2 задачи. Два ответа на вопросы программы должны быть даны с доказательством и оцениваются максимум в 2 балла каждый. Еще четыре ответа на вопросы программы даются без доказательств и оцениваются максимум в 0.5 балла каждый. Решения задач оцениваются максимум в 2 балла каждое. Баллы выставляются в зависимости от правильности и полноты данного ответа (решения) и формируют оценку О_{экзамен} по 10-ти балльной шкале.

Результирующая оценка за итоговый контроль в форме экзамена выставляется по следующей формуле:


О_{итоговый} = 0.5·О_{экзамен} + 0.2·О_{текущий} +0.15·О_{сам. работа} + 0.15·О_{аудиторная.}

Способ округления накопленной оценки итогового контроля в форме экзамена: арифметический. При этом оценка за экзамен является блокирующей.

Студентам предоставляется однократная возможность до экзамена пересдать низкие результаты за текущий контроль и (или) самостоятельную работу и (или) аудиторную работу, если

0.2·О_{текущий} +0.15·О_{сам. работа} + 0.15·О_{аудиторная} < 4.5 балла,

а соответствующая из оценок также < 4.5 балла.

На пересдаче студенту не предоставляется возможность получить дополнительный балл для компенсации оценки за текущий контроль.

В диплом ставится оценка за итоговый контроль, которая является результирующей оценкой по учебной дисциплине.

11Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины

11.1Базовый учебник

11.2Основная литература

1. Олейник О.А. Лекции об уравнениях с частными производными. М.: БИНОМ, 2005 (и другие издания).

2. Свешников А.Г., Боголюбов А.Н., Кравцов В.В. Лекции по математической физике. М.: Изд-во МГУ им. М.В. Ломоносова, 1993.

3. Эванс Л.К. Уравнения с частными производными. Новосибирск: Изд-во Тамара Рожковская, 2003.

11.3Дополнительная литература

1. Будак Б.М., Самарский А.А., Тихонов А.Н. Сборник задач по математической физике. М.: Физматлит, 2003 (и другие издания).

11.4Справочники, словари, энциклопедии

11.5Программные средства

11.6Дистанционная поддержка дисциплины

Домашние задания, вопросы к тестам и задания для самостоятельной работы высылаются студентам через Интернет.

12Материально-техническое обеспечение дисциплины