Программа дисциплины Численные методы для направления 010500. 62 «Прикладная математика и информатика»

Вид материала

Программа дисциплины

Содержание Программа дисциплины Численные методы 1Область применения и нормативные ссылки 2Цели освоения дисциплины 3Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины 4Место дисциплины в структуре образовательной программы 5Тематический план учебной дисциплины Название темы 6Формы контроля знаний студентов 6.1Критерии оценки знаний, навыков 7Содержание дисциплины Раздел 2. Разностные схемы для уравнения теплопроводности и волнового уравнения Раздел 4. Итерационные методы решения задач линейной алгебры 8Образовательные технологии Лекции и практические занятия. 8.1Методические рекомендации преподавателю 9.2Вопросы для оценки качества освоения дисциплины 11Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины 11.1Базовый учебник 11.2Основная литература 11.3Дополнительная литература

Подобный материал:

• Рабочая программа По дисциплине "Методы оптимизации " Для направления 010500 «Прикладная, 109.25kb.
• Рабочая программа по дисциплине «Языки программирования и методы трансляции» для направления, 233.24kb.
• Программа дисциплины математический анализ и обыкновенные дифференциальные уравнения., 139.76kb.
• Учебной дисциплины «Численные методы» для направления 010400. 62 «Прикладная математика, 58.48kb.
• Программа дисциплины ф дифференциальные уравнения для студентов специальности 010501, 101.63kb.
• Программа дисциплины дс. 08 «Информационная безопасность» для студентов специальности, 149.66kb.
• Программа дисциплины Современная прикладная алгебра для направления 010500 Прикладная, 214.78kb.
• Программа дисциплины Уравнения математической физики для направления 010500. 62 «Прикладная, 204.13kb.
• Программа дисциплины Теоретические основы информатики и архитектура ЭВМ  для направлений, 240.65kb.
• Программа дисциплины, 64.95kb.

Правительство Российской Федерации


Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования
"Национальный исследовательский университет
"Высшая школа экономики"


Факультет бизнес-информатики, отделение прикладной математики и информатики


Программа дисциплины Численные методы




для направления 010500.62 «Прикладная математика и информатика»

подготовки бакалавра


Автор программы:

Злотник А.А., д.-ф.м.н., проф., электронный адрес: azlotnik2007@mail.ru


Одобрена на заседании кафедры высшей математики на факультете экономики

«___»____________ 2011 г.

Зав. кафедрой Ф.Т. Алескеров


Рекомендована секцией УМС «___»____________ 2011 г.

Председатель


Утверждена УС факультета «___»____________ 2011 г.

Ученый секретарь ________________________


Москва, 2011

Настоящая программа не может быть использована другими подразделениями университета и другими вузами без разрешения кафедры-разработчика программы.

1Область применения и нормативные ссылки

Настоящая программа учебной дисциплины устанавливает минимальные требования к знаниям и умениям студента и определяет содержание и виды учебных занятий и отчетности.

Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов направления 010500.62 «Прикладная математика и информатика» подготовки бакалавра, изучающих дисциплину Численные методы.

Программа разработана в соответствии с:

• образовательным стандартом НИУ ВШЭ по направлению 010500.62 «Прикладная математика и информатика», уровень подготовки: бакалавр, утвержденным Ученым советом НИУ ВШЭ 02.07.2010 г., протокол № 15
  
• образовательной программой 010500.62, направление «Прикладная математика и информатика» подготовки бакалавра
  
• Рабочим учебным планом университета по направлению 010500.62 «Прикладная математика и информатика» подготовки бакалавра, одобренным Ученым советом факультета бизнес-информатики 26.04.2011 г.
  

2Цели освоения дисциплины

Целями освоения дисциплины Численные методы являются приобретение базовых знаний по разностным схемам для уравнений математической физики, численным методам решения задач линейной алгебры, умение практически реализовывать и использовать эти схемы и методы, получение навыков анализа их свойств.

3Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины

В результате освоения дисциплины студент должен:

• знать способы построения и математический аппарат разностных схем, прямых и итерационных методов численного решения задач линейной алгебры, основные свойства и методы их исследования
  
• уметь программно реализовывать и правильно применять разностные схемы, прямые и итерационные методы численного решения задач линейной алгебры
  
• иметь навыки построения и исследования разностных схем, прямых и итерационных методов численного решения задач линейной алгебры
  

В результате освоения дисциплины студент осваивает следующие компетенции:

Компетенция	Код по ФГОС/ НИУ	Дескрипторы – основные признаки освоения (показатели достижения результата)	Формы и методы обучения, способствующие формированию и развитию компетенции
Способность приобретать новые знания с использованием научной методологии и современных образовательных и информационных технологий	ОНК-6	Дает правильные определения основных понятий, формулировки теорем, воспроизводит их доказательства, правильно применяет изученные методы	лекции, практические занятия, самостоятельная работа
Способность порождать новые идеи (креативность)	ОНК-7	Умеет решать новые для себя задачи в данной области	лекции, выполнение домашних заданий и заданий для самостоятельной работы
Способность демонстрации общенаучных базовых знаний естественных наук, математики и информатики, понимание основных фактов, концепций, принципов теорий, связанных с прикладной математикой и информатикой	ПК-1	Демонстрирует понимание физических основ изучаемых уравнений, методов их анализа и решения, правильно интерпретирует полученные численные результаты	лекции, выполнение домашних заданий и заданий для самостоятельной работы
Способность понимать и применять в исследовательской и прикладной деятельности современный математический аппарат	ПК-2	Правильно применяет изученные ранее методы математического анализа и линейной алгебры, освоенные методы данной дисциплины	лекции, выполнение домашних заданий, контрольных работ, заданий для самостоятельной работы
Способность решать задачи производственной и технологической деятельности на профессиональном уровне, включая разработку математических моделей, алгоритмических и программных решений	ПК-8	Разрабатывает алгоритмические и программные решения для реализации изученных численных методов	лекции, выполнение заданий на практических занятиях, домашних заданий, контрольных работ, заданий для самостоятельной работы
Способность применять в профессиональной деятельности современные языки программирования и языки баз данных, операционные системы, электронные библиотеки и пакеты программ, сетевые технологии и т.п.	ПК-9	Использует языки программирования для реализации изученных численных методов, правильно использует операционные системы и математические пакеты	выполнение заданий на практических занятиях, домашних заданий, заданий для самостоятельной работы

4Место дисциплины в структуре образовательной программы

Настоящая дисциплина относится к циклу дисциплин ОПД.00 Общие профессиональные дисциплины направления (ОПД.Ф.00 Федеральный компонент) и блоку дисциплин, обеспечивающих профессиональную подготовку.


Изучение данной дисциплины базируется на следующих дисциплинах:

• математический анализ
  
• геометрия и алгебра
  
• избранные главы линейной алгебры
  
• уравнения математической физики
  

Для освоения учебной дисциплины, студенты должны владеть следующими знаниями и компетенциями:

• дифференциальным и интегральным исчислением, рядами Фурье
  
• теорией матриц и систем линейных алгебраических уравнений
  
• теорией конечномерных линейных, нормированных, евклидовых, унитарных пространств и линейных операторов в них
  
• постановками краевых и начально-краевых задач для уравнений математической физики и их основными свойствами, принципом максимума, энергетическим методом
  

Основные положения дисциплины могут быть использованы при подготовке выпускных работ бакалавров и при изучении ряда дисциплин в магистратуре.

5Тематический план учебной дисциплины

№№	Название темы	Всего часов	Аудиторные часы		Самост. работа
			лекции	практические занятия
1	Разностная схема для уравнения Пуассона	36	8	8	20
2	Разностные схемы для уравнения теплопроводности и волнового уравнения	36	8	8	20
3	Прямые методы решения задач линейной алгебры	28	7	6	15
4	Итерационные методы решения задач линейной алгебры	62	13	14	35
	Итого	162	36	36	90

6Формы контроля знаний студентов

Тип контроля	Форма контроля	1 год			Параметры
		1	2	3
Текущий (неделя)	Контрольная работа	6	6		2 письменных аудиторных работы на 1.5 часа по разделам 1 и 2
	Домашнее задание 1			3	Письменная домашняя работа по разделу 3. Сдается через неделю после выдачи
	Домашнее задание 2			6	Письменная домашняя работа по разделу 4. Сдается через неделю после выдачи
Итоговый	Экзамен			10	Письменный экзамен на 4 часа

6.1Критерии оценки знаний, навыков

Для контрольной работы студент должен продемонстрировать владение методами построения, анализа и программной реализации разностных схем для уравнения Пуассона, уравнения теплопроводности и волнового уравнения. Компетенции ОНК-6, ОНК-7, ПК-2, ПК-8.

Для домашнего задания 1 студент должен продемонстрировать владение методами построения, анализа, программной реализации и применения прямых численных методов линейной алгебры, а для домашнего задания 2 – итерационных численных методов линейной алгебры. Компетенции ОНК-6, ОНК-7, ПК-2, ПК-8, ПК-9.

Для итогового контроля (экзамена) студент должен продемонстрировать знание основных теоретических положений дисциплины, умение решать типичные задачи по материалу дисциплины, а также программно реализовывать и применять предложенные численные методы.

Оценки по всем формам текущего контроля выставляются по 10-ти балльной шкале.

Выдача домашних заданий осуществляется дистанционно.

7Содержание дисциплины

Раздел 1. Разностная схема для уравнения Пуассона

1. Аппроксимация задачи Дирихле для уравнения Пуассона в прямоугольнике. Разностная схема. Принцип максимума.
   
2. Следствия из принципа максимума: принцип минимума, теоремы сравнения, существование и единственность решения.
   
3. Теорема об априорной оценке решения разностной схемы для уравнения Пуассона. Следствие.
   
4. Три определения устойчивости разностной схемы. Их эквивалентность.
   
5. Погрешность аппроксимации разностной схемы для уравнения Пуассона.
   
6. Теорема об оценке погрешности разностной схемы для уравнения Пуассона в равномерной норме.
   
7. Сеточный метод Фурье в одномерном случае. Свойства системы синусов на сетке.
   
8. Формула суммирования по частям. Одномерный оператор и его свойства.
   
9. Сеточный метод Фурье в двумерном случае. Операторы . Теорема о свойствах системы синусов на сетке. Формула разложения решения разностной схемы для уравнения Пуассона в двукратную сумму Фурье.
   
10. Прямой метод вычисления решения разностной схемы для уравнения Пуассона, основанный на разложении в двукратную сумму Фурье. Хранение информации в памяти компьютера и объем вычислительной работы. Программная реализация.
    
11. Прямой метод вычисления решения простейшей разностной схемы для уравнения Пуассона, основанный на разложении в однократную сумму Фурье. Его свойства.
    

Количество часов аудиторной работы: лекции 8 час., практические занятия 8 час.

Общий объем самостоятельной работы: 20 час.

Литература по разделу: [1, 2, 4].


Раздел 2. Разностные схемы для уравнения теплопроводности и волнового уравнения

1. Начально-краевая задача для двумерного уравнения теплопроводности. Полудискретный метод ее решения. Двухслойные разностные схемы (явная, неявная, симметричная, с весами). Погрешность аппроксимации. Программная реализация.
   
2. Устойчивость явной и чисто неявной разностных схем для уравнения теплопроводности в равномерной норме.
   
3. Метод Фурье исследования устойчивости разностной схемы с весами.
   
4. Энергетический метод исследования устойчивости разностной схемы с весами.
   
5. Экономичные методы для двумерного уравнения теплопроводности.
   
6. Начально-краевая задача для двумерного волнового уравнения. Трехслойные явная разностная схема и схема с весами. Погрешность аппроксимации. Программная реализация.
   
7. Энергетический метод исследования устойчивости трехслойной разностной схемы.
   

Количество часов аудиторной работы: лекции 8 час., практические занятия 8 час.

Общий объем самостоятельной работы: 20 час.

Литература по разделу: [1, 2, 4].


Раздел 3. Прямые методы решения задач линейной алгебры

1. Обусловленность систем линейных алгебраических уравнений и матриц.
   
2. Метод Гаусса и его модификации. LU - разложение матрицы и его приложения. Хранение информации в памяти компьютера и объем вычислительной работы.
   
3. Метод прогонки.
   
4. Метод Холецкого. Вычислительная устойчивость. Хранение информации в памяти компьютера и объем вычислительной работы. Приложения.
   
5. Матрицы отражения, их свойства и применения.
   
6. QR - разложение матрицы и его приложения.
   

Количество часов аудиторной работы: лекции 7 час., практические занятия 6 час.

Общий объем самостоятельной работы: 15 час.

Литература по разделу: [1, 3].


Раздел 4. Итерационные методы решения задач линейной алгебры

1. Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений. Метод простой итерации. Необходимое и достаточные условия сходимости.
   
2. Метод Якоби. Достаточное условие сходимости.
   
3. Метод Зейделя. Достаточное условие сходимости.
   
4. Метод простой итерации с оптимальным параметром. Условия сходимости.
   
5. k-шаговый итерационный метод с чебышевским набором параметров. Скорость сходимости. Вычислительная устойчивость.
   
6. Вариационная постановка задачи решения системы линейных алгебраических уравнений.
   
7. Вариационная интерпретация метода Зейделя. Теорема о его сходимости.
   
8. Метод скорейшего градиентного спуска. Применение для решения систем линейных алгебраических уравнений. Свойства метода и варианты реализации.
   
9. Пространства Крылова. Метод сопряженных градиентов как итерационный метод решения систем линейных алгебраических уравнений.
   
10. Лемма об ортогональной проекции и ее следствие. Построение метода сопряженных градиентов.
    
11. Теорема о скорости сходимости метода сопряженных градиентов. Метод сопряженных градиентов как прямой метод.
    
12. Метод простой итерации с предобуславливанием.
    
13. k-шаговый итерационный метод с предобуславливанием.
    
14. Алгебраическая задача на собственные значения. Степенной метод. Скорость сходимости. Нормировка. Сдвиги.
    
15. Метод обратных итераций. Комбинированный метод.
    

Количество часов аудиторной работы: лекции 13 час., практические занятия 14 час.

Общий объем самостоятельной работы: 35 час.

Литература по разделу: [1, 3, 4].

8Образовательные технологии

Лекции и практические занятия.

8.1Методические рекомендации преподавателю

8.2Методические указания студентам

9Оценочные средства для текущего контроля и аттестации студента

9.1Тематика заданий текущего контроля

Контрольная работа проводится по материалу разделов 1 и 2 и содержит задачи на построение разностных схем, анализ их свойств, методы реализации разностных схем для уравнения Пуассона, а также уравнения теплопроводности и волнового уравнения.

Домашние задания 1 и 2 даются по материалу разделов 3 и 4 и содержат задачи на анализ свойств, программную реализацию и применение прямых и итерационных численных методов линейной алгебры( в том числе на примере реализации разностных схем).

9.2Вопросы для оценки качества освоения дисциплины

Отдельные вопросы программы дисциплины из раздела 7 являются одновременно вопросами к экзамену.

9.3Примеры заданий промежуточного /итогового контроля

10Порядок формирования оценок по дисциплине

Оцениваются аудиторная, самостоятельная, текущая и экзаменационная работы студента. Соответствующие оценки определяют итоговую оценку.

Аудиторная работа оценивается по результатам выполнения 7 компьютерных заданий, а также 3 письменных тестов по различным темам. Тесты предполагают полный ответ на вопросы (а не ответы типа да/нет). Выполнение каждого из заданий и тестов оценивается максимум в 1 балл каждый (в зависмости от правильности и полноты решений и ответов). Накопленная оценка О_{аудиторная} по 10-ти балльной шкале за работу на практических занятиях определяется перед итоговым контролем.

Самостоятельная работа студентов оценивается по результатам выполнения 4 домашних работ по разделам 1,2,3,4. Оценка О_{сам. работа} по 10-ти балльной шкале ставится пропорционально общему количеству решенных задач с учетом правильности и полноты решений. Накопленная оценка за самостоятельную работу определяется перед итоговым контролем.

Текущий контроль делается по результатам выполнения контрольной работы и двух домашних заданий. Контрольная работа проводится в виде двух письменных аудиторных работы на 1.5 часа по разделам 1 и 2 часа и содержит задачи по разделам 1 и 2. Оценка О_к/р по 10-ти балльной шкале ставится пропорционально общему количеству решенных задач с учетом правильности и полноты решений. Домашнее задание, включенное в РУП, состоит из 2 отдельных заданий по разделам 3 и 4. Оценки О_дз1 и О_дз2 по 10-ти балльной шкале ставятся пропорционально общему количеству решенных задач с учетом правильности и полноты решений. Накопленная оценка за текущий контроль учитывает результаты студента следующим образом:

О_{текущий} = 0.3·О_к/р + 0.35·О_дз1 + 0.35·О_дз2

и определяется перед итоговым контролем. Способ округления накопленной оценки текущего контроля: арифметический.

Экзаменационная работа студента состоит из теоретической и практической части. В теоретической части предлагается решить 2 задачи и ответить на 2 вопроса программы по разным темам курса. Решения задач оцениваются максимум в 1.5 балла каждое, ответы на вопросы программы оцениваются максимум в 1 балл каждый. В практической части студент выполняет предложенное задание в компьютерном классе, которое оценивается максимум в 5 баллов. Баллы выставляются в зависимости от правильности и полноты данного решения (ответа) и формируют оценку О_{экзамен} по 10-ти балльной шкале.

Результирующая оценка за итоговый контроль в форме экзамена выставляется по следующей формуле:


О_{итоговый} = 0.5·О_{экзамен} + 0.2·О_{текущий} +0.15·О_{сам. работа} + 0.15·О_{аудиторная.}

Способ округления накопленной оценки итогового контроля в форме экзамена: арифметический. При этом оценка за экзамен является блокирующей.

Студентам предоставляется однократная возможность до экзамена пересдать низкие результаты за текущий контроль и (или) самостоятельную работу и (или) аудиторную работу, если

0.2·О_{текущий} +0.15·О_{сам. работа} + 0.15·О_{аудиторная} < 4.5 балла,

а соответствующая из оценок также < 4.5 балла.

На пересдаче студенту не предоставляется возможность получить дополнительный балл для компенсации оценки за текущий контроль.

В диплом ставится оценка за итоговый контроль, которая является результирующей оценкой по учебной дисциплине.

11Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины

11.1Базовый учебник

11.2Основная литература

1. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: БИНОМ, 2008 (и другие издания).

2. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. М.: Наука, 1989 (и последующие издания).

11.3Дополнительная литература

3. Амосов А.А., Дубинский Ю.А., Копченова Н.В. Вычислительные методы. М.: Изд. дом МЭИ, 2008.

4. Злотник А.А.. Введение в теорию разностных схем. М.: Изд. дом МЭИ, 2011.

11.4Справочники, словари, энциклопедии

11.5Программные средства

11.6Дистанционная поддержка дисциплины

Домашние задания, вопросы к тестам и задания для самостоятельной работы высылаются студентам через Интернет.

12Материально-техническое обеспечение дисциплины

Практические занятия проводятся в компьютерном классе, оснащенном операционной системой Windows и математическими пакетами Mathcad и Matlab.