§ Тема. Некоторые определения и обозначения
| Вид материала | Документы |
- Гост 60-2003 издания. Основные виды. Термины и определения, 62.99kb.
- -, 2064.11kb.
- Определения, обозначения и сокращения, 157.45kb.
- Смирнову Алексею Юрьевичу за предоставленный материал. Это отличное руководство, 2077.23kb.
- Классификация и обозначения цифровых микросхем, 168.7kb.
- Симанкин Федор Аркадьевич, к т. н., доцент Вид учебной работы Аудиторные занятия самостоятельная, 155.96kb.
- Некоторые особенности определения рыночной стоимости привилегированных акций доходным, 380.4kb.
- Основы спектрального анализа звуков, 76.67kb.
- Курсовая работа, 377.52kb.
- Тема: Основные понятия и определения, 164.71kb.
§ 1.Тема. Некоторые определения и обозначения.
Определение.
Дифференциальным уравнением называется уравнение, содержащее производные неизвестной функции. Если неизвестная функция зависит от одной переменной, то это обыкновенное дифференциальное уравнение, иначе - уравнение в частных производных.
Определение.
Наивысший порядок производных неизвестной функции, входящих в уравнение, называется порядком уравнения.
Определение.
Дифференциальное уравнение называется линейным, если производные и сама неизвестная функция входят в уравнение линейным образом.
µ § (1)
Пусть выбран любойµ §, где µ §, и его норма:
µ §- дифференциальный оператор.
µ § - запись линейного диф. уравнения с помощью диф. оператора. (2)
Определение.
Открытое, связное множество µ § называется областью.
По умолчанию будем считать область ограниченной.
Через µ §или µ § будем обозначать границу области.
Определение.
µ § - (n-1)-мерное многообразие S в µ § принадлежит классу µ § (µ §), если
для µ § и µ § такие, что:
µ §, где µ §
µ § однозначно проектируется на плоскость µ §, при этом:
D - проекция данного множества на плоскость µ §, µ § - k раз непрерывно дифференцируема в D по всем переменным.
Можно разбить поверхность на части, в каждой части можно одну координату выразить через другие непрерывно дифференцируемой функцией.
µ § - множество k раз непрерывно дифференцируемых функций в Q.
µ § - множество k раз непрерывно дифференцируемых функций в µ §.
µ §, аналогично µ §.
µ § - множество финитных k раз непрерывно дифференцируемых функций.
Аналогично: µ §.
§ 2. Классификация линейных уравнений в частных производных второго порядка.
µ §.
µ § - матрица квадратичной формы.
µ § - n вещественных собственных значений матрицы A
µ § - количество положительных собственных значений.
µ § - количество отрицательных собственных значений.
µ § - количество нулевых собственных значений с учетом кратности.
1.Если µ §= n или µ §= n, то это эллиптическое уравнение.
Ex: Уравнение Пуассона
µ §.
2.Если µ § = n - 1, µ § = 1, или µ § = 1, µ § = n - 1, то уравнение гиперболическое.
Ex: µ § - волновое уравнение.
Для уравнения Лапласа:
µ §
Для волнового уравнения:
µ §
3.Если µ §, а µ §, то ультрагиперболическое уравнение.
Ex: µ §.
4.Если µ §, то параболическое уравнение.
Ex: µ §, и - уравнение теплопроводности.
µ §
Определение.
Каноническим видом линейного дифференциального уравнения в частных производных называется такой вид, когда матрица A является диагональной.
Приведение к каноническому виду.
1) y=y(x), то:
µ §
Уравнение (1) в новой системе координат:
µ § (1')
Матрица Якоби:
µ §.
В результате:
| µ § |
Ex:
µ §
гиперболическое уравнение.
µ § - канонический вид волнового уравнения.
Замечание: тип уравнения может быть различный в различных точках.
§ 3.Постановка начальных и краевых задач для уравнений в частных производных.
Задача Коши для волнового уравнения:
µ § µ §
Уравнение теплопроводности
µ § µ §
Уравнение Пуассона
µ §
Определение.
Если малые изменения правой части уравнения приводят к большим изменениям в решении, то задача считается некорректной.
µ § (6)
µ § (7.1)
µ § (7.2)
µ § (7.3)
(6)(7.1) - первая краевая задача, задача Дирихле.
(6)(7.2) - вторая краевая задача, задача Неймана.
(6)(7.3) - третья краевая задача.
Волновое уравнение.
µ § (8)
µ § (9)
µ § (10)
µ § (11.1)
µ § (11.2)
µ § (11.3)
(8) (9) (10) (11.1) - смешанные
(11.2) задачи
(11.3) (краевые задачи)
µ § - единичный вектор внешней нормали к поверхности.
На µ § задаются начальные условия.
На боковой поверхности - краевые задачи.
Параболическое уравнение.
µ § (12)
µ § (13)
µ § (14.1)
µ § (14.2)
µ § (14.3)
(12) (13) (14.1) - первая, вторая и третья смешанные задачи
(14.2) для уравнения
(14.3) теплопроводности.
(14.1) - на границе задана температура;
(14.2) - задан тепловой поток;
(14.3) - задан теплообмен с окружающей средой.
§ 4. Решение смешанных задач для волнового уравнения методом Фурье (разделением переменных).
Первая смешанная задача.
µ § (1)
µ § (2)
µ § (3)
µ § (4)
µ § (5)
µ § (6)
Собственные значения (5) - (6) вещественны, имеют конечную кратность.
µ §
µ § - изолир. µ §.
µ § - ортонормированный базис в µ §.
В симметричной матрице собственные вектора, соответствующие разным собственным значениям, попарно ортогональны.
Пусть функции µ § - разложены по базису µ §
µ §
тогда и u(t,x) можно разложить по базису µ § : µ §
Почленно дифференцируем ряд 2 раза:
µ §
µ § (7)
Путём разложения решения в ряды по собственным функциям задачи алгебраизуем задачу, получаем счётное число обыкновенных дифференциальных уравнений.
µ § (8)
µ § (9)
(7) (8) (9) - задача.
Решим однородное уравнение для (7):
µ §
- общее решение однородного уравнения (7)
µ §
µ § (10)
µ §
В результате: µ § - частное решение неоднородного уравнения (7).
µ § - общее решение уравнения (7).
Подставим (8) и (9) в решение:
µ §
т.е. µ §.
| µ § |
Замечание: не обоснована сходимость рядов.
§ 5.Решение смешанных задач уравнения теплопроводности методом Фурье (разделения переменных).
µ § (1)
µ § (2)
µ § (3)
µ § (4)
µ § (5)
µ § - собственные векторы и собственные значения.
µ §
µ § (6)
µ §
µ § - общее решение однородного уравнения (6)
µ § - частное решение неоднородного уравнения (6)
µ §
µ § - общее решение уравнения (6).
µ §
| µ § |
Рассмотрим функцию:
µ §
µ § - бесконечно дифференцируема при µ §.
Если µ § из µ §, то:
µ §
µ §, и при µ § функция склеивается как бесконечно гладкая.
µ §-финитная :µ §
µ § - замыкание множества, где µ § отлична от 0.
µ §.
Введём µ § - функция n переменных.
Свойства µ § :
1) µ §- бесконечно дифференцируемая, финитная:
µ §.
2) µ § - замкнутый шар радиуса h с центром в O.
µ §.
3)µ §
Доказательство.
µ §, С находится из условия µ §.
4) µ §.
Обозначим: µ §
µ §
Интеграл по x бесконечно дифференцируем.
Если µ §, то: µ §
Носитель функции принадлежит области интегрирования, и: µ §.
Если µ §, то µ § : µ §.
Свойства функции µ §:
µ §
µ §
µ §
µ §
µ § - срезающая функция.
Пространство µ §.
Определение.
Пусть µ §. Назовём множество функций µ §, пространством µ §, если:
- µ § - измеримы в Q;
- µ § в смысле Лебега.
Вводится µ §. Выполняются все аксиомы скалярного произведения.
Утверждение (без доказательства).
µ § - полное пространство.
Вводится µ §.
Свойства пространства µ §.
Теорема 1.
Множество финитных бесконечно дифференцируемых функций всюду плотно в пространстве µ § :
µ §.
Доказательство.
Множество ступенчатых функций плотно в µ §.
Множество линейных комбинаций характеристических функций всюду плотно в µ §.
Доказать: любую характеристическую функцию измеримого множества можно сколь угодно точно аппроксимировать финитными функциями.
Любое измеримое множество сколь угодно точно может быть аппроксимировано открытыми областями.
Доказать: характеристическую функцию µ § можно сколь угодно точно аппроксимировать финитными бесконечно гладкими функциями.
µ §
Рассмотрим µ § - финитная, бесконечно дифференцируема в µ §.
µ §
Значит, µ §.
µ §
Аппроксимация получена.
Теорема 2.
Множество непрерывных функций всюду плотно в пространстве µ §.
Определение 2.
Пусть µ § и считается продолженной нулем вне Q µ §. Скажем:
f - непрерывна в среднеквадратичном, если µ §:
µ §.
Теорема 3.
Любая функция из µ § непрерывна в среднеквадратичном.
Доказательство.
Пусть µ §. Пусть µ §
µ §
Оценим:
µ §
При сдвиге supp сдвигается в пределах шара радиуса 2a.
µ § µ §
Теорема доказана.
Определение 3.
µ §
µ § - бесконечно дифференцируема, финитна.
Свойства:
µ §
µ § - осреднение функции f.
Теорема 4.
µ §
Любая функция из µ § сколь угодно точно аппроксимируема своими осреднениями - бесконечно дифференцируемыми, финитными в µ §.
Доказательство.
µ §
От Q к µ §, от µ § к µ §
µ §
При µ §.
Возьмем любые две функции:
µ §
Определение.
µ §- множество функций, принадлежащих µ § на любом компакте внутри области.
µ §
Определение 1.
Пусть µ §
µ § - обобщённая производная функции f, если µ § выполняется:
µ § (1)
Теорема 1.
Обобщённая производная определяется единственным образом.
Доказательство.
Предположим противное: µ § - обобщённые производные функции f.
µ § (2)
µ § (3)
(2),(3) - тождество для µ §
µ § - что и требовалось доказать.
Теорема 2.
Обобщённые производные не зависят от порядка дифференцирования.
Доказательство - из интегрального тождества (1).
Примеры обобщённых производных.
Ex 1.
µ §
По определению:
µ §
Пусть µ § и µ §
µ §
| µ § |
Ex 2.
µ §
Покажем, что обобщённой производной не существует.
Пусть µ §, то:
µ §
где µ §
1) пусть µ § носитель в µ §, то :
µ §
2) пусть µ § : µ §, значит:
µ §
Вывод: µ §.
µ §
Вывод: µ §, не имеет обобщённой производной.
Теорема 3.
Пусть µ § имеет обобщённую производную µ §, то:
1. µ § (4)
µ §
если µ §.
2. Если к тому же µ §
µ § (6)
µ § (7)
Доказательство.
µ §
Выберем h так, чтобы µ §
µ §
Подсказка: если функция финитна, то её носитель - внутри области.
Если функцию умножить на срезающую, то ничего не изменится.
Теорема 4.
µ §
Утверждение.
Пусть µ §, то µ §
µ §
Пусть µ § - открытый компакт, то µ § для µ §
µ §
µ §
Теорема 5.
Пусть µ §. µ § имеет обобщённые производные µ § и µ §, то
существует обобщённая производная µ §.
Пространство Соболева.
Определение.
µ §, такая, что µ § называется пространством Соболева порядка k.
µ §
Обозначения: µ §, µ § или µ §.
Введём µ §.
Утверждение.
µ § - гильбертово(унитарное, сепарабельное).
Теорема 1.
µ § - полное пространство.
Доказательство.
µ § - фундаментальная в µ § µ §
µ §.
µ § - мультииндекс
µ § - может быть равен 0.
µ §
µ § в µ §.
µ § в µ §.
Интегральное тождество для µ §:
µ §
Из сильной сходимости следует слабая:
µ §
µ §
Вывод: пространство полное.
Свойства пространств Соболева.
1.µ § для µ §.
2.Если µ §, то µ §.
3.Если µ §, то µ §.
4.Если µ §, то
µ §
если µ §, то µ §.
5.µ § - невырожденное, k раз непрерывно дифференцируемое преобразование, отображающее µ § в µ §.
µ § и пусть µ §.
Пусть µ §.
Пусть µ §, то µ §.
Утверждение.
Невырожденная, гладкая замена переменных сохраняет принадлежность функции пространству Соболева.
6.Обозначим µ § - куб со стороной 2a с центром в начале координат.
Множество бесконечно дифференцируемых функций замыкания куба является всюду плотным в µ §.
µ §.
Доказательство.
Раздвинем область, возьмём µ § и будем её аппроксимировать последовательностью бесконечно гладких функций.
µ § (определена в растянутом кубе)
µ §
Оценим: µ §
µ §
Выберем µ § и рассмотрим µ §
µ §
Разбиение единицы.
Теорема.
Пусть µ § - ограниченная область, пусть µ § - покрытие замыкания Q, µ § - может равняться бесконечности.
µ § - открытые, тогда: существует конечный набор µ § - финитные, бесконечно дифференцируемые в µ §, неотрицательные функции, такие, что:
µ §
Используется для локализации свойства: U имеет свойство на µ §, расширяем D на µ § путём домножения на µ §.
Доказательство.
Возьмём µ §. Для µ § - y покрывается множеством µ §.
Для каждой выбранной y построим:
µ §
µ § покрывается µ §. Из бесконечного покрытия выберем конечное подпокрытие:
µ §.
Обозначим: µ §. Обозначим: µ §.
Определим: µ §:
µ §
Получили: µ §.
Если µ §, то µ §, µ §, и µ §.
Знаменатель в 0 не обращается.
Построена
µ § выполняется свойство 3.
µ § - выполняются свойства 1 и 2.
Теорема о разбиении единицы доказана.
Теорема о продолжении функции.
Частный случай - продолжение из прямоугольников.
µ §
Продолжение функции из µ § в µ §.
Лемма 1.
µ § µ § - продолжение функции f:
µ § и µ §
1.Определить функцию.
2.Проверить условие сливания: совпадание значений функции и её производных по µ § до k-го порядка.
Доказательство.
Определим µ § (2)
Коэффициенты µ § из условия:
µ §
µ § (3)
µ §
Значит, функция непрерывна.
Теперь - доказательство совпадения производных.
µ §
Выполняется одно уравнение из (3), и:
µ §.
Значит: µ §.
Неравенство (1) очевидно через определение нормы в µ §.
Замечание: из доказательства и свойства (6) пространств Соболева следует: можно перейти к µ § - пространству Соболева с выполнением этой теоремы, и (1) тоже справедливо.
Замечание: в силу того, что множество бесконечно дифференцируемых функций в замыкании куба всюду плотно в пространстве µ § в этом кубе и в силу того, что протсранство Соболева инвариантно относительно невырожденной гладкой замены переменных.
Лемма 2.
µ §
µ § (4)
Теорема о продолжении функции.
Пустьµ § - ограниченная область, граница µ §. Пусть µ § (µ §- область), тогда:
µ § - продолжение f, такая, что:
1)µ §
2)µ §
3)µ § (5)
Замечание.
Лемма 1 - рассмотрены кубики, в теореме: из Q на µ § и все свойства, как в лемме 1.
Доказательство.
В окрестности каждой точки границы: µ § нарисуем шар µ §.
Пусть в O(z) граница задаётся уравнением µ §.
Введём новые переменные:
µ § - невырожденное преобразование координат.
Преобразование: µ § - внутри пространства Соболева.
Во что перейдёт множество: µ §
Вырезали куб µ §.
Результат преобразования
Прообраз куба µ § - криволинейный кубик.
Покроем границу кубиками Vi и выберем конечное подпокрытие.
(Tju)(y) = u(x(y)) (xОVj)