§ Тема. Некоторые определения и обозначения
| Вид материала | Документы |
- Гост 60-2003 издания. Основные виды. Термины и определения, 62.99kb.
- -, 2064.11kb.
- Определения, обозначения и сокращения, 157.45kb.
- Смирнову Алексею Юрьевичу за предоставленный материал. Это отличное руководство, 2077.23kb.
- Классификация и обозначения цифровых микросхем, 168.7kb.
- Симанкин Федор Аркадьевич, к т. н., доцент Вид учебной работы Аудиторные занятия самостоятельная, 155.96kb.
- Некоторые особенности определения рыночной стоимости привилегированных акций доходным, 380.4kb.
- Основы спектрального анализа звуков, 76.67kb.
- Курсовая работа, 377.52kb.
- Тема: Основные понятия и определения, 164.71kb.
Теорема 4.
µ § µ § всюду плотно в µ §. Возьмем µ §
µ §
µ §
Теорема 5.
Для µ § можно определить след : µ §µ § и при этом: µ §.
Обобщенные решения смешанной задачи для
уравнения теплопроводности.
µ §
µ §
Определение.
Обобщенное решение µ §- называется обобщенным решением задачи (1)-(3), если µ §: µ § выполняется интегральное тождество (4).
Существование обобщенного решения первой смешанной задачи для уравнения теплопроводности (метод Фурье, метод разделения переменных).
µ §
µ §- собственные значения;
µ § - ортогональный базис в µ §;
µ § - ортонормированный базис в µ §.
Будем считать: µ §
µ §
при почти всех t интегрируема с квадратом в µ §.
Равенство Парсеваля:
µ § f-измерима и µ § по неравенству Гельдера. µ §.
По теореме Лебега можно слева и справа проинтегрировать по t и поменять местами µ §.
µ §
Решение имеет вид:
µ §
Надо доказать сходимость в µ §.
Теорема.
µ § ряд (6) сходится в пространстве µ § к некоторой функции µ §, которая является обобщенным решением задачи (1)-(3). При этом:
µ §
Доказательство.
Первый этап.
Предположим, что правая часть уравнения имеет вид: µ § , а начальная функция: µ §.
Рассмотрим:
µ §
µ §
µ §
-интегральное тождество выполняется.
Второй этап.
µ §
Третий этап. Доказательство фундаментальности последовательности µ §. Оценим модуль:
µ §
Интегрируем слева и справа:
µ §
µ §
Значит: последовательность фундаментальна и она сходится:
µ §
µ §
Переходим к пределу:
µ §
Надо доказать, что u - задает решение задачи.
µ §
При переходе к пределу выполняется интегральное тождество:
µ §
Теореме доказана. Из этой теоремы не следует единственность.
Единственность обобщенного решения смешанной задачи для уравнения теплопроводности.
µ §
Теорема.
Задача (1)-(3) может иметь не более одного обобщенного решения.
Доказательство.
Пусть µ § -обобщенные решения, оценимµ §.
µ §
µ § - добавлена гладкость по t.
µ §
Условия, налагаемые на v: µ § .
µ §
µ §
µ §
Формула Кирхгофа.
Дополнительные обозначения:
пусть есть µ § , µ § - фиксируется. Обозначим : µ §- конус с вершиной в µ § .
Возьмем произвольную µ § .
Обозначим:
µ §
µ §.
Выберем µ § и рассмотрим : µ § - вне цилиндра, но внутри конуса.
Обозначим через µ § - часть конической поверхности, ограниченной µ § : µ §
µ §
µ §
µ § - дважды непрерывно дифференцируема в открытом конусе. При этом : µ § - замыкание конуса.
Замечание: µ § - волновой оператор.
Рассмотрим вспомогательную функцию: µ §.
Рассмотрим: µ § . Заметим: µ § .
В дальнейшем: x принадлежит малому конусу с вырезанным цилиндром.
Проинтегрируем левую и правую части тождества по µ § :
µ § ,
где: - единичный вектор внешней нормали к границе области.
Разобьем этот интеграл на 3 интеграла: µ §;
потом µ § .
Рассмотрим на конической поверхности µ § интеграл µ §
Вычислим все частные производные функции v по µ § и по направлению внешней нормали к поверхности: µ §
µ §
µ §
Зная, что µ §, получим: µ §,
где: µ §. Вывод: µ §.
Рассмотрим µ § , зная, что для µ §.
µ §
Переход к пределу:
µ §
Вычислим: µ § µ § - внутренняя нормаль к цилиндру.
Т.к. u - непрерывно дифференцируема на поверхности, то:
µ § µ §
учитывая: µ § на цилиндрической поверхности.
µ §
В силу оценки: µ §
Получим: µ §
µ §µ §µ §
µ §
µ §
µ §
Получена формула Кирхгофа: (1)
| µ § |
Замена переменных (чтобы легче было дифференцировать по t):
µ §
µ §Продифференцировано первое слагаемое: µ §
µ §
Геометрический смысл формулы.
1. В первых двух интегралах производится интегрирование по границе основания конуса - трехмерной сфере.
2. В третьем интеграле производится интегрирование по основанию конуса - трехмерному шару.
3. Значение даламбериана вычисляется интегрированием по боковой поверхности конуса.
СМЫСЛ. Дважды дифференцируемая функция u(x,t) выражается через значение первых производных на сфере (границе основания конуса) и её даламбериан на боковой поверхности конуса.
Задача Коши для волнового уравнения.
Обозначим: µ §
Определение.
Функция u(x,t) , такая, что:
1) µ § - дважды непрерывно дифференцируемая на µ § ;
2) µ § - один раз непрерывно дифференцируемая в замыкании этого множества;
называется классическим решением задачи Коши для волнового уравнения, если:
µ §
Пусть n=3.
Обозначим: µ §
По формуле Кирхгофа функция u(x,t) выражается для любого конуса µ § через функции µ § в этом конусе. Функция