§ Тема. Некоторые определения и обозначения

Вид материала

Содержание

Формула интегрирования по частям.
Теорема Реллиха-Гординга.
Формула интегрирования по частям

Подобный материал:

1 2 3 4 5 6 7

- переход от x к y,

переход от y к x : µ§

µ§

Введём : µ§ µ§ если µ§

µ§

µ§ на носителях µ§ обратятся в 1.

µ§

Свойства оператора продолжения:

1. F(x) - ограниченный оператор;

2. Т.к. µ§ - финитная, то F(x) - финитная на W

Доказать: F(x)=f(x),если µ§.

µ§

Замечание.

Теорема 1 остаётся справедливой для пространств µ§ (следует из доказательства).

Теорема 2.

Пусть µ§ - ограниченная область

µ§ , µ§- всюду плотно в µ§.

Доказательство.

Рассмотрим произвольную функцию µ§.

µ§ - ограниченная.

F-продолжение f. Так как F - финитная в W, то µ§

µ§

Сепарабельность пространств Соболева.

Теорема.

Пусть µ§ - ограниченная область, µ§, тогда :

µ§ - сепарабельное.

Построениe счётного всюду плотного множества.

Доказательство.

Рассмотрим µ§ ; продолжение функции f : µ§.

Аппроксимируем функцию F . Множество финитных, бесконечно дифференцируемых функций (в силу свойств осреднений) всюду плотно в пространстве финитных функций µ§.

Очевидно : µ§.

Где коэффициенты : µ§.

Пусть H - сепарабельное гильбертово пространство.

Определение.

Функции µ§ образуют ортонормированную систему, если µ§ , и µ§ .

Утверждение.

В каждом сепарабельном гильбертовом пространстве существует ортонормированный базис, т.е. такая система µ§ ,что µ§.

Разложение по этому базису единственно, и : µ§.

Равенство Парсеваля.

µ§.

Пространство µ§ - сепарабельное гильбертово пространство с ортонормированным базисом : можно взять систему экспонент (нормированную).

Разложение в сходящийся ряд :

µ§

Определим вид коэффициентов Фурье:

µ§

проинтегрируем по частям и получим :

µ§ , где µ§

Получаем : µ§ и следовательно :

µ§

F можно точно аппроксимировать линейными комбинациями экспонент.

Искомое множество - линейное пространство экспонент с рациональными коэффициентами.

След функции из H^k(Q).

Для функции изµ§ понятие значения на (n-1)- мерной поверхности не определено.

Если µ§ удовлетворяет условиям дифференцируемости, то :

определение следа функции на (n-1)- мерной поверхности.

Рассмотрим µ§µ§ -ограниченную область, µ§.

µ§ - (n-1) - мерная поверхность, µ§.

Пусть µ§

µ §

µ§Можно разбить на конечное число простых кусков, однозначно проецирующихся на координа тные плоскости и описывающиеся уравнением : µ§µ§

µ§

Для любой непрерывной функции след - её значение на поверхности, однозначно продолженое по непрерывности.

µ§

Так как f=0 вне области Q , то по формуле Ньютона-Лейбница :

µ§

Оценим :

µ§

Обе части умножим на µ§ и проинтегрируем по D :

µ§

f- финитная.

Так как µ§ может быть продолжена в W µ§ финитным образом,

µ§, причём µ§

µ§

µ§

Существует последовательность µ§

µ§µ§

Отсюда следует фундаментальность последовательности следов в µ§

µ§- полное, следовательноµ§ - сходится, µ§

Перейдём к пределу, получим :

µ§

Утверждение.

Определение µ§ не зависит от выбора аппроксимирующей последовательности µ§.

Доказательство.

Пусть есть две последовательности µ§ в µ§.

Пусть µ§.

Следовательно, должны совпадать два предела в µ§.

Рассмотрим

µ§

Значит : µ§, и µ§.

Если функция непрерывна в µ§ и принадлежит µ§, то её понятие следа как значения непрерывной функции и как предела совпадают.

Формула интегрирования по частям.

Пусть Q- ограниченная, µ§.

µ§, µ§ - единичный вектор внешней нормали к µ§.

Теорема Реллиха-Гординга.

Если µ§, то µ§, если µ§ сходится в µ§, то µ§ сходится в µ§µ§.

Пространство Соболева с большим показателем дифференцируемости k компактно вложено в ространство Соболева с меньшим показателем.

Пусть µ§- ограничена, µ§, тогда : µ§ - компактно вложено в µ§.

Множества, ограниченные в µ§, являются предкомпактными в µ§.

Определение.

Предкомпактными называются такие множества, замыкания которых компактны.

Из любой ограниченной последовательности функций из µ§ можно выбрать подпоследовательность, сходящуюся в µ§.

Или : Для µ§ можно выбрать µ§ , сходящуюся в µ§.

Доказательство.

1. Продолжим функции µ§ финитным образом в более широкую область W, µ§.

µ§.

Оператор продолжения ограничен, и : µ§.

Т. к. множество финитных, бесконечно дифференцируемых функций всюду плотно в пространстве функций µ§ с компактными носителями, то без ограничения общности рассуждений можно считать, что все функции µ§ - бесконечно дифференцируемы в µ§ .

µ§- из неё будем выбирать сходящуюся подпоследовательность.

Используем преобразование Фурье : µ§.

µ§.

В силу финитности : µ§

Оценим по неравенству Коши-Буняковского: µ§

Свойство.

В гильбертовом пространстве из ограниченной последовательности можно выделить слабо сходящуюся подпоследовательность.

µ§ - слабо сходящаяся в µ§ .

µ§ - сходящаяся для любой непрерывной линейной функции µ§.

В качестве µ§ возьмём функции :

µ§ - сходится µ§

Докажем, что µ§ - фундаментальна в µ§µ§

µ§

µ§

µ §

Так как последовательность µ§ сходится для любых x и ограничена, то для интеграла µ§ применяем теорему Лебега о предельном переходе под знаком интеграла, получаем :

µ§µ§, где µ§- радиус шара.

µ§

исходя из теоремы Планшереля (в обратную сторону) и свойств преобразования Фурье :

µ§

Выбором R, интеграл µ§ можносделать сколь угодно малым, т.е. :µ§.

Если µ§ и k,m - выбрать , то : µ§ , и последовательность

µ§ - фундаментальна.

Формула интегрирования по частям

µ§ (1)

µ§µ§- ограничена, µ§.

µ§ (2)

µ§

В уравнении (2) перейдем к пределу при µ§, получаем уравнение (1).

Пространство µ§

Определение.

Назовём пространством µ§µ§ замыкание пространства финитных непрерывно дифференцируемых функций в µ§.

µ§- замыкание µ§ в µ§.

Если есть µ§, то :

µ§.

Если µ§, то µ§. Справедливо и обратное утверждение.

Теорема.

µ§.µ§- ограничена, µ§.

Определение.

Эквивалентные нормы.

Пусть H - гильбертово пространство со скалярным произведением ( . , . ).

Скалярное произведение µ§. , . µ§ называется эквивалентным ( . , . ) , если :

µ§

µ§.

Из эквивалентности скалярных произведений можно пользоваться любым.

Теорема 2.

В пространстве µ§ можно ввести скалярное произведение по формуле :

µ§ (3)

Blog

§ Тема. Некоторые определения и обозначения

Содержание