§ Тема. Некоторые определения и обозначения
Вид материала | Документы |
СодержаниеФормула интегрирования по частям. Теорема Реллиха-Гординга. Формула интегрирования по частям |
- Гост 60-2003 издания. Основные виды. Термины и определения, 62.99kb.
- -, 2064.11kb.
- Определения, обозначения и сокращения, 157.45kb.
- Смирнову Алексею Юрьевичу за предоставленный материал. Это отличное руководство, 2077.23kb.
- Классификация и обозначения цифровых микросхем, 168.7kb.
- Симанкин Федор Аркадьевич, к т. н., доцент Вид учебной работы Аудиторные занятия самостоятельная, 155.96kb.
- Некоторые особенности определения рыночной стоимости привилегированных акций доходным, 380.4kb.
- Основы спектрального анализа звуков, 76.67kb.
- Курсовая работа, 377.52kb.
- Тема: Основные понятия и определения, 164.71kb.
переход от y к x : µ §
µ §
Введём : µ § µ § если µ §
µ §
µ § на носителях µ § обратятся в 1.
µ §
Свойства оператора продолжения:
1. F(x) - ограниченный оператор;
2. Т.к. µ § - финитная, то F(x) - финитная на W
Доказать: F(x)=f(x),если µ §.
µ §
Замечание.
Теорема 1 остаётся справедливой для пространств µ § (следует из доказательства).
Теорема 2.
Пусть µ § - ограниченная область
µ § , µ §- всюду плотно в µ §.
Доказательство.
Рассмотрим произвольную функцию µ §.
µ § - ограниченная.
F-продолжение f. Так как F - финитная в W, то µ §
µ §
Сепарабельность пространств Соболева.
Теорема.
Пусть µ § - ограниченная область, µ §, тогда :
µ § - сепарабельное.
Построениe счётного всюду плотного множества.
Доказательство.
Рассмотрим µ § ; продолжение функции f : µ §.
Аппроксимируем функцию F . Множество финитных, бесконечно дифференцируемых функций (в силу свойств осреднений) всюду плотно в пространстве финитных функций µ §.
Очевидно : µ §.
Где коэффициенты : µ §.
Пусть H - сепарабельное гильбертово пространство.
Определение.
Функции µ § образуют ортонормированную систему, если µ § , и µ § .
Утверждение.
В каждом сепарабельном гильбертовом пространстве существует ортонормированный базис, т.е. такая система µ § ,что µ §.
Разложение по этому базису единственно, и : µ §.
Равенство Парсеваля.
µ §.
Пространство µ § - сепарабельное гильбертово пространство с ортонормированным базисом : можно взять систему экспонент (нормированную).
Разложение в сходящийся ряд :
µ §
Определим вид коэффициентов Фурье:
µ §
проинтегрируем по частям и получим :
µ § , где µ §
Получаем : µ § и следовательно :
µ §
F можно точно аппроксимировать линейными комбинациями экспонент.
Искомое множество - линейное пространство экспонент с рациональными коэффициентами.
След функции из Hk(Q).
Для функции изµ § понятие значения на (n-1)- мерной поверхности не определено.
Если µ § удовлетворяет условиям дифференцируемости, то :
определение следа функции на (n-1)- мерной поверхности.
Рассмотрим µ §µ § -ограниченную область, µ §.
µ § - (n-1) - мерная поверхность, µ §.
Пусть µ §
µ §
µ §Можно разбить на конечное число простых кусков, однозначно проецирующихся на координа тные плоскости и описывающиеся уравнением : µ §µ §
µ §
Для любой непрерывной функции след - её значение на поверхности, однозначно продолженое по непрерывности.
µ §
Так как f=0 вне области Q , то по формуле Ньютона-Лейбница :
µ §
Оценим :
µ §
Обе части умножим на µ § и проинтегрируем по D :
µ §
f- финитная.
Так как µ § может быть продолжена в W µ § финитным образом,
µ §, причём µ §
µ §
µ §
Существует последовательность µ §
µ §µ §
Отсюда следует фундаментальность последовательности следов в µ §
µ §- полное, следовательноµ § - сходится, µ §
Перейдём к пределу, получим :
µ §
Утверждение.
Определение µ § не зависит от выбора аппроксимирующей последовательности µ §.
Доказательство.
Пусть есть две последовательности µ § в µ §.
Пусть µ §.
Следовательно, должны совпадать два предела в µ §.
Рассмотрим
µ §
Значит : µ §, и µ §.
Если функция непрерывна в µ § и принадлежит µ §, то её понятие следа как значения непрерывной функции и как предела совпадают.
Формула интегрирования по частям.
Пусть Q- ограниченная, µ §.
µ §, µ § - единичный вектор внешней нормали к µ §.
Теорема Реллиха-Гординга.
Если µ §, то µ §, если µ § сходится в µ §, то µ § сходится в µ §µ §.
Пространство Соболева с большим показателем дифференцируемости k компактно вложено в ространство Соболева с меньшим показателем.
Пусть µ §- ограничена, µ §, тогда : µ § - компактно вложено в µ §.
Множества, ограниченные в µ §, являются предкомпактными в µ §.
Определение.
Предкомпактными называются такие множества, замыкания которых компактны.
Из любой ограниченной последовательности функций из µ § можно выбрать подпоследовательность, сходящуюся в µ §.
Или : Для µ § можно выбрать µ § , сходящуюся в µ §.
Доказательство.
1. Продолжим функции µ § финитным образом в более широкую область W, µ §.
µ §.
Оператор продолжения ограничен, и : µ §.
Т. к. множество финитных, бесконечно дифференцируемых функций всюду плотно в пространстве функций µ § с компактными носителями, то без ограничения общности рассуждений можно считать, что все функции µ § - бесконечно дифференцируемы в µ § .
µ §- из неё будем выбирать сходящуюся подпоследовательность.
Используем преобразование Фурье : µ §.
µ §.
В силу финитности : µ §
Оценим по неравенству Коши-Буняковского: µ §
Свойство.
В гильбертовом пространстве из ограниченной последовательности можно выделить слабо сходящуюся подпоследовательность.
µ § - слабо сходящаяся в µ § .
µ § - сходящаяся для любой непрерывной линейной функции µ §.
В качестве µ § возьмём функции :
µ § - сходится µ §
Докажем, что µ § - фундаментальна в µ §µ §
µ §
µ §
µ §
Так как последовательность µ § сходится для любых x и ограничена, то для интеграла µ § применяем теорему Лебега о предельном переходе под знаком интеграла, получаем :
µ §µ §, где µ §- радиус шара.
µ §
исходя из теоремы Планшереля (в обратную сторону) и свойств преобразования Фурье :
µ §
Выбором R, интеграл µ § можносделать сколь угодно малым, т.е. :µ §.
Если µ § и k,m - выбрать , то : µ § , и последовательность
µ § - фундаментальна.
Формула интегрирования по частям
µ § (1)
µ §µ §- ограничена, µ §.
µ § (2)
µ §
В уравнении (2) перейдем к пределу при µ §, получаем уравнение (1).
Пространство µ §
Определение.
Назовём пространством µ §µ § замыкание пространства финитных непрерывно дифференцируемых функций в µ §.
µ §- замыкание µ § в µ §.
Если есть µ §, то :
µ §.
Если µ §, то µ §. Справедливо и обратное утверждение.
Теорема.
µ §.µ §- ограничена, µ §.
Определение.
Эквивалентные нормы.
Пусть H - гильбертово пространство со скалярным произведением ( . , . ).
Скалярное произведение µ §. , . µ § называется эквивалентным ( . , . ) , если :
µ §
µ §.
Из эквивалентности скалярных произведений можно пользоваться любым.
Теорема 2.
В пространстве µ § можно ввести скалярное произведение по формуле :
µ § (3)