§ Тема. Некоторые определения и обозначения
| Вид материала | Документы |
- Гост 60-2003 издания. Основные виды. Термины и определения, 62.99kb.
- -, 2064.11kb.
- Определения, обозначения и сокращения, 157.45kb.
- Смирнову Алексею Юрьевичу за предоставленный материал. Это отличное руководство, 2077.23kb.
- Классификация и обозначения цифровых микросхем, 168.7kb.
- Симанкин Федор Аркадьевич, к т. н., доцент Вид учебной работы Аудиторные занятия самостоятельная, 155.96kb.
- Некоторые особенности определения рыночной стоимости привилегированных акций доходным, 380.4kb.
- Основы спектрального анализа звуков, 76.67kb.
- Курсовая работа, 377.52kb.
- Тема: Основные понятия и определения, 164.71kb.
Единственность классического решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона.
µ § µ § (1)
µ § µ § (2)
µ § - это не гарантирует существование решения. µ §
Теорема.
Задача (1) (2) может иметь не более одного классического решения.
Доказательство.
Предположим противное: пусть есть два классических решения: µ §. Это значит:
µ § µ § (3)
µ § µ § (4)
µ § µ § (5)
µ § µ § (6)
µ § µ § (7)
µ § µ § (8)
µ §
Значит: µ § и µ §
Следовательно, если существуют два решения, то они равны друг другу. Что и требовалось доказать.
Обобщенные решения смешаной задачи для волнового уравнения.
µ § µ § (1)
µ § (2)
µ § µ § (3)
µ § µ § µ § (4)
µ § µ §
Обозначения: µ §; µ § .
µ § µ §
µ §
µ §
µ § : µ § , µ §
Умножим обе части на v и проинтегрируем по цилиндру:
µ §µ § (5)
Хотя обобщенное решение - общее понятие, но классическое решение
может не быть обобщенным.
Определение.
Обобщенное решение - функция u из µ § - называется
обобщенным решением задачи (1)-(4), если µ § µ § и для
µ §, такого, что µ § и µ § выполняется интегральное
тождество (5).
Существование обобщенного решения первой смешанной задачи для волнового уравнения.
µ § µ § (1)
µ § (2)
µ § µ § (3)
µ § µ § µ § (4)
µ §, µ § µ §
µ § µ § (6)
µ § (7)
µ §- ограниченная область; µ §
µ § µ §, µ §, ... , µ §
µ § - базис,
тогда: µ §
µ §
µ § где: µ §
µ §
По теореме Фубини:
µ §
µ §
µ §(8)
Теорема.
µ § µ § µ § ряд (8) сходится в пространстве µ § и сумма этого ряда является обобщенным решением задачи (1)-(4). При этом имеет место оценка: µ § (9)
Доказательство.
Первый этап.
Пусть: µ §
Докажем, что тогда решение u(x,t) имеет вид:
µ §
µ § (10)
µ § (11)
µ § (12)
µ §
при почти всех t µ §.
µ §
Доказано:
если µ § , то: µ § - решение.
µ §
Второй этап.
µ §
то: µ § -обобщенное решение смешанной задачи.
Третий этап.
Докажем, что решения смешанной задачи со специальной правой частью сходятся к обобщенному решению.
Осуществляется предельный переход:
Оценим µ § и их производные:
µ §
µ §
Докажем, что последовательность фундаментальна.
Пусть N>M ; рассмотрим :
µ §
µ §
µ §
Значит µ § -фундаментальная в µ § - полном , т.е. µ §.
µ §
Надо доказать, что u - обобщенное решение, если µ § -обобщенное решение.
µ §
µ § ; при переходе к пределу получим:
µ §
Единственность обобщенного решения первой смешанной задачи для волнового уравнения.
µ § µ § (1)
µ § (2)
µ § µ § (3)
µ § µ § (4)
µ § µ §
µ §
µ §
Теорема 1.
Задача (1) - (4) может иметь не более одного обобщённого решения.
Доказательство.
Достаточно убедится, что однородная задача будет иметь единственное решение.
µ §
Возьмем:
µ §
где:µ § - произвольная, µ §.
µ §
Интегральное тождество приобретет следующий вид:
µ §
µ §Теорема доказана.
Анизотропные пространства Соболева.
Определение.
Анизотропным пространством Соболева µ § называется множество функций µ §.
Вводится скалярное произведение: µ § (1)
Свойства пространств:
Теорема.
Пространство µ § -полно.
Доказательство.
Фундаментальная последовательность, переход к пределу в интегральном тождестве.
Пусть µ § через µ §.
Теорема 2.
µ §
Теорема 3.
µ §-сепарабельно.