§ Тема. Некоторые определения и обозначения
| Вид материала | Документы |
- Гост 60-2003 издания. Основные виды. Термины и определения, 62.99kb.
- -, 2064.11kb.
- Определения, обозначения и сокращения, 157.45kb.
- Смирнову Алексею Юрьевичу за предоставленный материал. Это отличное руководство, 2077.23kb.
- Классификация и обозначения цифровых микросхем, 168.7kb.
- Симанкин Федор Аркадьевич, к т. н., доцент Вид учебной работы Аудиторные занятия самостоятельная, 155.96kb.
- Некоторые особенности определения рыночной стоимости привилегированных акций доходным, 380.4kb.
- Основы спектрального анализа звуков, 76.67kb.
- Курсовая работа, 377.52kb.
- Тема: Основные понятия и определения, 164.71kb.
µ §
Надо доказать :
µ § (4)
Доказательство от противного.
µ §
µ §
Будем считать, что µ §, а это значит : µ §
µ §µ § (по теореме Реллиха-Гординга)
µ §
µ §
Имеем противоречие.Теорема доказана.
Обобщенное решение задачи Дирихле для уравнения Пуассона.
µ §
Пусть µ §- решение задачи (1)-(2). Возьмем µ § и умножим (1) на µ §, проинтегрируем и получим :
µ §. Если µ §- гладкая, то :
µ § (3)
Определение.
Функция µ § называется обобщенным решением задачи (1)-(2), если для любой функции µ § выполняется тождество (3).
При исследовании обобщенных решений µ §.
Лемма.
Существует линейный ограниченный оператор µ §, такой, что µ §.
При этом µ § -компактный самосопряжённый положительный оператор.
По определению : µ §. µ § - антилинейный по µ §.
µ §.
f -ограничен, следовательно применим теорему Рисса :
µ §
F - линейно зависит от u.µ §µ §
µ §.
Компактность очевидна по теореме Реллиха-Гординга.
µ §
Самосопряженность доказана.
µ §
Теорема.
Для любой функции µ § cуществует единственный µ § краевой задачи (1) (2). При этом
µ § (4)
Задача Дирихле для уравнения Пуассона корректна, т.е. существует единственное решение непрерывно зависящее от правой части.
Доказательство.
µ §
Собственные значения и собственные функции оператора Лапласа.
µ §
Определение.
Функция µ § называется обобщенной собственной функцией оператора -D с условиями Дирихле, соответствующей обобщенному собственному значению l, если она удовлетворяет следующему интегральному тождеству :
µ §µ § (3)
Теорема.
1. Собственные значения задачи (1) (2), являются вещественными, положительными, изолированными, имеют конечную кратность, и :
µ §
2.Существует ортонормированный базис в µ § состоящий из собственных функций задачи (1) (2) µ §.
3. µ § составляет ортонормированный базис в µ § с эквивалентным скалярным произведением :
µ § (4)
Доказательство.
Интегральное тождество (3) можно записать в виде :
µ § , µ § , µ §.
Эквивалентная задача : µ §
Теорема 1.
Если µ § - линейный ограниченный самосопряженный оператор, тогда спектр µ § - вещественный, и :
µ §
Теорема 2.
Пусть µ § - компактный, самосопряженный оператор, тогда µ § состоит из {0} и некоторого (конечного или счетного) множества изолированных собственных значений конечной кратности :
µ §
{0} всегда принадлежит спектру компактного оператора.
Теорема 3.
Пусть µ § - копактный, самосопряженный оператор, тогда существует ортонормированный базис в пространстве µ §, состоящий из собственных функций этого оператора : µ §.
Для удобства µ §µ § ,
µ §.
Значит : µ § - ортонормированная система в µ §.
Так как µ § всюду плотно в µ §, то µ § образует ортонормированный базис в µ §.
µ §
Значит : µ § образует ортонормированный базис в µ §.
Рассмотрим задачу :
µ § (1)
где µ §
Краевые условия :
µ § (2)
µ § (3)
µ § (4)
µ §
µ § (5)
µ § (6)
µ § (7)
µ § (8)
µ § (9)
Теорема 1.
Если однородная краевая задача имеет единственное тривиальное решение, то неоднородное неоднородная краевая задача (1) (2) имеет единственное решение для µ §.
2. Если (3) (4) имеет нетривиальное решение , то (1) (2) разрешима тогда и только тогда, когда µ § для любого w, являющегося решением (5) (6)
3. Задачи (3) (4) и (5) (6) имеют одинаковое число линейно независимых решений.
Теорема Фредгольма.
Рассмотрим уравнения
µ § (10)
µ § (11)
µ § (12)
где I - единичный оператор в H, C - компактный оператор в H.
1. Если однородное уравнение (11) имеет единственное тривиальное решение, то для µ § существует единственное решение уравнения (10).
2. Если уравнение (11) имеет нетривиальное решение, то уравнение (10) разрешимо тогда и только тогда, когда µ §.
3. µ §
Оценим член : µ §
µ §
µ §
µ § - компактно.
µ § (13)
µ § (14)
Изучим член :
µ §
Значит :
µ § (15)
(1) (2) µ § (16)
(3) (4) µ § (17)
(5) (6) µ § (18)
Доказана первая часть теоремы.
Пусть (3) (4) имеет нетривиальное решение, тогда µ §
Т.е. µ §
Теорема доказана.
Разложение решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона в ряд по собственным функциям.
µ §- ограничено (1)
µ § (2)
µ § (3)
µ § в µ §
µ §
µ §
Конечноразностные операторы.
Цель : Аппроксимация обобщенных производных конечноразностными операторами.
µ §
Пусть µ §- финитная в Q :
µ § (1)
Аналог формулы интегрирования по частям :
µ §
Обозначим : µ §.
Теорема.
Пусть µ §, тогда :
1) если µ §, где µ §, то :
µ § (3)
и при этом :
µ § (4)
2) Если для µ §, то : µ §
Доказательство.(1ая часть теоремы)
Из теорем об аппроксимации функции f и её обобщённой производной осреднениями функции f и её обобщенной производной сооответственно следует, что достаточно доказать часть теоремы для финитной бесконечно диффреренцируемой функции.
µ §
µ § (3)
µ § (4)
µ §
µ §
µ § - доказано (3)
µ §
(применив неравенство Коши-Буняковского)
µ §
µ §
По теореме Фубини имеем неравенство :
µ §
µ §
Доказательство. (2-ая часть. )
µ §
Значит : µ §
Доказательство теоремы 2.
Пусть µ §µ §- ограниченная, односвязная область. µ §.
Q - симметрично относительно µ §, т.е. если µ §, то µ §.
µ §
Обозначим :
µ §
Теорема 2.
Пусть µ §, тогда :
1) если µ §, где µ §, то :
µ §
2) если µ §, то : µ §
Указание. Для доказательства рассмотреть :
µ §
По определению обобщённой производной в (1) получаем :
µ § , тогда :
µ §
Локальная гладкость обобщённых решений.
µ §
µ § ограниченная.
Обобщённое решение : µ §,
µ § (3)
Теорема 1.
Для любого µ § обобщённое решение u задачи (1) (2)
µ §
независимо от гладкости границы, если правая часть из µ § , то обобщённое решение тоже гладко.
Доказательство.
µ §µ §
µ §
Достаточно доказать, что µ § в каждом из шаров : µ §.
Обозначим µ §.
В качестве v для (3) возьмём :
µ §
x - финитная, бесконечно дифференцируемая.
µ §, v может быть использована как пробная :
Подставим v в (3) :
µ §
(умножение u на срезающую функцию для локализации свойства в шаре )
µ § (4)
Введём конечноразностный оператор. Пусть µ §.
µ §.
µ § (5)
Представим (5) в виде : µ §.
Оценим : µ §
По неравенству Коши-Буняковского :
µ §
µ §,
где µ §.
Подставляем в решение в качестве пробной функции :
µ §
Результат : µ §
µ § (6)
В силу 2-ой части теоремы 1 (см. стр. ...) : µ §.
u имеет обощённые производные µ §.
Обобщение Теоремы на случай произвольной гладкости правой части.
Теорема 2.
Пусть µ § - ограничена, µ § - обобщённое решение задачи (1) (2), тогда : µ §.
Гладкость обобщённых решений эллиптических задач вблизи границ.
µ § (1)
µ § (2)
µ §
µ § (3)
Теорема 1.
Пусть µ § - ограниченная область : µ §
µ § - обобщённое решение (1) (2), тогда
µ §.
Доказательство.
µ §
µ §
Доказать, что µ §.
Пусть в окрестности X и Y граница создаётся уравнением :
µ §
Не ограничивая общности рассуждений будем считать, что граница плоская.
Введём срезающую функцию :
µ §
µ §
Подставим v в (3), получим :
µ § (4)
Введём конечноразностный оператор. Пусть µ §.
µ §.
При этом : µ §.
µ § (5)
Представим (5) в виде : µ §.
Через неравенство Коши-Буняковского, получим :
µ §,
где µ §.
Подставляем в решение в качестве пробной функции :
µ §
µ §
В силу 2-ой части теоремы 1 (см. стр. ...) : µ §.
u имеет обощённые производные µ §.
Лемма.
Пусть µ § - обобщённое решение (1) (2), тогда :
µ § - ограничена, следовательно u удовлетворяет уравнению (1) почти всюду в Q.
Будем считать : µ §.
µ §
µ §
Значит : µ §.
Теорема 2.
Пусть µ § - ограниченная область, µ § - обобщённое решение задачи (1) (2), тогда : µ §.
Теорема "вложения" Соболева.
µ §- ограниченная область, µ §, следовательно µ § -непрерывно вложено.
Определение.
Непрерывность оператора наложения - это
µ § почти всюду в Q .
µ § (1)
Доказательство (теоремы).
µ §, где µ §,
если µ §, и :
µ § (2)
Доказательство (1) будет следовать из доказательства (2) и
µ § (3)
Пусть (3) доказана для любой финитной, гладкой µ § , то в этом случае теорема справедлива для µ §.
µ §;
µ §; следует фундаментальность :
µ §
µ §
µ § (4)
(Замечание. Предел в смысле почти всюду : µ § п.в.
Остаётся доказать (3) для любых финитных, бесконечно дифференцируемых в W функций.
µ §
Преобразование Фурье : µ §,
где µ §.
µ §
умножим и разделим на µ § и применим неравенство Коши-Буняковского.
µ §
µ §
Докажем, что интеграл конечен :
µ §
µ §
Где µ §.
Теорема полностью доказана.
Обобщённые и классические решения.
µ § (1)
µ § (2)
Функция µ § - называется классическим решением задачи (1) (2), если она удовлетворяет уравнению (1) и краевым условиям (2).
Теорема 1.
Если µ §, то обобщённое решение µ § обладает следующими свойствами : µ §.
Доказательство.
Пусть µ §, тогда :
µ §
Теорема 2.
Пусть µ § - ограниченная область;
µ §, тогда обобщённое решение
µ §.
Доказательство. µ §
Теорема 3.
Пусть µ § - ограниченная область;
µ §, тогда обобщённое решение
µ § и является классическим решением задачи Дирихле для уравнения Пуассона.
Доказательство. µ §, следовательно всюду в Q удовлетворяет уравнению (1) и условию (2).
Теорема 4.
Пусть µ § - обобщенная собственная функция оператора µ § с однородными условиями Дирихле, тогда: µ §.
Доказательство.
µ §
Если µ §
µ §
По теореме вложения: µ §
Задача Неймана для уравнения Пуассона.
µ §
Определение.
Функция называется обобщенным решением задачи (1) (2), если:
µ §
Пусть µ § - ограниченная область.
Теорема 1.
Задача (1) (2) разрешима тогда и только тогда , когда правая часть уравнения (1) ортогональна константам, т.е: µ §.
Лемма.
Существует линейный ограниченный оператор , такой, что:
1)µ §
2) µ § - компактный, самосопряженный, положительный оператор.
Доказательство - аналогично.
µ §
Рассмотрим однородное уравнение:
для однородной задачи (1) (2) µ §
имеет нетривиальное решение.
По определению обобщенного решения : µ §
µ §
Теорема доказана.
Рассмотрим уравнение:
µ §
µ §
Теорема 2.
1. Если задача (3) (4) имеет единственное решение, то задача (1) (2) также имеет единственное решение для µ §.
2. Если задача (3) (4) имеет нетривиальное решение, то задача (1) (2) разрешима тогда и только тогда, когда µ § , где w - решение однородной сопряженной задачи.
3. Размерности подпространств в решениях задач (3) (4) и (5) (6) совпадают и конечны.
Задача Неймана:
µ §
Рассмотрим задачу на собственные значения:
µ §Теорема 3.
1. Собственные значения оператора Лапласа с "-" с условиями Неймана вещественные, конечнократные, неотрицательные и состоят из следующих чисел:
µ §.
2. Соответствующие собственные функции µ § составляют ортонормированный базис в µ §.
3. µ § составляют ортонормированный базис в µ §.
Доказательство.
µ §
Первая часть теоремы доказана.
По Гильберту-Шмидту строится µ § - ортогональный базис в µ § и пусть µ §.
µ §
µ § - ортонормированный базис в µ §.
Теорема 3 доказана.
Задача Дирихле - однозначная разрешимость.
Теорема 4 о гладкости решения задачи Неймана.
Пусть µ § - правая часть уравнения. Пусть µ § - обобщенное решение задачи (1) (2), тогда: µ §
Доказательство - аналогично теореме 3.
Теорема 5.
Пусть граница µ § ; пусть правая часть µ § . µ § - обобщенное решение задачи (1) (2), тогда: µ §.
Теорема 6.
Пусть граница µ § ; правая часть - µ § ; µ § - обобщенное решение задачи (1) (2), тогда: µ §.
Доказательство.
Обобщенное решение: µ § для µ §.
µ §
Уравнение (1) выполняется почти всюду в Q , и:
µ §
Метод Ритца.
Суть: сведение бесконечномерного случая к конечномерному.
Рассмотрим: µ §, где:
l(u) - линейный, ограниченный функционал в µ §.
Найдем минимум квадратичного функционала:
µ §
µ §- конечное число.
Найдется µ § такая, что: µ § - минимизирующая последовательность.
µ §, такой, что: E(u)=d . u - минимизирующий элемент.
Теорема 1.
Существует единственный µ §, минимизирующий функционал E . При этом этом любая минимизирующая последовательность является сходящейся к элементу u : µ § .
Доказательство.
Возьмем любую минимизирующую последовательность. Очевидно:
µ §
Почленно сложим соотношения с "+" и с "-":
µ §
Доказано: последовательность µ § - фундаментальная в полном пространстве, значит: µ § и, значит :
µ §.
Доказано: если µ § - минимизирующая последовательность, то она сходится к минимальному элементу.
Доказательство единственности от противного: пусть есть второй минимальный элемент; составим минимизирующую последовательность: µ §.
Она не сходится, значит, второй минимальный элемент не существует.
Пусть µ § составляют линейно независимую систему функций, линейная оболочка которой плотна в µ §, т.е. полная система, значит:
µ § может быть аппроксимирован µ §.
Обозначим через µ § - конечномерное подпространство µ § , натянутое на первые k функций µ §.
Рассмотрим µ § - задача сводится к конечномерной.
µ §, и E(.) может быть представлен в виде функции k переменных; обозначим её: µ §
Необходимое условие экстремума: µ §, тогда:
µ §, где i=1,...,k. (1)
Система алгебраических уравнений (1) имеет единственное решение, т.к. её определитель (Грама) отличен от 0.
µ §
Обозначим решение µ § , и: µ §- монотонно невозрастающая последовательность минимальных значений функционала.
µ §- последовательность Ритца.
Теорема 2.
Последовательность Ритца является минимизирующей, и, следовательно, сходится к минимизирующему элементу u : µ §.
Доказательство.
Т.к. µ § всюду плотна в µ § , то: µ § , такие что: µ §.
Рассмотрим значение µ § :
µ §
Таким образом: µ § , и при :
µ §.
Теорема 3.
µ § является мимимизирующим элементом для функционала E(u) тогда и только тогда, когда µ §
Доказательство.
Необходимость: пусть u - минимизирующий элемент; возьмем µ § , то: µ § , т.к. u - минимизирующий. Обозначим через µ § . Необходимое условие экстремума: µ § .
µ §
µ §
что и требовалось доказать.
Достаточность: пусть выполняется (2), то рассмотрим:
µ §,
т.е. µ § u - минимизирующий элемент, что и требовалось доказать.
Выводы.
1. Существует единственный минимизирующий элемент - предел минимизирующей последовательности ( последовательности Ритца).
2. Минимизация функционала связана с обобщенным решением краевой задачи.
3. Метод Ритца можно использовать для решения эллиптической задачи.
µ §
µ §
Примеры.
1. µ §
µ §
µ §
µ §- интегральное тождество ( 4 )
(4) определяет обобщенное решение задачи Дирихле для уравнения Пуассона.
µ §
Теорема 4.
1. Существует единственный µ § , минимизирующий функционал в µ § ;
µ §- минимизирующая последовательность µ §
2. Последовательность Ритца для функционала (3) в µ § является минимизирующей.
3. µ §является минимизирующей для функционала (3) тогда и только тогда, когда u является обобщенным решением задачи (5)-(6).
2. Задача Неймана.
Любое решение такой задачи равно сумме частного неоднородного и общего однородного решения. Будем искать решение из µ §, где µ § - замкнутое подпространство пространства µ §.
Обобщенное решение задачи (7)-(8) : µ §
Если u=v=const, то илевая и правая части не изменятся и: µ §.
Решение существует и единственно.
µ §
Будем полагать : µ §, тогда:
Теорема 5.
1. Существует единственный µ § , минимизирующий функционал в µ § ;
µ §- минимизирующая последовательность µ §
2. Последовательность Ритца для функционала (10) в µ § является минимизирующей.
3. µ §является минимизирующей для функционала (10) тогда и только тогда, когда u является обобщенным решением задачи (7)-(8).
Изучение классических решений эллиптических задач.
§1. Формула Грина.
µ §- ограниченная область;
µ §
µ §
µ §
Вычтем из первого второе:
µ §
Интегральное представление производной.
Определение.
Фундаментальное решение уравнения Лапласа:
µ §
Следствие.
µ §
Теорема 1.
Пусть µ § - ограниченная область с границей класса µ § .
Пусть µ § , тогда:
µ §
Доказательство.
Рассмотрим:
-- область без шара.
µ §
µ §
µ §
Обозначим :
µ §
Надо доказать, что : µ §.
Обозначим :
µ §
где : µ § - площадь поверхности единичной сферы в n-мерном пространстве.
Учитывая, что:
µ §
µ §
Обозначим : µ §
µ §
Первая теорема о среднем.
Определение.
Функция u называется гармонической в области Q, если она удовлетворяет в этой области уравнению Лапласа.
Пусть u(x) - гармоническая в µ § .
D- ограниченная область µ § .
µ §
Теорема 1.
Пусть µ § - гармоническая функция в Q , и пусть:
µ §, тогда :µ §
Значение гармонической функции в центре сферы равно среднему арифметическому её значений на границе сферы.
Доказательство.
µ §
Обозначим : µ §
µ §
µ §
Вторая теорема о среднем.
Пусть µ § - гармоническая в Q функция;
µ §, тогда : µ §
Доказательство.
µ §
µ §
µ §
µ § , что и требовалось доказать.
Принцип максимума.
Теорема.
µ §- ограниченная, связная;
u(x) - гармоническая в Q, непрерывная в µ § , µ §, тогда:
µ §
Доказательство.
Предположим противное: µ §, µ §.
Тогда докажем, что в произвольной точке области значение функции U совпадает с M ,т.е. u-const. Возьмем µ § и соединим ломанной l точки Y и Z . Покроем ломанную конечным числом шаров: µ §. Шары такие : µ § и µ §, причем: µ § , µ §.
µ §
µ §
Если µ § ,то: µ § , µ §
µ §
µ §
µ §
µ §
Теорема доказана.