Учебное пособие Санкт-Петербург 2007 Составила: Зуева Т. В. Ст методист: Регель Н. И. Пособие предназначено для изучения соответствующих разделов дисциплин «Математика» и«Элементы высшей математики»
| Вид материала | Учебное пособие |
СодержаниеСвойства определителей |
- Учебное пособие Санкт-Петербург 2009 удк 802., 485.15kb.
- Учебное пособие тверь 2008 удк 519. 876 (075. 8 + 338 (075. 8) Ббк 3817я731-1 + 450., 2962.9kb.
- Учебное пособие Санкт-Петербург 2007 удк алексеева С. Ф., Большаков В. И. Информационные, 1372.56kb.
- Учебное пособие санкт-петербург 2005 удк 339. 9 (075. 80) Ббк, 703.64kb.
- Учебное пособие Нижний Новгород 2007 Балонова М. Г. Искусство и его роль в жизни общества:, 627.43kb.
- Учебное пособие санкт-петербург 2 004 удк 669. 2/8; 669. 4 (075. 80) Ббк 34., 990.55kb.
- Учебное пособие Санкт-Петербург 2011 удк 621. 38. 049. 77(075) Поляков, 643.33kb.
- Н. В. Кацерикова ресторанное дело учебное пособие, 1607.02kb.
- Учебное пособие для студентов заочной формы обучения Санкт-Петербург, 1247.83kb.
- Предлагаемое учебное пособие предназначено для студентов, аспирантов и преподавателей, 2052.38kb.
Свойства определителей
Использование свойств определителей позволяет избежать трудоемких расчетов, при вычислениях определителей.
- Определитель не изменится, если поменять местами любые строки и столбцы, не меняя их номера. Такое действие будем называть транспонированием и обозначать
| | | | Т | | | |
| а11 | а12 | а13 | | а11 | а21 | а31 |
| а21 | а22 | а23 | = | а12 | а22 | а32 |
| а31 | а32 | а33 | | а13 | а23 | а33 |
Доказательство:
Дан определитель
| а  11 | а12 | а13 | |
| а21 | а22 | а23 | (1) |
| а31 | а32 | а33 | |
П
оменяем местами 1-ю строку и 1-й столбец, 2-ю строку и 2-й столбец, 3-ю строку и 3-й столбец.
| а11 | а21 | а31 | |
| а12 | а22 | а23 | (2) |
| а13 | а32 | а33 | |
Если исходный определитель (1) разложить по 1-й строке, то он будет равен а11А11 +а12А12 +а13А13.
Определитель (2) разложим по 1-му столбцу, и он будет равен а11А11 + а12А12 + а13А13
Равенство (1) и (2) определителей очевидно.
- Определитель поменяет знак, если переставить любые 2 строки или 2 столбца.
Доказательство:
| а     11 | а12 | а13 | |
| а 21 | а22 | а23 | (1) |
| а 31 | а32 | а33 | |
Можно поменять местами 2 рядом стоящие строки: 1-ю и 2-ю (или 2-ю и 3-ю); либо через строку: 1-ю и 3-ю.
Получим
| а21 | а22 | а23 | |
| а11 | а12 | а13 | (2) |
| а31 | а32 | а33 | |
Если (1) определитель разложить по 1-й строке, а (2) - по 2-й, то числовые значения не изменятся, но алгебраические дополнения во (2) определителе все поменяют знаки на противоположные, так как в (1) определителе элемент а11 стоял на «четном» месте (в 1-й строке и в 1-м столбце: 1+1=2), а во (2) определителе а11 стал на «нечетное» место (во 2-й строке и в 1-м столбце: 1+2=3). Таким образом, определитель поменял знак.
Переставим местами 1-ю и 3-ю строки. Получим определитель и разложим его по 3-й строке.
| а31 | а32 | а33 | =а11 | а32 | а33 | - а12 | а31 | а33 | +а13 | а31 | а32 |
| а21 | а22 | а23 | а22 | а23 | а21 | а23 | а21 | а22 | |||
| а  11 | а12 | а13 | | | | | | |
Отсюда видно, что поменяли знаки все миноры элементов 1-й строки, так как в самих минорах переместились рядом стоящие строки.
Таким образом, определитель изменил знак на противоположный.
- Определитель, у которого две одинаковые строки или два столбца, равен нулю.
Предположим, что определитель равен некоторому отличному от нуля числу Δ. Тогда по свойству (2) при перестановке 2-х строк (или 2-х столбцов) определитель должен поменять знак и стать равным ( Δ). Если переставлять 2 одинаковые строки (или столбцы), то очевидно, что должно выполняться равенство
Δ = Δ
Следовательно, Δ = 0, что и требовалось доказать.
- Если в определителе элементы некоторой строки (или столбца) имеют общий множитель, то его можно вынести за знак определителя
| ка11 | а12 | а13 | | а11 | а12 | а13 |
| ка21 | а22 | а23 | =к | а21 | а22 | а23 |
| ка31 | а32 | а33 | | а31 | а32 | а33 |
Доказательство:
Разложим определитель по элементам 1-го столбца| ка11 | а12 | а13 | | |||
| ка21 | а22 | а23 | =( ка11 )А11+(ка21 )А21+(ка31 )А31= | |||
| ка31 | а32 | а33 | | |||
| | | | =к(а11А11 + а21А21 +а31А31)= | |||
| | | | | |||
| | | | а11 | а12 | а13 | |
| | | =к | а21 | а22 | а23 | |
| | | | а31 | а32 | а33 | |
- Если в определителе элементы некоторой строки (или столбца) представляют собой сумму 2-х или более слагаемых, то определитель может быть разложен на сумму 2-х и более определителей.
| а11+m11 | а12 | а13 | = | а11 | а12 | а13 | + | m11 | а12 | а13 |
| a21+m21 | а22 | а23 | а21 | а22 | а23 | m21 | а22 | а23 | ||
| a31+m31 | а32 | а33 | а31 | а32 | а33 | m31 | а32 | а33 |
Доказательство:
Разложим определитель по элементам 1-го столбца
| а11+ m11 | а12 | а13 | | |||||||
| a21+ m21 | а22 | а23 | =(а11+m11)A11+(a21+m21)A21+(a31+m31)A31= | |||||||
| a31+ m31 | а32 | а33 | | |||||||
| | | | | |||||||
| = (a11A11+a21A21+a31A31) + (m11A11+m21A21+m31A31)= | ||||||||||
| | | | | |||||||
| | а11 | а12 | а13 | | m11 | а12 | а13 | | | |
| = | а21 | а22 | а23 | + | m21 | а22 | а23 | | | |
| | а31 | а32 | а33 | | m31 | а32 | а33 | | | |
- Определитель не изменится, если к элементам некоторой строки (или столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (или другого столбца), умноженные на некоторый коэффициент
Доказательство:
Дан определитель
| а11 | а12 | а13 |
| а21 | а22 | а23 |
| а31 | а32 | а33 |
Прибавим к элементам 1-го столбца соответствующие элементы 3-го столбца, умноженные на коэффициент к.
П
олучим определитель и разложим его на сумму 2-х определителей по свойству (5).| а11+ка13 | а12 | а13 | | а11 | а12 | а13 | | ка13 | а12 | а13 | | ||||||
| а21+ка23 | а22 | а23 | = | а21 | а22 | а23 | + | ка23 | а22 | а23 | | ||||||
| а31+ка33 | а32 | а33 | | а31 | а32 | а33 | | ка33 | а32 | а33 | | ||||||
  | |||||||||||||||||
| | а11 | а12 | а13 | | а13 | а12 | а13 | | | | | ||||||
| = | а21 | а22 | а23 | + к | а23 | а22 | а23 | | | | | ||||||
| | а31 | а32 | а33 | | а33 | а32 | а33 | | | | | ||||||
0
Второй определитель по свойству (3) равен 0. Свойство (6) позволяет делать линейные преобразования над строками и столбцами, обнулять элементы строк и столбцов и вычислять определители по теореме о разложении понижая порядок определителя.
- Алгебраическая сумма произведений элементов любой строки (или столбца) на алгебраические дополнения элементов другой строки (или столбца) равна 0.
Доказательство:
Дан определитель
| а11 | а12 | а13 |
| а21 | а22 | а23 |
| а31 | а32 | а33 |
Составим алгебраическую сумму произведений элементов 1-й строки, например, на алгебраические дополнения элементов 2-й строки.
Получим
| а11А21 + а12А22 + а13А23 = | |||||||||
| | | | | | | | | | |
| =-а11 | а12 | а13 | +а12 | а11 | а13 | - а13 | а11 | а12 | = |
| а32 | а33 | а31 | а33 | а31 | а32 | ||||
| | | | | | | | | | |
| = а11(а12а33 – а32а13) +а12(а11а33 – а31а13) – а13(а11а32 – а31а12)= | |||||||||
| | | | | | | | | | |
| = - а11а12а33+а11а32а13+а12а11а33 – а12а31а13 – а13а11а32+а13а31а12=0 | |||||||||
| | | | | | | | | | |