Учебно-методический комплекс учебной дисциплины «механика, основы механики сплошных сред» вузовского компонента цикла опд. Ф. 1 для специальностей 010400 физика и 013800 радиофизика и электроника составитель

Вид материала

Подобный материал:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Классические выражения для импульса p=mv и энергии E = mv²/2 свободной частицы являются, вообще говоря, приближенными. В более точной модели, именуемой релятивистская механика, эти выражения выглядят следующим образом

.

Здесь c = 3·10⁸ м/сек – скорость света. Если в системе отсчета наблюдателя скорость частицы значительно меньше скорости света, то можно ограничиться приближенными, классическими значениями импульса и энергии. Покажите это самостоятельно.

Докажите, что уравнение движения ковариантно относительно преобразований вида t = t(Q,T); q = q(Q,T), где T – новое время, а Q – новая координата.
Докажите, что уравнения движения, записанные в форме уравнений первого порядка

обладают более широким классом ковариантных преобразований, чем уравнение

. А именно, здесь можно независимо подвергать преобразованию, как координату, так и импульс q = q(Q, P, t); p = p(Q,P,t).

Покажите, что уравнение движения в задаче о заряженной частице на окружности инвариантно относительно отражения угла χ = φ + π.
Покажите, что при c → ∞ (thψ << 1) релятивистское соотношение, определяющее связь между скоростями в различных инерциальных системах отсчета , превращается в классическое правило сложения скоростей, а преобразование Лоренца - в преобразование Галилея.
Выберем новую координату так, чтобы ее связь с прежней координатой x была нелинейной . Запишите уравнение движения свободной частицы в новой системе координат. Поясните физический смысл проведенного преобразования.
Запишите закон движения свободной частицы, используя полную энергию частицы E как одну из постоянных интегрирования. Масштабируйте это решение, выбрав масштаб энергии [E] = 2E.
В задаче о движении частицы массы m в вязкой среде с коэффициентом трения α и начальной энергией E₀ характерным масштабом длины является величина . Какой физический смысл она имеет?
Как выглядит закон движения частицы в поле тяжести, если в качестве постоянных, определяемых начальными условиями, выбрать полную энергию и момент времени, в который скорость равна нулю?
Покажите, что движение частицы в гармонически колеблющемся поле выглядит как движение свободной частицы с точки зрения наблюдателя из колеблющейся системы отсчета .
Известно, что изменение функции Лагранжа на полную производную по времени произвольной функции координат и времени Φ(q,t) не меняет уравнений движения. Для доказательства этого факта покажите, что выполняется тождество

Посчитайте значения действия в задачах: частица в поле тяжести, свободная частица на окружности, частица на вращающемся стержне, гармонический осциллятор и частица в гармонически меняющемся поле для истинных траекторий, проходящих через заданные точки q_A(t_A=0) = 0; q_B(t_B=1) = 1 пространства событий q, t. Используйте для этого масштабированные функции Лагранжа.
Функция Лагранжа свободной частицы в релятивистской механике имеет вид . Покажите, что a) при малых скоростях частицы v<L_reldt является инвариантным относительно преобразований Лоренца.
Посчитайте полную энергию по формуле для следующих систем: свободная частица на прямой, частица в поле тяжести, свободная частица на окружности, свободная частица на вращающемся стержне, гармонический осциллятор, плоский математический маятник, заряд на окружности, частица в гармонически меняющемся поле.
Найдите функцию Гамильтона свободной релятивистской частицы. Покажите, что в пределе бесконечной скорости света она имеет вид классической функции Гамильтона.
Запишите уравнение Гамильтона-Якоби для свободной релятивистской частицы на прямой x.
В задаче о частице в гармонически меняющемся поле переход в колеблющуюся систему отсчета реализуется преобразованием

.

Докажите, что при этом выполняется условие каноничности новых переменных:

Используя условие каноничности, записанного в виде , покажите, что производящей функцией тождественного канонического преобразования является с точностью до аддитивной функции времени. Последняя несущественна, так как ведет лишь к добавке функции времени к функции Гамильтона. Ответьте на вопрос, каким условиям должны удовлетворять преобразования, чтобы производящая функция зависела от переменных ?
Добавление к функции Лагранжа полной производной по времени произвольной функции координат и времени является каноническим преобразованием. Покажите, что при этом и найдите производящую функцию этого преобразования в переменных .
При апериодическом затухании осциллятора в среде (λ > 1) решение уравнения движения имеет вид линейной комбинации двух затухающих экспонент x = Ae^-(^λ^-^d⁾^t + Be^-(^λ⁺^d⁾^t, где . Можно записать постоянные A и B в виде

.

(Предполагаем, что ни A ни B не равны нулю). Здесь C > 0 – новая постоянная, которая (вместе со знаками ±) определяет исходное состояние осциллятора в момент t = t₀. Найдите связь этой постоянной с начальной энергией осциллятора.

Уравнения движения затухающего осциллятора в переменных «действие-угол» имеют вид

.

В случае  > 1 скорость изменения угла обращается в ноль, когда угол достигает значения w_, где sin2w_ = 1/. Покажите, что в этой же точке обращается в ноль и угловое ускорение, а также, что это предельное решение отвечает прямой линии p = -( + d)x, где

В задаче о заряде на окружности в поле тяжести и в поле закрепленного заряда

определите функцию Гамильтона системы;
запишите канонические уравнения движения;
запишите уравнение Гамильтона-Якоби;
найдите его полный интеграл;
найдите закон движения, используя полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби.

В задаче о частице на вращающейся окружности в поле тяжести

определите функцию Гамильтона системы;
запишите канонические уравнения движения;
запишите уравнение Гамильтона-Якоби;
найдите его полный интеграл;
найдите закон движения, используя полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби.

В задаче о сферическом маятнике решение уравнения Гамильтона-Якоби в переменных действие-угол имеет вид S(w_φ, w_θ, t) = J_φw_φ + J_θw_θ – Et + const. Получите закон движения в переменных действие-угол, учитывая, что

Для частицы, движущейся по поверхности кругового конуса в поле тяжести (конус расположен вертикально, вершиной вниз с углом раствора 2α)

построить переменные «действие-угол»,
записать условие замкнутости обычной и фазовой траектории,
записать функцию Гамильтона и уравнения движения в форме канонических уравнений,
получить закон движения и уравнение траектории, найдя полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби.

Для плоского математического маятника со свободной точкой подвеса на горизонтальной оси

найти функцию Гамильтона и записать уравнения движения в форме канонических уравнений,
записать и решить уравнение Гамильтона-Якоби и, получив полный интеграл, найти закон движения и уравнение траектории.

Запишите уравнения движения замкнутой системы двух частиц, подставив функцию Лагранжа в уравнения Лагранжа. Получите функцию Гамильтона и запишите уравнения движения этой системы в форме канонических уравнений.
Запишите функцию Лагранжа задачи двух тел в переменных R (центр масс), V (скорость центра масс); r (относительный радиус вектор частиц r₁ – r₂), v (относительная скорость частиц v₁ – v₂). Запишите с ее помощью уравнения движения. Получите функцию Гамильтона в переменных R, P (полный импульс); r, p = mv и запишите уравнения движения в форме канонических уравнений.
Запишите уравнение Гамильтона-Якоби частицы в центральном поле. Найдите его полный интеграл, и получите закон движения и уравнение траектории частицы из полного интеграла уравнения Гамильтона-Якоби.
В единицах масштаба времени [T] = [S]³/[α]²[M] = M³/(mα²) частота вращения по круговой орбите равна единице. Считая, что Земля вращается по круговой орбите, определите, чему равна приведенная единица масштаба времени в обычных единицах.
Покажите, что из выражения для функции Гамильтона, отвечающего финитному движению в задаче Кеплера

.

следует, что частоты ω_φ = dw_φ/dt и ω_r = dw_r/dt совпадают (w_φ, w_r - углы, канонически сопряженные действиям J_φ, J_r) и соответствующий период в том же масштабе равен T = 2πab/M. Здесь M = J_φ - момент импульса,

- полуоси эллипса и e² = 2E + 1 – эксцентриситет орбиты.

Функция Лагранжа свободной частицы во вращающейся системе отсчета имеет вид

L = mv²/2 + mv[Ωr] + m[Ωr]²/2

Покажите, что уравнения движения имеют вид

dv/dt = [rdΩ/dt] + 2[vΩ] + [Ω[rΩ]]

Если система отсчета K вращается относительно инерциальной системы отсчета K₀, то импульсы частицы равны в обеих системах p₀ = mv₀ = m(v + [Ωr]) = p. Покажите, что с точки зрения вращающегося наблюдателя импульс частицы p вращается со скоростью – Ω.
Покажите, что значение полной энергии свободной частицы в инерциальной системе отсчета E₀ = mv₀²/2 не совпадает с энергией в равномерно вращающейся системе отсчета K.
Покажите, что из двух определений тензора бесконечно малого поворота χ_ik = e_ilkdφ_l и , где u – поле бесконечно малых смещений, следует выражение dφ = rotu/2 для поля бесконечно малых углов поворота.

Blog

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ