Разработка факультативного курса "Алгебраические числа" для учащихся общеобразовательной школы
Дипломная работа - Педагогика
Другие дипломы по предмету Педагогика
?член, имеется самый большой в указанном выше смысле, он называется старшим членом многочлена.
Легко сообразить, что при умножении старших членов получается старший член произведения многочленов. Поскольку при сложении многочленов не могут появиться новые одночлены, то старший член суммы не больше старшего члена одного из слагаемых.
. Понятие симметрического многочлена.
Определение. Многочлен ? (от нескольких переменных) называется симметрическим, если он не меняется при любом переименовании переменных.
Рассмотрим всевозможные переименования переменных.
Для двух переменных x и y возможно только одно переименование: > y, y > x, которое обозначим через (12).
Три переменные (x, y, z): x > y, y > z, z > x (его обозначим через (123));
аналогично вводятся переименования
(12)x > y, y > x, z > z; (13)x > z, z > x, y > y;
(23)x > x, y > z, z > y;(132)x > z, z > y, y > x и т.д.
Приведем пример симметрического многочлена: ? = x2 + y2. Это многочлен от двух переменных, поэтому рассмотрим единственное возможное переименование переменных (12): (x2 + y2)(12) = y2 + x2 = ?. Следовательно, ? симметричен. Но следует заметить, что он несимметричен для переименования (23), так как (x2 + y2)(23) = y2 + z2, следовательно, данный многочлен не является симметрическим от трех переменных.
Для дальнейшего изучения данной темы нам потребуются два утверждения, которые мы с вами примем без доказательства.
Критерий симметричности многочлена. Многочлен ? от n переменных симметричен тогда и только тогда, когда он не меняется при следующих двух переименованиях переменных (12) и (12тАжn).
Таким образом, проверять надо только два переименования переменных, а не n! (эн факториал) переименований, указанных в определении симметрического многочлена. Напомним, что факториал n! определяется как произведение чисел от 1 до n!
В частности, для проверки симметричности многочлена ? от 3 переменных нам надо проверить меняется ли он при переименованиях (12) и (123).
Теорема. Сумма, разность и произведение симметрических многочленов являются симметрическими многочленами.
. Элементарные симметрические многочлены.
Важными примерами симметрических многочленов служат элементарные симметрические многочлены. Приведем их для некоторых наборов переменных.
Для двух переменных (x, y) существует два элементарных симметрических многочлена:
j1 = x + y (сумма переменных);
j2 = xy (произведение переменных);
. Для трех переменных существует три элементарных симметрических многочлена:
j1 = x + y + z (сумма переменных)
j2 = xy + xz + yz (сумма произведений двух различных переменных)
j3 = xyz (произведение трех переменных)
Для четырех переменных существует четыре элементарных симметричных многочлена:
j1 = x + y + z + t (сумма переменных)
j2 = xy + xz + xt + yz + yt + zt (сумма произведений по два)
j3 = xyz + xzt + yzt + xyt (сумма произведений по три)
j4 = xyzt (произведение всех переменных)
Приведем два утверждения о строении старших членов симметрических многочленов.
Лемма 1. Показатели степеней старшего члена симметрического многочлена расположены в невозрастающем порядке.
Докажем это утверждение для 3 переменных: x, y, z; общий случай рассматривается точно также. Пусть u - старший член; u = axiyjzk, где a - число, i, j, k - показатели степеней. Необходимо проверить, что i ? j ? k. Допустим от противного, что i<j. Тогда, так как f - симметричный многочлен, то f = f(12), значит, среди одночленов, входящих в его состав, содержится одночлен: (axiyjzk)(12) = axjyizk. Поскольку по предположению i<j, то одночлен axjyizk будет больше старшего члена, и это противоречит определению. Следовательно, i ? j. Аналогично проверяется неравенство j ? k.
Лемма 2. Каждый одночлен от элементарных симметрических многочленов однозначно определяется своим старшим членом.
Доказательство рассмотрим на примере. Пусть дан j-одночлен S = aj1ij2jj3k, т.е. одночлен от элементарных симметрических, зависящих от трех переменных x, y, z (a - произвольное число, отличное от нуля). Для того чтобы найти его старший член необходимо перемножить старшие члены элементарных симметрических многочленов. Ясно, что старший член j1 равен x, старший член j2 равен xy, старший член j3 - это xyz. Следовательно, старший член многочлена aj1ij2 jj3k имеет вид(xy) j(xyz)k = axi+j+k y j+k zk.
Заметим, что если известен старший член u для j-одночлена S = aj1ij2jj3k, то можно найти числа a, i, j, k. Например, если u = 2x5y4z3, то a = 2,+ j + k = 5, j + k = 4, k = 3,
значит, i = j = k = 1.
Тема 2.2. Основные теоремы о симметрических многочленах.
. Представление симметрического многочлена через элементарные.
Основная теорема. Всякий симметричный многочлен единственным образом можно представить в виде многочлена от элементарных симметрических.
Доказательство приведем на конкретном примере, рассматривая симметрический многочлен f = x3 + y3 + z3. Представление f в виде многочлена от элементарных симметрических оформим в виде алгоритма:
Шаг 0. Вводим начальный многочлен f0 = f, и находим его старший член - это x3. Используя лемму 2, восстанавливаем по старшему члену соответствующий одночлен от элементарных симметрических, в данном случае получаем s0 = ?13. Отметим еще раз, что многочлены f0 и s0 имеют одинаковые старшие члены.
Шаг 1. Полагаем f1 = f0 - s0: = f - s0 = x3 + y3 + z3 - (x + y + z)3 = - 3(x2y + y2x + тАж) - 6xyz.
В последней скобке стоят одночлены указанного вида от трех переменных; коэффициенты определяются по формуле куба суммы.
Далее, находим старший член f1 - это одночлен -3x2y; и восстанавливаем по нему одночлен s1 от элементарных симметрических: s1 = -3?1?2. Отметим, что старшие члены многочлен