Разработка факультативного курса "Алгебраические числа" для учащихся общеобразовательной школы
Дипломная работа - Педагогика
Другие дипломы по предмету Педагогика
В¶но было сделать иначе, указав номер N(x) целого числа x: . Правда при этом не каждое натуральное число будет номером какого-нибудь целого числа, например, уравнение N(x) = 5 не имеет решений, значит, 5 не является номером никакого целого числа.
По существу очевиден следующий результат.
Теорема. Бесконечное подмножество счетного множества счетно.
Из нее вытекает, что если каждому элементу множества удалось присвоить номер (при этом допустимо, что у некоторых элементов может оказать даже бесконечно много номеров), то это множество счетно.
С помощью этого замечания можно доказать, что рациональных чисел счетное число. Каждое рациональное число является отношением целых. Обозначим номер целого числа x через N(x), тогда можно присвоить номер рациональному числу x/y по формуле N(x/y) = 2N(x)3N(y). При этом каждому рациональному числу присваивается бесконечно много номеров ввиду неоднозначности представления рационального числа в виде дроби, однако разным рациональным числам присваиваются разные номера. При этом конечно есть натуральные числа (например, степени 5), которые не являются номером никакого рационального числа.
. Свойства счетных множеств. Начнем со следующего простого факта.
Теорема. Пусть у нас есть счетные множества А, В, С. Тогда объединение этих множеств также счетно.
Доказательство. Так как все эти множества счетны, то они представимы в виде последовательностей: A: a1, a2, a3, тАж; B: b1, b2, b3, тАж; C: c1, c2, c3, тАж Объединение этих множеств содержит элементы каждого множества. Будем выписывать элементы объединения множеств, двигаясь по столбцам слева направо, а в каждом столбце сверху вниз: a1, b1, c1; a2, b2, c2; a3, b3, с3,тАж, т.е. объединение указанных множеств счетно.
Следующая теорема уже не столь очевидна.
Теорема 1. Счетное объединение счетных множеств счетно.
Доказательство. Запишем в виде таблицы элементы данных множеств, считая, что в первой строке занумерованы элементы первого множества и т.д. Рассмотрим систему расширяющихся квадратов Kn (n = 1, 2, тАж). Квадрат Kn находится на пересечении первых n строк и первых n столбцов таблицы. Теперь все элементы легко записать в виде последовательности. Сначала записываем элемент из первого квадрата, потом в любом порядке элементы второго квадрата (можно записанные ранее элементы не писать еще раз, а можно и писать), потом элементы третьего квадрата и т.д.
Следующий результат совсем не очевиден, его доказательство принадлежит великому математику 20 века Гёделю и основано на идее нумерации.
Теорема 2. Множество конечных последовательностей рациональных чисел счетно.
Доказательство. Пусть N какой-нибудь пересчет рациональных чисел. Найдем по формуле номер конечной последовательности рациональных чисел
,
где pn - простое число с номером n, т.е. p1 = 2, p2 = 3, p3 = 5, тАж Поскольку каждое натуральное число однозначно разлагается на простые множители, то по номеруоднозначно восстанавливаются номера N(x1), N(x2), тАж, N(xn), а по каждому из них и рациональные числа x1, x2, тАж, xn.
Для наiентральным в этом пункте является следующая
Теорема 3. Множество алгебраических чисел счетно.
Доказательство. Каждый многочлен полностью задается своими коэффициентами, значит, многочлен с рациональными коэффициентами полностью определяется конечной последовательностью рациональных чисел. Следовательно, по теореме 2 таких многочленов счетное число. Каждый из многочленов имеет конечное число корней, значит, алгебраических чисел заданной степени счетное число. Множество алгебраических чисел представляют собой объединение указанных множеств, значит, по теореме 1 это множество счетно.
. Число точек на отрезке [0;1].
Теорема Кантора. Точек на отрезке [0;1] несчетное множество.
Доказательство. Применим так называемый процесс Кантора. Предположим от противного, что точек на отрезке [0;1] счетное число, значит, их можно выписать в последовательность a1, a2, a3, тАж Запишем каждое из чисел в виде бесконечной десятичной дроби:= 0, a11 a12 a13 тАж,= 0, a21 a22 a23 тАж,= 0, a31 a32 a33 тАж, и т.д.
Построим число, лежащее на отрезке [0;1] и отличное от перечисленных. Для этого положим b = 0, b1b2 тАж bn тАж, считая, что все цифры, входящие в запись числа b отличны от 0 и 9, а также цифра b1 отлична от цифры a11, цифра b2 отлична от цифры a22, тАж, цифра bn отлична от цифры ann, и т.д. Если b оказалось бы равным некоторому числу an, то были бы равны цифры bn и ann, что противоречит определению числа b.
Теперь мы можем дать ответ на сформулированный в начале пункта вопрос: каких чисел больше алгебраических или неалгебраических? Больше чисел неалгебраических, чем алгебраических, поскольку первое множество несчетно, а второе счетно.
У приведенной теоремы Кантора есть один серьезный недостаток, она не позволяет указать хотя бы одно неалгебраическое число.
Впервые о существовании транiендентных чисел заявил Лиувилль в 1844 году, заметив, что иррациональные алгебраические числа не допускают очень сильных приближений рациональными числами. Эрмит в 1873 году доказал транiендентность числа e, а транiендентность числа p доказал Линдеман в 1882 году. Следует отметить особо, что с помощью этого факта была решена проблема, стоявшая почти 20 веков - задача о квадратуре круга: можно ли с помощью циркуля и линейки построить квадрат равновеликий кругу радиуса 1?
На языке алгебраических чисел задачу о квадратуре круга можно переформулировать так: можно ли число p записать в виде алгебраического выражения, содержащего рациональные числа, знаки арифметических действий и знак