Разработка факультативного курса "Алгебраические числа" для учащихся общеобразовательной школы
Дипломная работа - Педагогика
Другие дипломы по предмету Педагогика
ональных чисел. Множество иррациональных чисел. Множество действительных чисел. Множество комплексных чисел. Числовые и нечисловые поля.
Тема 3.2. Алгебраические числа.
Понятие алгебраического числа. Степень алгебраического числа и свойства алгебраических чисел. Минимальный многочлен. Поле алгебраических чисел и его алгебраическая замкнутость.
Тема 3.2. Теорема Кантора.
Счетность и несчетность числовых множеств, примеры. Счетность множества алгебраических чисел. Диагональный процесс Кантора. Несчетность множества транiендентных чисел.
Приведем теперь тематический план обсуждаемого факультатива.
Тематический план
НазваниеКоличество часов МаксимумВсегоЛекцииСеминарыСамост. работа.Раздел I. История возникновения и развития числовых понятий222 - - Раздел 2. Симметрические многочлены1515554Тема 2.1. Первичные понятие и простейшие свойства44121Тема 2.2. Основные теоремы о симметрических многочленах55222Тема 2.3. Некоторые применения основной теоремы44211Раздел 3. Алгебраические числа77688Тема 3.1. Числовые поля33244Тема 3.2. Алгебраические числа22222Тема 3.3. Теорема Кантора22222Всего:2424131313
Список упражнений и задач для контроля
Симметрические многочлены
. Напишите несколько переименований для 5 переменных: x, y, z, p, q.
. Допустим, что мы выполнили последовательно переименования (12) и (13). Тогда получилось новое переименование, которое назовем произведением и запишем в виде (12)(13). Найти произведения: (12)(13), (12)(123), (12)(123)(12).
. Приведите пример симметрического многочлена от 3, 4, 5 переменных.
. Проверьте симметричность многочленов относительно указанных переменных:
а) x3 + y3 + z3 - 3xyz, в) xy + zt + x3,
б) x3 + y3 + z3 + t2, г) x2 + y2 - xy.
. Перечислите элементарные симметрические многочлены от x, y, z, t.
. Восстановите многочлен, если известно его представление через элементарные симметрические многочлены:
а) f = ?13 - 3?1?2,в) f = ?14 - ?22 - ?1?3,
б) f = ?13 - 4?1?2 + ?3,г) f = ?12?2 - 3?4.
7. Выразить многочлен через элементарные симметрические многочлены:
а) x3 + y3 + z3 - 3xyz, в) (x + y)(y + z)(z + x),
б) x2y + xy2 + x2z + zx2 + y2z + yz2, г) (x + y - z)(y + z - x)(z + x - y).
. Расположите в убывающем порядке векторы показателей данной степени для старших членов, меньших данного набора:
(2,2,0,0,0), (3,0,0,0), (3,1,0,0,0), (3,3,0,0), (2,2,2,0),(4,1,0,0).
. Сколько существует элементарных симметрических многочленов от 3 и 4 переменных? Перечислите их.
. Как записать симметрическую дробь f/g в виде дроби с несимметричным знаменателем?
. Почему симметрическую дробь можно представить в виде отношения двух симметрических многочленов?
. Найти значение симметрического многочлена S от корней многочлена f:
а) S = x12x22 + тАж, f = x2 - x - 1;б) S = x12x2x3 + тАж, f = 2x2 - 3x + 1.
. Пусть x1, x2, x3 - корни уравнения
а) x3 - 3x + 1 = 0, в) x3 - 2x2 + 3x - 1 = 0,
б) x3 + 3x - 1 = 0, г) x3 + 3x2 - 2x - 1 = 0.
Составить уравнения, имеющие указанные корни:
) а) x1 + x2, x2 + x3, x3 + x1, б) x1 + x2 - x3, x2 + x3 - x1, x3 + x1 - x2,
) а) 1/x1, 1/x2, 1/x3, б) 1/x1 + 1/x2, 1/x2 + 1/x3, 1/x3 + 1/x1,
) а) x12, x22, x32, б) x1x2, x2x3, x3x1.
Комплексные числа
. Вычислить:
а) (1 + 2i)(2 + 3i); б) (5 - 2i)(2 - 3i),в) (2 + 3i)(3 - 4i);
г) (1 + 2i)2, д) (1 + i)4, е) (1 + i)100.
. Представить комплексное число в алгебраической форме:
а) ; б) ; в) ; г).
. Упростить выражение, считая действительными числа a и b:
а) (2 + i)5 +(2 - i)5, б) (1 + 2i)5 +(1 - 2i)5;
в), г);
. Какие действительные числа a и b удовлетворяют уравнению:
а) (1 + i)a + (2 + 3i)b = 1 + 2i; б) (1 - 2i)a + (4 - 3i)b = 6 - 7i ?
. Найти комплексные числа, удовлетворяющие обоим уравнениям:
(3 - i)x + (4 + 2i)y = -1 + 3i, (4 + 2i)x - (2 + 3i)y = 7.
. Найти комплексные корни квадратного уравнения:
а) z2 + (2 - i)z - 3(1 + i) = 0; г) z2 - 5z + 7 + i = 0;
б) z2 + (1 + i)z - 3(2 - i) = 0; д) z2 - (2 + i) z + (-1 + 7i) = 0;
в) z2 - 3z + 3 + i = 0; е) z2 - (3 - 2i) z + (5 - 5i) = 0.
Определение. Комплексное число a - bi называется комплексно сопряженным к числу a + bi; обозначение .
. Доказать свойства комплексного сопряжения:
а) ; б) ; в) ; г) .
. Проверить, что следующие числа являются комплексно сопряженными:
а) (2 + 5i)4(4 - 3i)8 и (2 - 5i)4(4 + 3i)8; б) и .
. Используя комплексные числа, доказать тождество Эйлера:
(a2 + b2)(c2 + d2) = (ac - bd)2 + (ad + bc)2.
. Пусть многочлен f с действительными коэффициентами имеет комплексный корень z. Доказать, что комплексно-сопряженное число также является корнем f.
. Доказать, что
а) модуль произведения комплексных чисел равен произведению модулей сомножителей; что можно утверждать о модуле частного и модуле разности двух комплексных чисел?
б) модуль суммы комплексных чисел не превосходит суммы модулей слагаемых;
. Решить уравнение:
а) = a + bi; б) = a + bi.
. Решить графически и аналитически уравнение:
а) z + z= 1 - i; б) z + z + 1= i.
. Построить точки, изображающие комплексные числа:
а) 1 + i, б) 1, в) -1, г) i,
д) -i,е) -1 + 2i,ж) 2 - 3i, з) sina + icosa.
. Найти тригонометрическую форму комплексного числа:
а) 1, б) -1, в) i, г) - i, д) 1 + i, е) -1 + i.
. Доказать справедливость равенств:
а) , arg ;
б) ,arg .
. Вычислить:
,arg ;
. Нарисовать множество точек, удовлетворяющих условиям:
а) z= 1;б) z 1;в) z> 2;г) 1 z 2;
д) arg z = ; е) arg z = ; ж) arg z = p;з) arg z = 0.
. Доказать, что расстояние между точками z и t равно z - t.
. Изобразить множество точек z таких, что
а) z - i= 1; б) z - i 1;в) z - i< 1;г) z - i 1.
. Какое множество точек z задается условиями:
а) z - 1= z - i;в) z + 1=z - i=z + i;
б) z + i=z + 1 - i;г) z - 1=z - 2i=z + 1 + i.
. Найти расстояние от точки z0 до множества M:
а) z0 = 2, M = {zarg z = };в) z0 = -1 + i, M = {zarg z = p};
б) z0 = -2i, M = {zarg z = };г) z0 = 4 + 3i, M = {zarg z = 0}.
. Найти расстояни