Разработка факультативного курса "Алгебраические числа" для учащихся общеобразовательной школы
Дипломная работа - Педагогика
Другие дипломы по предмету Педагогика
?1)(x - ?2)(x - ?3). Сравнивая коэффициента при одинаковых степенях x, получаем
a1 = - a0?1(?), ?1(?) = - a1/a0,= a0?2(?), ?2(?) = a2/a0,= - a0?3(?), ?3(?) = - a3/a0.
Формулы для вычисления значений элементарных симметрических многочленов от корней данного многочлена называются формулами Виета. Для кубического многочлена они имеют вид ?1(?) = - a1/a0, ?2(?) = a2/a0, ?3(?) = - a3/a0. Если коэффициенты многочлена a0x3 + a1x2 + a2x + a3 положительны, то в этих формулах знаки чередуются.
РАЗДЕЛ 3. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЧИСЛА
Тема 3.1. Числовые поля.
С первого класса вы изучаете различные числа, начиная с натуральных чисел и заканчивая действительными числами. Напомним основные классы чисел.
. Основные числовые системы.
а) Натуральные числа - это числа, употребляемые для счета. Множество натуральных чисел обозначается через ?, значит, ? = {1, 2, 3, тАж}.
б) Целые число - это натуральные числа, нули и числа, противоположные натуральным. Множество целых чисел обозначается через Z, т.е. Z = {0, 1, -1, 2, -2, тАж}.
в) Рациональные числа - это отношения целых чисел, т.е. числа вида m/n, где mZ, nN. Каждое рациональное число может быть представлено в виде конечной десятичной дроби или бесконечной периодической. Верно и обратное, каждая такая дробь является рациональным числом. Такое представление неоднозначно, например, 1,(9) = 2,(0) = 2. Множество рациональных чисел обозначается через Q.
г) Действительные числа - можно определить как бесконечные десятичные дроби. Множество действительных чисел обозначается через R. Каждое действительное число можно изобразить точкой на прямой (такая прямая называется числовой осью).
д) Иррациональные числа - это действительные числа, которые не являются рациональными. Для этого множества будем использовать букву I. Известно, что каждое иррациональное число однозначно представимо в виде бесконечной десятичной дроби.
Примеры: 0,010010001тАж (число нулей между соседними единицами неограниченно увеличивается).
е) Комплексные числа - обозначается множество комплексных чисел через C. Для вас это новое числовое множество, поэтому необходимы соответствующие определения.
. Действия над комплексными числами. Комплексные числа можно определять как точки на координатной плоскости или пары действительных чисел. Сложение и умножение пар определяется правилами:
(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d),(a, b)(c, d) = (ac - bd, ad + bc).
Сложение пар определено покоординатно, а умножение существенно более сложным образом (его смысл будет ясен чуть позже). Отметим, что вычитание и деление можно вводить обычным образом, как решения соответствующих уравнений:+ x = t, zx = t (z 0)
где z и t данные комплексные числа, x - неизвестное. Можно доказать, что указанные уравнения имеют единственные решения. Кроме того, отметим, что арифметические действия обладают известными для действительных чисел свойствами, в частности, можно по обычным правилам преобразовывать дробные выражения.
Существенным отличием от действительных чисел является невозможность ввести на C порядок так, чтобы были выполнены основные свойства неравенств, в частности, почленное умножение неравенств.
. Алгебраическая форма. Пусть i = (0;1) и называется мнимой единицей. Любое комплексное число представимо в виде z = a + bi, где a, b R, i - мнимая единица (i2 = - 1). Это алгебраическая форма комплексного числа z. Записывая пары в алгебраической форме, раскрывая по обычным правилам скобки, приводя подобные члены и используя равенство i2 = - 1, получим указанные выше определения действий сложения и умножения. В самом деле, (a, b)(c, d) = (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi2 = ac + adi + bci - bd = (ac - bd) + (ad + bc)i = (ac - bd, ad + bc).
. Тригонометрическая форма. Каждое комплексное число a + bi изобра-жается точкой (a, b) на плоскости. Вместо этой пары можно рассматривать другую пару действительных чисел, задающих ту же точку.
Проведем радиус-вектор в точку (a, b), пусть ? - угол между направлением оси 0x и данным радиус вектором, r - длина радиус-вектора.
Тогда число a + bi можем описать парой чисел (r, ?). При этом ? называется аргументом комплексного числа, а r - его модулем. Из прямоугольного треугольника имеем r2 = a2 + b2 (теорема Пифагора), значит, . Кроме того, используя понятия синуса и косинуса, получаем a = r cos?, b = r sin?. Тогда число z = a + bi представимо в виде: z = r (cos? + sin?). Указанное представление называется тригонометрической формой числа z. Отметим, что модуль числа находится однозначно, а аргумент с точностью до слагаемых вида 2pn, n - любое целое число.
. Теорема Гаусса.
В множестве C комплексных чисел мы можем вычислить корень из отрицательного числа, и вообще корень любой натуральной степени. Всякое уравнение xn = z имеет ровно n корней. Более того, справедлива
Теорема Гаусса. Всякий многочлен n-ой степени с комплексными коэффициентами имеет ровно n комплексных корней.
В частности, можно разложить на множители сумму квадратов действительных чисел, правда, сомножители при этом оказываются комплексными:+ b2 = (a + bi)(a - bi).
Определение. Числа a + bi и a - bi называются комплексно сопряженными.
При этом пишут . Перечислим свойства комплексного сопряжения:
; ; ; .
Гауссу принадлежит строгое определение понятия комплексного числа; он же предложил их изображать как точки на плоскости. Независимо от Гаусса идея геометрического представления комплексных чисел пришла к менее известным математикам - датчанину К.Весселю и швейцарцу Ж.Аргану. Обозначение мнимой единицы буквой i принадлежит Эйлеру.
. Расположение числовых систем. Изобразим рассмотренные выше числовые системы