Разработка факультативного курса "Алгебраические числа" для учащихся общеобразовательной школы
Дипломная работа - Педагогика
Другие дипломы по предмету Педагогика
квадратного корня (знаки действий и корня могут использоваться любое конечное число раз).
Так вот, Линдеман доказал, что так получить число p нельзя, разрешив даже использовать радикалы любой степени, а не только второй.
Одновременно и независимо друг от друга в 1934 году советский математик Гельфонд и немецкий математик Шнейдер доказали, что число не является алгебраическим, решив седьмую проблему Гильберта.
Алгебраические числа имеют широкое применение в теории чисел, алгебре, геометрии и других разделах математики. Изучение свойств таких чисел составляет содержание одного из важнейших разделов современной теории чисел, называемого алгебраической теорией чисел. Доказательство транiендентности конкретных чисел представляет собой решение трудных математических проблем.
2. Примерная программа факультатива Алгебраические числа
Введение. Тема Алгебраические числа может быть рассмотрена в системе углубленного изучения математики, однако, в соответствии с существующей на данный момент образовательной программой не является обязательной: она связана с расширением существующего содержания по сравнению с общеобразовательным курсом.
В 1997 году Н.Я.Виленкин выпустил учебник Алгебра для учащихся школ с углубленным изучением математики. В данном пособии он выделил отдельную главу, посвященную теории многочленов и предлагает на рассмотрение многие вопросы, носящие скорее необязательный характер. Среди них находится и тема Алгебраические числа. В этом учебнике проводится изучение симметрических многочленов на примере многочленов от двух переменных. К сожалению, в учебнике нет алгебраических чисел, играющих важную роль в математике, ввиду их обширных применений. В контексте алгебраических чисел устанавливаются разнообразные связи между различными разделами и направлениями математики. Например, многочлены, поля, комплексные числа, построения с помощью циркуля и линейки, диофантовы уравнения - вот далеко неполный перечень соответствующих направлений.
Как мы уже говорили, основной целью изучения многочленов в школе является не столько изучение самой теории многочленов, сколько совершенствование изучения математики с помощью элементарных понятий и методов теории многочленов.
Поэтому главной задачей изучения темы является не формирование прочных и устойчивых навыков использования соответствующего математического аппарата при решении задач, а демонстрация новых понятий и идей.
Раздел I. История возникновения и развития числовых понятий
Ученик должен иметь представление:
об истории развития математики и возникновении основных понятий - число, уравнение, многочлен от нескольких переменных, поле, алгебраическое число, счетное множество;
об основных задачах, приводящих к теории алгебраических чисел;
об именах великих математиков, внесших огромный вклад в науку.
Раздел 2. Симметрические многочлены.
Ученик должен иметь представление:
о понятии симметрического многочлена;
о виде элементарных симметрических многочленов;
о способах представления симметрического многочлена в виде многочлена от элементарных симметрических;
Ученик должен знать:
формулировку основной теоремы о симметрических многочленах;
формулы Виета.
Ученик должен уметь (для степени 2 и 3):
приводить примеры симметрических многочленов;
записывать набор показателей старшего члена многочлена;
сравнивать старшие члены;
восстанавливать по старшему члену соответствующий одночлен от элементарных симметрических;
выражать симметрический многочлен через элементарные симметрические;
применять формулы Виета.
Тема 2.1. Понятие симметрического многочлена.
Введение понятия симметрического многочлена. Элементарные симметрические многочлены. Утверждения о строении старших членов симметрических многочленов.
Тема 2.2. Основные теоремы о симметрических многочленах.
Основная теорема о симметрических многочленах. Представление симметрического многочлена в виде многочлена от элементарных симметрических. Метод неопределенных коэффициентов.
Тема 2.3. Некоторые применения основной теоремы.
Симметрическая дробь, ее свойства. Симметрические многочлены по наборам переменных. Формулы Виета.
Раздел 3. Алгебраические числа.
Ученик должен иметь представление:
о понятии замкнутости числового множества;
об основные числовые множества;
о понятии числового поля;
о понятии алгебраически замкнутого поля.
Ученик должен знать:
определение числового поля;
определение алгебраического числа;
определение минимального многочлена;
понятия счетного и несчетного множества;
формулировку теоремы о множестве алгебраических чисел;
формулировку теоремы о счетности алгебраических чисел;
диагональный процесс Кантора.
Ученик должен уметь:
выполнять действия над комплексными числами;
изображать комплексные числа на плоскости;
находить модуль и аргумент комплексного числа;
приводить примеры алгебраических чисел;
приводить примеры счетных и несчетных множеств;
доказывать счетность множества целых чисел;
устанавливать взаимно-однозначные соответствия между отрезками разной длины,
окружностями разного радиуса; окружностью и квадратом.
Тема 3.1. Числовые поля.
Множество натуральных чисел. Множество целых чисел. Множество раци