Разработка факультативного курса "Алгебраические числа" для учащихся общеобразовательной школы
Дипломная работа - Педагогика
Другие дипломы по предмету Педагогика
е от точки 2 + 3i до множества M:
а) M = {zarg z = }; в) M = {zarg z = };
б) M = {zarg z = };г) M = {zarg z = }.
. Считая z 1, найти указанное значение:
а) min 1 + i - z; в) min 3 + 2i - z;
б) max 1 + i - z;г) max 3 + 2i - z.
. Найти расстояние между множествами точек:
а) M1 = {zz - i 1}, M2 = {zz - 2 - 3i 1};
б) M1 = {zz - 2i 1}, M2 = {zarg z = }.
. Найти точку на окружности, имеющую наименьший положительный аргумент:
а) z - 3i= 2;в) z - 2 - 3i= 1;
б) z - 1 - 2i= 1;г) z + 1 - i=.
. Доказать, что для любых комплексных чисел справедливо равенство
x + y2 + x - y2 = 2(x2 + y2).
Объяснить его геометрический смысл.
. Доказать, что если z< , то
а) (1 + i)z3 + iz < ;б) (2 + 3i)z5 + (1- i)z <.
Прежде чем приступать к решению следующих задач необходимо рассказать о произведении и частном комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме
. Выполнить действия над комплексными числами:
а) (1 - i)(cosj - i sinj); б) ;
. Найти модуль и наименьший положительный аргумент комплексного числа:
а) (i +)(1 - i)(1 + i); б) (1 - i)( - i).
. Вывести формулу Муавра: (cosj + i sinj)n = cosnj + i sinnj.
Алгебраические числа
. Доказать, что множество всех чисел указанного вида является полем
а) , б) a + bi, где a, b - рациональны, i - мнимая единица.
. Среди чисел найти рациональные.
а) , б) , в) , г) .
. Доказать иррациональность чисел:
. Известно, что p - неалгебраическое число. Какие из чисел являются алгебраическими: а) p3 + p + 1, б) p + 1/p, в) p + 1/p + 1.
. Можно ли построить с помощью циркуля и линейки треугольник равновеликий кругу радиуса 1?
. Является ли число алгебраическим? Можно ли его построить с помощью циркуля и линейки?
Теорема Кантора
. Как установить взаимно-однозначное соответствие между
а) замкнутыми отрезками разной длины;
б) окружностями разного радиуса;
в) кругом и областью ограниченной квадратом;
г) открытым отрезком и замкнутым отрезком;
д) отрезком и лучом;
е) отрезком и прямой;
ж) прямой и окружностью?
. Как вы думаете где больше точек на прямой, на плоскости или в пространстве?
. Докажите, что конечных последовательностей из 0 и 1 счетное множество?
. Каким может быть подмножество счетного множества?
. Докажите, что бесконечных последовательностей из 0 и 1 столько же сколько точек на отрезке.
. Почему конечных последовательностей натуральных чисел счетное число?
. Сколько можно расположить на плоскости непересекающихся букв Г одного размера; а букв О?
3. Методические рекомендации по организации изучения факультативного курса Алгебраические числа
Для разработки рекомендаций по организации работы сформулируем некоторые общие требования взаимосвязанного построения дополнительного образования и уроков по математике:
преемственность в содержании, методах и формах организации занятий по математике должна определяться целями обучения математики, всестороннего развития и воспитания учащихся.
взаимосвязанное построение уроков и факультативных занятий по математики не должно противоречить дидактическим принципам в обучении математики.
не должно быть противоречий психолого-педагогическими требованиями;
не должно быть несогласованности и с директивными нормами организации работы общеобразовательной школы.
главным критерием эффективности взаимосвязанного построения уроков, внеклассных занятий и дополнительного образования по математике должна быть в конечном счете результативность неразрывно связанных друг с другом процессов обучения, развития и воспитания школьников.
взаимосвязь уроков и дополнительного образования должна рассматриваться в такой последовательности: уроки математики - внеклассные занятия - дополнительное образование. [37]
Перейдем к рассмотрению вопроса методического обеспечения факультативного курса Алгебраические числа. Оперативные навыки, приобретаемые учащимися в процессе изучения темы, и использование этих навыков на протяжении всего дальнейшего обучения имеют безусловный приоритет по сравнению с логическими аспектами изложения теории, с уровнем строгости и общности определений, теорем и доказательств. [17, 36]
Такой подход к изучению темы связан с рядом обстоятельств. Прежде всего, теоретический уровень обучения математике не должен значительно отличаться от уровня общеобразовательных классов.
Нельзя не учитывать также и объективные возрастные особенности учащихся, их ограниченные возможности в усвоении абстрактных теоретических построений, и быть может, самое главное - еще не сложившуюся внутреннюю потребность в более высоком, чем раннее, уровне строгости - в строгой форме определений, в необходимости доказательств теоретических утверждений в обще виде, в теоретическом обосновании алгоритмов решения задач, ориентированных на практические применения.
Наконец, существенное значение имеют и общедидактические и методические соображения о значимости логики в курсе математики, о роли формальных доказательств в процессе обучения математики, о точности языка преподавания математики. Мы не будем детально вдаваться в эту исключительно деликатную тему и ограничимся лишь двумя замечаниями. [37]
Во-первых, даже для профессионального математика некоторые доказательства на примере, абсолютно неприемлемые с чисто логической точки зрения, могут быть настолько убедительными, что их логически необход