Разработка факультативного курса "Алгебраические числа" для учащихся общеобразовательной школы
Дипломная работа - Педагогика
Другие дипломы по предмету Педагогика
?в f1 и s1 совпадают.
Шаг 2. Положим f2 = f - s1 = - 3(x2y + y2x + тАж) - 6xyz + 3?1?2 =
= - 3(x2y + y2x + тАж) - 6xyz + 3(x + y + z)(xy + yz + zx) =
= (-6 + 9)xyz = 3xyz = 3?3.
В общем случае указанный алгоритм выдает две конечные последовательности многочленов: f0, f1, f2, тАж (в нашем случае f0, f1, f2), s0, s1, s2, тАж (в нашем случае s0, s1). В нашем случае f2 = 3?3, процесс закончился на шаге 2, когда мы получили одночлен от элементарных симметрических. Положим s3 = 3?3, и запишем систему равенств f0 = f,f1 = f0 - s0, f2 = f1 - s1, s2 = f2. Складывая почленно полученные равенства, получаем s2 = f - s0 - s1, откуда находим f = s0 + s1 + s1. Значит, f - сумма j-одночленов и в нашем случае f =j13 - 2j1j2 + 3?3.
. Метод неопределенных коэффициентов. Из доказательства основной теоремы вытекает
Следствие. Всякий симметрический многочлен f представим в виде многочлена g от элементарных симметрических, причем коэффициенты g являются целыми числами, если целыми числами были коэффициенты многочлена f.
Отметим без доказательства, что многочлен g, о котором идем речь в последнем утверждении находится по многочлену f однозначно. На этом замечании основан еще один способ представления симметрического многочлена через элементарные симметрические, называемый методом неопределенных коэффициентов. Этот метод является более эффективным при решении задач.
Проиллюстрируем его на примере многочлена f = x3 + y3 + z3. Так как наш многочлен содержит 3 переменные, то давайте распишем вектор-показателей (в данном случае тройку чисел), который отвечает показателям старшего члена при переменных x, y, z. Он имеет вид (3,0,0) (при x - степень 3, при y - 0, при z - 0).
Согласно алгоритму, указанному в основной теореме, на каждом шаге происходит уменьшение вектора показателей степеней у старшего члена. Выпишем тройки чисел показателей для всевозможных старших членов, заметив, что их компоненты располагаются в невозрастающем порядке согласно лемме 1:
(3,0,0) - соответствует старшему члену x3
(2,1,0) - соответствует старшему члену x2y
(1,1,1) - соответствует старшему члену xyz
Для каждой из троек приведем соответствующие ?-одночлены (т.е. одночлены от элементарных симметрических многочленов):
(3,0,0) > ?13
(2,1,0) > ?1?2
(1,1,1) >?3
Значит, многочлен f можно представить в виде f = a?13 + b?1?2 + c?3, где a,b,c - некоторые числа. Их нам надо найти.
Для того, чтобы их отыскать надо поступить так: присвоить какие-нибудь значения переменным x, y, z и посчитать в этой точке значения многочленов f, ?1, ?2, ?3.
Тем самым, каждый раз возникает линейное уравнение на числа a, b, c. Взяв необходимое число различных точек, и решив соответствующую систему линейных уравнений, найдем a, b, c. Для простоты вычислений точки надо выбирать так, чтобы в них было по возможности больше нулей, и при подстановке в наше равенство получилось бы уравнение относительно одной неизвестной. Обычно берут точки
(1,0,0), (1,1,0), (1,1,1).
Рассмотрим точку t = (1,0,0) и вычислим f(t) = 1, ?1(t) = 1, ?2(t) = 0, ?3(t) = 0. Подставляя найденные значения в равенство f = a?13 + b?1?2 + c?3, получаем 1 = a1, a=1, следовательно, f = ?13 + b?1?2 + c?3. Точка t = (1,1,0) приводит к значениям(t) = 2, ?1(t) = 2, ?2(t) = 1, ?3(t) = 0,
следовательно, после подстановки в равенство f = ?13 + b?1?2 + c?3, получаем
= 23 + 2b, b откуда = - 3, значит,
f = ?13 - 3?1?2 + c?3.
Теперь считаем значения в точке t = (1,1,1):(t) = 3, ?1(t) = 3, ?2(t) = 3, ?3 t) = 1,
значит, 3 = 33 - 333 + c, c = 3. Итак, f = ?13 - 3?1?2 + 3?3.
Тема 2.3. Некоторые применения основной теоремы.
. Симметрические дроби.
Определение. Дробь вида f/g, где f, g - многочлены от нескольких переменных называется симметрической, если она не меняется при любых переименованиях переменных.
Нетрудно понять, что симметричность дроби не зависит от формы ее записи. Умножая числитель и знаменатель на подходящий многочлен, можно добиться, что знаменатель станет симметрическим многочленом, но тогда и числитель, очевидно, будет симметрическим многочленом. Отсюда на основании основной теоремы получаем следующий результат.
Теорема. Всякая симметрическая дробь представима в виде отношения двух многочленов, каждый из которых является многочленом от элементарных симметрических многочленов.
. Симметричные многочлены по наборам переменных.
Определение. Пусть у нас есть два набора переменных:= (x1, x2,тАж, xn) и y = (y1, y2,тАж, ys).
Многочлен f = f(x1,тАж, xn, y1,тАж,ys) называется симметрическим по этим наборам, если он не меняется при любых переименованиям, как переменных x, так и y (то есть он симметричен по каждому набору отдельно).
Введем обозначения: ?1,тАж,?n - элементарные симметрические от переменных x, ?1,тАж,?s - элементарные симметрические от переменных y.
Теорема 2. Всякий многочлен f(x1,тАж, xn, y1,тАж,ys) симметричный по двум наборам переменных представим в виде многочлена от элементарных симметрических ?1,тАж,?n, ?1,тАж,?s.
Доказательство. Запишем f(x, y) в виде многочлена g(y); коэффициенты g - это многочлены hi(x) от набора x. Ясно, hi(x) - симметрические многочлены от x, а g - симметрический многочлен от y. Многочлен g по основной теореме представлен в виде многочлена от элементарных симметрических ?1,тАж,?s, причем его коэффициенты являются суммой многочленов hi(x), и значит, являются многочленами от элементарных симметрических ?1,тАж, ?n. Тем самым, получено представление исходного многочлена через ? и ?.
. Формулы Виета. Вы знаете формулы Виета для квадратного многочлена. Оказывается аналогичные формулы справедливы для произвольного многочлена.
Возьмем для определенности кубический многочлен f = a0x3 + a1x2 + a2x + a3. Допустим, нам известны корни многочлена f; пусть это будут числа ?1, ?2, ?3. Тогда по теореме Безу верно равенство: f(x) = a0(x -