Разработка факультативного курса "Алгебраические числа" для учащихся общеобразовательной школы
Дипломная работа - Педагогика
Другие дипломы по предмету Педагогика
?леном числа ? называется многочлен наименьшей степени с рациональными коэффициентами и старшим коэффициентом 1, корнем которого является ?. Условие на старший коэффициент позволяет однозначно определить минимальный многочлен для каждого алгебраического числа.
Важнейшее свойство минимального многочлена числа ? - он является делителем любого многочлена, корнем которого служит число ?. Отсюда вытекает, что неприводимый многочлен, корнем которого является число ?, совпадает с минимальным. Учитывая, что многочлен x3 - 2 неприводим, получаем, что он минимальный для числа .
Отметим также, что степень алгебраического числа совпадает со степенью его минимального многочлена.
. Поле алгебраических чисел.
Теорема. Множество A всех комплексных алгебраических чисел является полем, т.е. сумма, разность, произведение и частное двух алгебраических чисел a и b (для частного b 0) являются алгебраическими числами.
Приведем доказательство этого факта по двум причинам. Во-первых, оно совершенно не очевидно. Даже в простом случае суммы нескольких квадратных корней достаточно трудно найти минимальный многочлен для их суммы. Пусть, например,
g = a + b, . Тогда , т.е. g является корнем многочлена (x2 - 5)2 - 24 = x4 - 10 x2 + 1. Это означает, что число g является алгебраическим.
Во-вторых, оно совершенно отличается от традиционных тривиальных доказательств алгебраических утверждений.
Доказательство разобьем на три пункта.
. Если g - алгебраическое число, то числа - g, g - 1 также алгебраические.
Это утверждение было доказано ранее при обсуждении простейших примеров алгебраических чисел.
. Сумма алгебраических чисел является алгебраическим числом.
Пусть a и b - алгебраические числа; f и g - их минимальные многочлены;
a1 = a, a2,..., an - все корни многочлена f (числа сопряженные к a),
b1 = b, b2,..., bs - все числа сопряженные к b.
Рассмотрим многочлен . Коэффициенты этого многочлена не меняются при произвольной перестановке чисел a1,..., a n, аналогично, они не меняются при произвольной перестановке чисел b1,..., bs, следовательно, они являются симметрическими многочленами над Q относительно указанных наборов переменных, но тогда по теореме Виета указанные числа рациональны. Итак, коэффициенты многочлена h(x) рациональны. Наконец, a + b - корень h(x).
. Произведение алгебраических чисел является алгебраическим числом.
Достаточно повторить прежние рассуждения для многочлена . Тем самым, теорема доказана.
Определение. Поле L называется алгебраически замкнутым, если всякий многочлен над L разлагается на линейные множители.
По теореме Гаусса поле C является алгебраически замкнутым.
Теорема. Поле A является алгебраически замкнутым.
Иначе этот результат можно сформулировать так: всякий корень многочлена с алгебраическими коэффициентами сам является алгебраическим числом.
Доказательство. Пусть c - корень многочлена f(x) = x5 + ax4 +bx3 + gx2+ lx + m с алгебраическими коэффициентами a, b, g, l, m. Числа, сопряженные к коэффициентам исходного многочлена a, b, g, l, m., обозначим теми же буквами с соответствующими индексами, причем a1=a, b1=b, g1=g, l1=l, m1=m. Введем многочлены ,j,k,l,m(x) = x5 + aix4 + bjx3 + gkx2 + llx + mm
и рассмотрим их произведение F(x). Заметим, что коэффициенты многочлена F(x) являются симметрическими многочленами относительно каждого из наборов переменных
a1, a2,...; b1, b2,...; g1, g2,...; l1, l2,...; m1, m2,....
Следовательно, по теореме Виета коэффициенты многочлена F(x) рациональные числа, а исходное число c - корень F(x), т.е. является алгебраическим.
Тема 3.3. Теорема Кантора.
Этот раздел посвящен ответу на вопрос: каких чисел больше алгебраических или транiендентных? Сначала надо объяснить - что означает больше, если множества бесконечные? Конечные множества сравнивать легко, считая большим то множество, в котором больше элементов. Конечно, математики умеют пересчитывать элементы в любом бесконечном множестве, используя для этого так называемые кардинальные числа. Мы не будем даже пытаться излагать эту теорию, а ограничимся совсем простыми наблюдениями.
. Счетные и несчетные множества.
Определение. Числовое множество называется счетным, если элементы этого множества можно пересчитать.
Следует подробнее остановится на идее пересчета. Пересчитать элементы бесконечного множества - это значит установить взаимно-однозначное соответствие между данным множеством и множеством натуральных чисел, или записать элементы данного множества в последовательность, или присвоить каждому элементу множества какой-нибудь номер.
Определение. Если множество бесконечно и не является счетным, то оно называется несчетным.
Далее мы приведем примеры счетных и несчетных множеств, отметив пока, что рациональных чисел счетно, а действительных несчетно.
. Примеры взаимно-однозначных соответствий.
Возьмем два отрезка равной длины. Соединим концы данных отрезков и увидим, что каждой точке одного отрезка соответствует точка другого:
Как установить взаимно однозначное соответствие между окружностью и квадратом. Для этого достаточно вписать окружность в квадрат и проводить прямые через центр окружности до пересечения с квадратом. Тогда каждой точке окружности будет соответствовать точка квадрата.
Легко установить счетность множества Z целых чисел. Для этого расположим все целые числа таким образом: 0,1, - 1, 2, - 2,тАж Видно, что мы представили их в виде числовой последовательности вида a1, a2, a3, a4,тАж Мо