Рабочая учебная программа по дисциплине 4 Задания на контрольные работы
Вид материала | Рабочая учебная программа |
- Рабочая программа, методические указания по выполнению курсовой работы и контрольные, 1000.11kb.
- Программа и контрольные задания по учебной дисциплине, 858.36kb.
- Программа и контрольные задания по учебной дисциплине «эконометрика» для студентов, 555.04kb.
- Рабочая программа методические указания контрольные задания для студентов специальности, 833.92kb.
- Программа и контрольные задания по учебной дисциплине «трудовое право» для студентов, 805.51kb.
- Программа и контрольные задания по учебной дисциплине «отечественная культура» для, 729.22kb.
- Рабочая программа По дисциплине «Стратегическое управление организацией» Для курса, 197.74kb.
- Программа и контрольные задания по учебной дисциплине «отечественная история» для студентов, 583.38kb.
- Программа, контрольные задания и тематика курсовых работ по учебной дисциплине основы, 557.3kb.
- Программа, методические указания и контрольные задания по дисциплине концепции современного, 717.75kb.
ГИПЕРБОЛА
Если уравнение имеет вид



кривая называется гиперболой ( каноническое уравнение гиперболы)
Точка




Прямые







ПАРАБОЛА
Если уравнение имеет вид:








На плоскости может быть введена не только декартова прямоугольная, но и полярная система координат.
Зададим точку О -полюс, ось Z содержащую точку О и единицу длины оси Z. Возьмем произвольную точку М плоскости. Её положение на плоскости определяется двумя числами – расстоянием r от О до М (полярный радиус) и отсчитываемым против часовой стрелки углом φ между лучом OM и лучом оси (полярный угол). Если поместить начало координат декартовой прямоугольной системы в полюс, то координаты будут связаны следующим образом.


Пример 1. Пусть в задаче №3


Построим заданную линию по точкам в полярной системе координат. В начале определим область допустимых значений (ОДЗ) независимой переменной φ. По определению полярной системы координат


По условию задач угол φ может меняться от 0 до 2π. Поэтому наибольшие размеры ОДЗ таковы






В промежуток




Следовательно, допустимые значения φ принадлежат промежутку от 3π/8 до 13π/8, т.е. ОДЗ:

φ | 3π/8 | π/2 | 5π/8 | 6π/8 | 7π/8 | π | 9π/8 | 10π/8 | 11π/8 | 12π/8 | 13π/8 |
cosφ | 0.38 | 0 | -0.38 | -0.71 | -0.92 | -1 | -0.92 | -0.71 | -0.38 | 0 | 0.38 |
r | 4.75 | 2 | 1.27 | 0.97 | 0.84 | 0.8 | 0.84 | 0.97 | 1.27 | 2 | 4.75 |

rl(φ)
Для перехода к системе 0ху воспользуемся формулами. Имеем, следовательно - r (2-3cos φ)=4,



Определяем ОДЗ для х. Из ОДЗ : для φ

Следовательно, 3х+4>0. Отсюда ОДЗ: х>-4/3. Возводим правую и левую части равенства в квадрат и выделяем полный квадрат для переменной х:
4х2+4у2=9х2+24х+16; (5х2+24х)-4у2+16=0;
5(х2+2

(х+12/5)2-4/5у2-144/25+16/5=0; (х+12/5)2-4у2/5=64/25

Окончательно получаем уравнение гиперболы


с центром в точке С(-12/5;0), а = 8/5, b = 4/

Находим координаты фокусов, уравнения асимптот и эксцентриситет. Для этого систему координат 0ху параллельно перенесем в точку






Получим координаты фокусов, уравнения асимптот и эксцентриситет гиперболы:






Переходим в старую систему координат. Имеем:


Следовательно: F1(x;y)=F1(

F2(0;0), у = +

Совмещаем начало О системы координат Оху с полюсом, отмечаем координаты фокусов F1 и F2, проводим асимптоты и строим пунктиром левую ветвь гиперболы, т.к. точки гиперболы в полуплоскости слева от прямой х=-4/3 не удовлетворяют ОДЗ х>-4/3.

В случае если уравнение не подходит под один из перечисленных выше частных случаев линии второго порядка требование задачи «назвать линию» следует опустить.
ЗАДАНИЕ №4
Для решения задачи № 4 следует иметь понятие о базисе.
Система



(линейная комбинация этих векторов равна 0) выполняется только при нулевых значениях коэффициентов


Если это равенство имеет место при условии, что хотя бы один из коэффициентов

В n-мерном пространстве линейно независимая система векторов не может содержать более n векторов.
Пусть задана система из n линейных уравнений с n неизвестными



Матрица системы – набор из


Её определитель (для случая, когда n=3):

-определитель разложен по первой строке. Как определяются определители высших порядков, можно узнать в указанных ниже учебниках или в следующем разделе.
Итак, если определитель системы



Где



Пример 1. Решим задачу разложения вектора по базису:
Пусть даны вектора

Решение.: Покажем в начале, что векторы




Обращается в тождество только при λ1=λ2=λ3=0.
Используя координаты векторов




Вычисляем определитель Δ данной системы


Так как Δ

Следовательно, векторы

Найдем координаты вектора






Аналогично предыдущему случаю составим систему уравнений для определения координат λ1,λ2,λ3 вектора




Определитель системы совпадает с определителем системы и не равен нулю Δ=1




λ1=Δ1/Δ=-2/1=-2, λ2=Δ2/Δ=3/1=3, λ3=Δ3/Δ=-4/1=-4,
Итак, разложение вектора



Если векторы




Студенту рекомендуется самостоятельно нарисовать векторы

ЗАДАНИЕ №5
Задача №5 – это задача нахождения обратной матрицы.
Какие операции можно выполнить над матрицами?
Сложение матриц:

Умножение матрицы на число:

Умножение матриц:

Транспонирование матриц:

То есть элемент матрицы




Нахождение определителя (для квадратных матриц):
Для нахождения определителя третьего порядка мы пользовались в предыдущих задачах формулой:

Т.е. умножили элементы первой строки на определители, которые останутся от исходного определителя третьего порядка, если вычеркнуть этот элемент вместе со своей строкой и столбцом.
Определителем матрицы n-го порядка


Где




Таким образом

Число




Нахождение обратной матрицы (если




Для обратной матрицы


Можно построить обратную матрицу методом Жордана. Для этого следует составить расширенную матрицу (А/Е). Если подвергнуть строки этой матрицы элементарным преобразованиям (сложение и умножение на число) с целью получить на месте матрицы А единичную матрицу Е, то на месте матрицы Е получится

Пример 1. Вычислим матрицу


Решение. Вычисляем определитель матрицы А

Следовательно, матрица А-1 существует.
Алгебраические дополнения элементов аji исходной матрицы вычисляем по столбцам матрицы А


















Записываем их в строки матрицы А-1

Делаем проверку:










В самом деле:



Проверим наши вычисления по методу Жордана.
Составим расширенную матрицу
B =

Первый столбец
Наша цель – чтобы первый столбец выглядел так


Второй столбец
Теперь надо, сделать второй столбец таким же, как второй столбец матрицы Е, т.е надо чтобы второй столбец был таким

Для этого вторую строку умножим на


Теперь надо уничтожить 2 в первой строке и 1 в третьей строке.
Умножаем вторую строку на 2 и вычитаем из первой. Результат записываем на место первой строки. Вторую строку оставляем на своем месте. Из третьей строки вычитаем вторую строку, результат записываем на место третьей строки.

Третий столбец
Третий столбец у единичной матрицы должен быть таким



Теперь уничтожим



Теперь в третьем столбце от столбца единичной матрицы отличается только элемент второй строки. Это



Теперь сократим все дроби, где это возможно

Действительно, мы получили матрицу

ЗАДАНИЕ №6
Задача №6 – задача решения системы линейных уравнений методом Гаусса.
Пусть задана система четырех линейных алгебраических уравнений с четырьмя неизвестными х1,х2,х3,х4

Требуется найти решение (х1,х2,х3,х4) этой системы.
Перед решением системы исследуем её на совместность. По теореме Кронекера – Капелли для совместности системы необходимо и достаточно, чтобы ранг основной А и расширенной А1 матриц совпадали

r(A)=r(A1).
Система будет определенной, если ранг совместной системы равен числу неизвестных n
r(A)=n=4
Если

По методу Гаусса с помощью эквивалентных преобразований над строками расширенную матрицу А1 системы надо привести к матрице

В которой основная матрица А принимает треугольный вид

В процессе обратного хода из матрицы


Одновременно с прямым ходом по методу Гаусса можно определить ранги r(A) и r(A1)
Пример 1. Пусть задана система

Решение: Так как а11=0, I и IV(см. выше) уравнения системы меняем местами и записываем расширенную матрицу полученной системы

Выполняем последовательно следующие преобразования. В матрице каждый элемент I строки умножаем на (-2) и прибавляем к соответствующим элементам II строки; затем элементы I строки умножаем на (-1) и складываем с соответствующими элементами III строки. В результате получаем:

В полученной матрице элементы III строки делим на 3 и затем элементы II строки умножаем на (-1) и складываем с элементами соответственно III и IV строк:

Элементы III и IV строк нашей матрицы меняем местами; элементы III строки делим на (-1), затем умножаем на (3) и складываем с элементами IV строки

В этой матрице элементы IV строки делим на (-4)

Полученной матрице соответствует система:

Из последнего уравнения системы х4=2; из III уравнения х3=2+х4=2+2=4; из II уравнения х2=18-2х4-2х3=

Итак, решение системы равно (х1,х2,х3,х4)=(8;6;4;2).
Для избежания ошибок в решении студенту рекомендуется сделать проверку, подставив найденное решение (х1,х2,х3,х4) в каждое уравнение системы.
Найдем ранги



Таким образом, определитель матрицы

Поскольку отличный от нуля определитель квадратной матрицы


В матрице



Отсюда r(

Следовательно система совместна и определена.
ЗАДАНИЕ №7
Задача №7: Привести квадратичную форму

Квадратичной формой действительных переменных




Если n=2, то

Матрица




Пусть


нормированные собственные векторы, соответствующие характеристическим числам λ1 и λ2 в ортонормированном базисе



Является матрицей перехода от базиса




Преобразовав с помощью этих формул квадратичную форму

говорят, что форма приведена к каноническому виду.
Пример 1. Приведем к каноническому виду квадратичную форму




Составим характеристическое уравнение




Определим собственные векторы
I)




Полагая что



II)



Полагая что



Чтобы нормировать векторы u и v, следует принять

Итак, мы нашли нормированные собственные векторы

где

Матрица перехода от ортонормированного базиса


B=

Канонический вид квадратичной формы

ЗАДАНИЕ №8
Если в линейном пространстве R каждому вектору





Значит, для того, чтобы проверить, является ли оператор A линейным надо проверить, выполняются ли эти равенства. Проверим, является ли оператор A линейным в R3 -

Возьмем два вектора



То есть оператор A является линейным, найдем его матрицу.

Первая координата произведения получается умножением первой строки на столбец





Вторая координата произведения:




Третья координата произведения:




Итак, матрица оператора

Найдем собственные значения линейного оператора:

(1-λ)·(1-λ)2-1·1=0
(1-λ)3=1
1-λ=1
λ=0
Оператор A имеет собственное значение λ=0 кратности 3.
Для определения координат собственного вектора получаем систему уравнений:


получим:
Собственному числу


ЗАДАНИЕ №9
Пример 1. Выполнить действия над комплексными числами в алгебраической форме.
Решение: Алгебраической формой комплексного числа называется следующий его вид z=x+iy. Действия над комплексными числами в алгебраической форме производятся как над многочленами вида a+xb. Специфическим приёмом деления комплексного числа на комплексное число является домножение и числителя и знаменателя на комплексно сопряжённое знаменателю число. В результате частное не изменится, но делитель будет вещественным.
Заметим что


Пример 2. Найти тригонометрическую форму числа


Решение :Выражение вида





Очевидно, что если |z|r, arg z , то действительная часть числа z Re z x r cos, а мнимая часть числа z Jm z y r sin
Таким образом, в терминах модуля и аргумента комплексное число можно представить в виде

Для определения тригонометрической формы комплексного числа z найдём r,



Та как sin и cos угла


Вычислим по формуле Муавра


120=1


Пример 3. Решить уравнение

Известно, что корнем n-степени из числа z называется любое число


Решение: если число z представить в тригонометрической форме

то значения


Поскольку все





Итак, корнями уравнения будут три единичных вектора, расположенных под углом в 120 градусов друг к другу.
ЗАДАНИЕ №10
Для решения контрольной работы №2 по математике или контрольной работы №1 по математическому анализу (для специальности ЭВМ) надо изучить разделы, посвященные пределам функции одной переменной и ее производной.
Пределом функции









если существуют и не бесконечны


и следующие замечательные пределы

Решим задачи, подобные задачам из контрольной работы:
Пример 1. Найти предел L=

Решение: Имеем неопределённость вида

Если к такой неопределённости сводится предел отношения двух многочленов, при



Так как




дроби равен

Ответ: L=
