Рабочая учебная программа по дисциплине 4 Задания на контрольные работы
Вид материала | Рабочая учебная программа |
- Рабочая программа, методические указания по выполнению курсовой работы и контрольные, 1000.11kb.
- Программа и контрольные задания по учебной дисциплине, 858.36kb.
- Программа и контрольные задания по учебной дисциплине «эконометрика» для студентов, 555.04kb.
- Рабочая программа методические указания контрольные задания для студентов специальности, 833.92kb.
- Программа и контрольные задания по учебной дисциплине «трудовое право» для студентов, 805.51kb.
- Программа и контрольные задания по учебной дисциплине «отечественная культура» для, 729.22kb.
- Рабочая программа По дисциплине «Стратегическое управление организацией» Для курса, 197.74kb.
- Программа и контрольные задания по учебной дисциплине «отечественная история» для студентов, 583.38kb.
- Программа, контрольные задания и тематика курсовых работ по учебной дисциплине основы, 557.3kb.
- Программа, методические указания и контрольные задания по дисциплине концепции современного, 717.75kb.
ГИПЕРБОЛА
Если уравнение имеет вид
![](images/148241-nomer-m115a84d1.gif)
![](images/148241-nomer-m5a7203a9.gif)
![](images/148241-nomer-3a79a5e5.gif)
кривая называется гиперболой ( каноническое уравнение гиперболы)
Точка
![](images/148241-nomer-6f562a63.gif)
![](images/148241-nomer-m5a7203a9.gif)
![](images/148241-nomer-m6ab2890e.gif)
![](images/148241-nomer-2b6cebde.gif)
Прямые
![](images/148241-nomer-m3b7169d5.gif)
![](images/148241-nomer-m2dc253f6.gif)
![](images/148241-nomer-6925cb4e.gif)
![](images/148241-nomer-311e0a37.gif)
![](images/148241-nomer-311e0a37.gif)
![](images/148241-nomer-311e0a37.gif)
![](images/148241-nomer-4eb59e6e.png)
ПАРАБОЛА
Если уравнение имеет вид:
![](images/148241-nomer-m28b50fe0.gif)
![](images/148241-nomer-m419d0277.gif)
![](images/148241-nomer-m6ab2890e.gif)
![](images/148241-nomer-2b6cebde.gif)
![](images/148241-nomer-m6ab2890e.gif)
![](images/148241-nomer-2b6cebde.gif)
![](images/148241-nomer-32e78348.gif)
![](images/148241-nomer-m2906787c.gif)
На плоскости может быть введена не только декартова прямоугольная, но и полярная система координат.
Зададим точку О -полюс, ось Z содержащую точку О и единицу длины оси Z. Возьмем произвольную точку М плоскости. Её положение на плоскости определяется двумя числами – расстоянием r от О до М (полярный радиус) и отсчитываемым против часовой стрелки углом φ между лучом OM и лучом оси (полярный угол). Если поместить начало координат декартовой прямоугольной системы в полюс, то координаты будут связаны следующим образом.
![](images/148241-nomer-5e99f180.gif)
![](images/148241-nomer-m2e4e33b7.png)
Пример 1. Пусть в задаче №3
![](images/148241-nomer-m53d4ecad.gif)
![](images/148241-nomer-m71ab0e74.gif)
Построим заданную линию по точкам в полярной системе координат. В начале определим область допустимых значений (ОДЗ) независимой переменной φ. По определению полярной системы координат
![](images/148241-nomer-m3ce73d61.gif)
![](images/148241-nomer-m42902d94.gif)
По условию задач угол φ может меняться от 0 до 2π. Поэтому наибольшие размеры ОДЗ таковы
![](images/148241-nomer-3744bcb5.gif)
![](images/148241-nomer-667c55e6.gif)
![](images/148241-nomer-6af2f214.gif)
![](images/148241-nomer-42025682.gif)
![](images/148241-nomer-m289d78ff.gif)
![](images/148241-nomer-m571cf303.gif)
В промежуток
![](images/148241-nomer-100f5ddc.gif)
![](images/148241-nomer-m234f5791.gif)
![](images/148241-nomer-m57a4e982.gif)
![](images/148241-nomer-m17a2324.gif)
Следовательно, допустимые значения φ принадлежат промежутку от 3π/8 до 13π/8, т.е. ОДЗ:
![](images/148241-nomer-7b4071a1.gif)
φ | 3π/8 | π/2 | 5π/8 | 6π/8 | 7π/8 | π | 9π/8 | 10π/8 | 11π/8 | 12π/8 | 13π/8 |
cosφ | 0.38 | 0 | -0.38 | -0.71 | -0.92 | -1 | -0.92 | -0.71 | -0.38 | 0 | 0.38 |
r | 4.75 | 2 | 1.27 | 0.97 | 0.84 | 0.8 | 0.84 | 0.97 | 1.27 | 2 | 4.75 |
![](images/148241-nomer-m77766427.png)
rl(φ)
Для перехода к системе 0ху воспользуемся формулами. Имеем, следовательно - r (2-3cos φ)=4,
![](images/148241-nomer-4260ba2c.gif)
![](images/148241-nomer-m122ee6dd.gif)
![](images/148241-nomer-61e6f3c4.gif)
Определяем ОДЗ для х. Из ОДЗ : для φ
![](images/148241-nomer-1bf27ee7.gif)
Следовательно, 3х+4>0. Отсюда ОДЗ: х>-4/3. Возводим правую и левую части равенства в квадрат и выделяем полный квадрат для переменной х:
4х2+4у2=9х2+24х+16; (5х2+24х)-4у2+16=0;
5(х2+2
![](images/148241-nomer-m55f2e19a.gif)
(х+12/5)2-4/5у2-144/25+16/5=0; (х+12/5)2-4у2/5=64/25
![](images/148241-nomer-739ba745.gif)
Окончательно получаем уравнение гиперболы
![](images/148241-nomer-79042959.gif)
![](images/148241-nomer-m1b06542f.gif)
с центром в точке С(-12/5;0), а = 8/5, b = 4/
![](images/148241-nomer-m3aec365b.gif)
Находим координаты фокусов, уравнения асимптот и эксцентриситет. Для этого систему координат 0ху параллельно перенесем в точку
![](images/148241-nomer-m3db80f60.gif)
![](images/148241-nomer-m376f725d.gif)
![](images/148241-nomer-f2078e.gif)
![](images/148241-nomer-m4d54993c.gif)
![](images/148241-nomer-m7c4b8b28.gif)
![](images/148241-nomer-m18a9fee7.gif)
Получим координаты фокусов, уравнения асимптот и эксцентриситет гиперболы:
![](images/148241-nomer-m5e737e48.gif)
![](images/148241-nomer-7d7ee189.gif)
![](images/148241-nomer-m64344cd.gif)
![](images/148241-nomer-19357b2c.gif)
![](images/148241-nomer-37d0f811.gif)
![](images/148241-nomer-m490414e6.gif)
Переходим в старую систему координат. Имеем:
![](images/148241-nomer-2b1cbe9b.gif)
![](images/148241-nomer-m3f91a80b.gif)
Следовательно: F1(x;y)=F1(
![](images/148241-nomer-34ef8ba5.gif)
F2(0;0), у = +
![](images/148241-nomer-m3cd832bf.gif)
Совмещаем начало О системы координат Оху с полюсом, отмечаем координаты фокусов F1 и F2, проводим асимптоты и строим пунктиром левую ветвь гиперболы, т.к. точки гиперболы в полуплоскости слева от прямой х=-4/3 не удовлетворяют ОДЗ х>-4/3.
![](images/148241-nomer-m19ff3ff4.png)
В случае если уравнение не подходит под один из перечисленных выше частных случаев линии второго порядка требование задачи «назвать линию» следует опустить.
ЗАДАНИЕ №4
Для решения задачи № 4 следует иметь понятие о базисе.
Система
![](images/148241-nomer-2804a6af.gif)
![](images/148241-nomer-7783b770.gif)
![](images/148241-nomer-m293ec5a1.gif)
(линейная комбинация этих векторов равна 0) выполняется только при нулевых значениях коэффициентов
![](images/148241-nomer-1d97d1ac.gif)
![](images/148241-nomer-1d97d1ac.gif)
Если это равенство имеет место при условии, что хотя бы один из коэффициентов
![](images/148241-nomer-1d97d1ac.gif)
В n-мерном пространстве линейно независимая система векторов не может содержать более n векторов.
Пусть задана система из n линейных уравнений с n неизвестными
![](images/148241-nomer-m53d4ecad.gif)
![](images/148241-nomer-63fced74.gif)
![](images/148241-nomer-m53d4ecad.gif)
Матрица системы – набор из
![](images/148241-nomer-m78407f0c.gif)
![](images/148241-nomer-63438fc2.gif)
Её определитель (для случая, когда n=3):
![](images/148241-nomer-m1f97a000.gif)
-определитель разложен по первой строке. Как определяются определители высших порядков, можно узнать в указанных ниже учебниках или в следующем разделе.
Итак, если определитель системы
![](images/148241-nomer-m2517a57d.gif)
![](images/148241-nomer-m1aaaf6b9.gif)
![](images/148241-nomer-9f2839c.gif)
Где
![](images/148241-nomer-2e85d6ba.gif)
![](images/148241-nomer-m1c5d5342.gif)
![](images/148241-nomer-7a672c0e.gif)
Пример 1. Решим задачу разложения вектора по базису:
Пусть даны вектора
![](images/148241-nomer-m51733835.gif)
Решение.: Покажем в начале, что векторы
![](images/148241-nomer-1dc1df2f.gif)
![](images/148241-nomer-m67a1c88.gif)
![](images/148241-nomer-m53d4ecad.gif)
![](images/148241-nomer-38108e0c.gif)
Обращается в тождество только при λ1=λ2=λ3=0.
Используя координаты векторов
![](images/148241-nomer-467938cd.gif)
![](images/148241-nomer-66221218.gif)
![](images/148241-nomer-m42d9c5ac.gif)
![](images/148241-nomer-me72bb02.gif)
Вычисляем определитель Δ данной системы
![](images/148241-nomer-819d35d.gif)
![](images/148241-nomer-5d4f7670.gif)
Так как Δ
![](images/148241-nomer-667c55e6.gif)
Следовательно, векторы
![](images/148241-nomer-1290d59a.gif)
Найдем координаты вектора
![](images/148241-nomer-m608d97c0.gif)
![](images/148241-nomer-m9277919.gif)
![](images/148241-nomer-m608d97c0.gif)
![](images/148241-nomer-1290d59a.gif)
![](images/148241-nomer-m53d4ecad.gif)
![](images/148241-nomer-m504f065f.gif)
Аналогично предыдущему случаю составим систему уравнений для определения координат λ1,λ2,λ3 вектора
![](images/148241-nomer-m608d97c0.gif)
![](images/148241-nomer-m9277919.gif)
![](images/148241-nomer-11a17268.gif)
![](images/148241-nomer-57d3d1d2.gif)
Определитель системы совпадает с определителем системы и не равен нулю Δ=1
![](images/148241-nomer-667c55e6.gif)
![](images/148241-nomer-mcf38397.gif)
![](images/148241-nomer-m279e22e1.gif)
![](images/148241-nomer-m75d36c83.gif)
λ1=Δ1/Δ=-2/1=-2, λ2=Δ2/Δ=3/1=3, λ3=Δ3/Δ=-4/1=-4,
Итак, разложение вектора
![](images/148241-nomer-m608d97c0.gif)
![](images/148241-nomer-m9277919.gif)
![](images/148241-nomer-m81be80.gif)
Если векторы
![](images/148241-nomer-m27d3ef3d.gif)
![](images/148241-nomer-433d548d.gif)
![](images/148241-nomer-m608d97c0.gif)
![](images/148241-nomer-77eaa875.gif)
Студенту рекомендуется самостоятельно нарисовать векторы
![](images/148241-nomer-m27d3ef3d.gif)
ЗАДАНИЕ №5
Задача №5 – это задача нахождения обратной матрицы.
Какие операции можно выполнить над матрицами?
Сложение матриц:
![](images/148241-nomer-5f8cca2c.gif)
Умножение матрицы на число:
![](images/148241-nomer-m408c9a73.gif)
Умножение матриц:
![](images/148241-nomer-7ad1ab15.gif)
Транспонирование матриц:
![](images/148241-nomer-60eed12c.gif)
То есть элемент матрицы
![](images/148241-nomer-7d1992b4.gif)
![](images/148241-nomer-106d7214.gif)
![](images/148241-nomer-106d7214.gif)
![](images/148241-nomer-7d1992b4.gif)
Нахождение определителя (для квадратных матриц):
Для нахождения определителя третьего порядка мы пользовались в предыдущих задачах формулой:
![](images/148241-nomer-m56c17ea2.gif)
Т.е. умножили элементы первой строки на определители, которые останутся от исходного определителя третьего порядка, если вычеркнуть этот элемент вместе со своей строкой и столбцом.
Определителем матрицы n-го порядка
![](images/148241-nomer-m2793e3b8.gif)
![](images/148241-nomer-m393a9271.gif)
Где
![](images/148241-nomer-m289c6fa.gif)
![](images/148241-nomer-5b51d535.gif)
![](images/148241-nomer-m53d4ecad.gif)
![](images/148241-nomer-33ae9b12.gif)
Таким образом
![](images/148241-nomer-48697a58.gif)
Число
![](images/148241-nomer-3564f9b2.gif)
![](images/148241-nomer-m289c6fa.gif)
![](images/148241-nomer-m53d4ecad.gif)
![](images/148241-nomer-m53ac364.gif)
Нахождение обратной матрицы (если
![](images/148241-nomer-21dc67ea.gif)
![](images/148241-nomer-28439291.gif)
![](images/148241-nomer-7f201ea0.gif)
![](images/148241-nomer-115f6fef.gif)
Для обратной матрицы
![](images/148241-nomer-m36187252.gif)
![](images/148241-nomer-5c4b6345.gif)
Можно построить обратную матрицу методом Жордана. Для этого следует составить расширенную матрицу (А/Е). Если подвергнуть строки этой матрицы элементарным преобразованиям (сложение и умножение на число) с целью получить на месте матрицы А единичную матрицу Е, то на месте матрицы Е получится
![](images/148241-nomer-2a827a8f.gif)
Пример 1. Вычислим матрицу
![](images/148241-nomer-2a827a8f.gif)
![](images/148241-nomer-1146fe28.gif)
Решение. Вычисляем определитель матрицы А
![](images/148241-nomer-m3d7a9288.gif)
Следовательно, матрица А-1 существует.
Алгебраические дополнения элементов аji исходной матрицы вычисляем по столбцам матрицы А
![](images/148241-nomer-m53d4ecad.gif)
![](images/148241-nomer-m16e0a86e.gif)
![](images/148241-nomer-m53d4ecad.gif)
![](images/148241-nomer-1b8b87b7.gif)
![](images/148241-nomer-m53d4ecad.gif)
![](images/148241-nomer-2ac49790.gif)
![](images/148241-nomer-m53d4ecad.gif)
![](images/148241-nomer-755f1372.gif)
![](images/148241-nomer-m53d4ecad.gif)
![](images/148241-nomer-46e0acac.gif)
![](images/148241-nomer-m53d4ecad.gif)
![](images/148241-nomer-m6db8c031.gif)
![](images/148241-nomer-m53d4ecad.gif)
![](images/148241-nomer-mcced33e.gif)
![](images/148241-nomer-m53d4ecad.gif)
![](images/148241-nomer-331e1c4d.gif)
![](images/148241-nomer-m53d4ecad.gif)
![](images/148241-nomer-m638ae95e.gif)
Записываем их в строки матрицы А-1
![](images/148241-nomer-b368793.gif)
Делаем проверку:
![](images/148241-nomer-m170169e7.gif)
![](images/148241-nomer-4c2c3c65.gif)
![](images/148241-nomer-m7b31e05e.gif)
![](images/148241-nomer-7698fd35.gif)
![](images/148241-nomer-m19469b37.gif)
![](images/148241-nomer-m296df8db.gif)
![](images/148241-nomer-m4b6e95f9.gif)
![](images/148241-nomer-3487ec1f.gif)
![](images/148241-nomer-m6863b387.gif)
![](images/148241-nomer-m29c77d38.gif)
В самом деле:
![](images/148241-nomer-m53d4ecad.gif)
![](images/148241-nomer-m53d4ecad.gif)
![](images/148241-nomer-4bf6120d.gif)
Проверим наши вычисления по методу Жордана.
Составим расширенную матрицу
B =
![](images/148241-nomer-m3eec1aea.gif)
Первый столбец
Наша цель – чтобы первый столбец выглядел так
![](images/148241-nomer-m5b0a0dd2.gif)
![](images/148241-nomer-bb83d37.gif)
Второй столбец
Теперь надо, сделать второй столбец таким же, как второй столбец матрицы Е, т.е надо чтобы второй столбец был таким
![](images/148241-nomer-5abef995.gif)
Для этого вторую строку умножим на
![](images/148241-nomer-m2dc46efb.gif)
![](images/148241-nomer-m3b0d0f88.gif)
Теперь надо уничтожить 2 в первой строке и 1 в третьей строке.
Умножаем вторую строку на 2 и вычитаем из первой. Результат записываем на место первой строки. Вторую строку оставляем на своем месте. Из третьей строки вычитаем вторую строку, результат записываем на место третьей строки.
![](images/148241-nomer-m7d72f787.gif)
Третий столбец
Третий столбец у единичной матрицы должен быть таким
![](images/148241-nomer-7a92338c.gif)
![](images/148241-nomer-330fbe3d.gif)
![](images/148241-nomer-606d4a87.gif)
Теперь уничтожим
![](images/148241-nomer-m756e42ae.gif)
![](images/148241-nomer-m756e42ae.gif)
![](images/148241-nomer-md77d4a2.gif)
Теперь в третьем столбце от столбца единичной матрицы отличается только элемент второй строки. Это
![](images/148241-nomer-m2dc46efb.gif)
![](images/148241-nomer-6cb54ecf.gif)
![](images/148241-nomer-m69b94cd0.gif)
Теперь сократим все дроби, где это возможно
![](images/148241-nomer-58c07773.gif)
Действительно, мы получили матрицу
![](images/148241-nomer-74c692ab.gif)
ЗАДАНИЕ №6
Задача №6 – задача решения системы линейных уравнений методом Гаусса.
Пусть задана система четырех линейных алгебраических уравнений с четырьмя неизвестными х1,х2,х3,х4
![](images/148241-nomer-69e87f6.gif)
Требуется найти решение (х1,х2,х3,х4) этой системы.
Перед решением системы исследуем её на совместность. По теореме Кронекера – Капелли для совместности системы необходимо и достаточно, чтобы ранг основной А и расширенной А1 матриц совпадали
![](images/148241-nomer-m6c6ee16d.gif)
r(A)=r(A1).
Система будет определенной, если ранг совместной системы равен числу неизвестных n
r(A)=n=4
Если
![](images/148241-nomer-6e651717.gif)
По методу Гаусса с помощью эквивалентных преобразований над строками расширенную матрицу А1 системы надо привести к матрице
![](images/148241-nomer-15fb252a.gif)
В которой основная матрица А принимает треугольный вид
![](images/148241-nomer-448201b9.gif)
В процессе обратного хода из матрицы
![](images/148241-nomer-358dbd91.gif)
![](images/148241-nomer-16e41b7c.gif)
Одновременно с прямым ходом по методу Гаусса можно определить ранги r(A) и r(A1)
Пример 1. Пусть задана система
![](images/148241-nomer-311bfc6a.gif)
Решение: Так как а11=0, I и IV(см. выше) уравнения системы меняем местами и записываем расширенную матрицу полученной системы
![](images/148241-nomer-m60fa49bd.gif)
Выполняем последовательно следующие преобразования. В матрице каждый элемент I строки умножаем на (-2) и прибавляем к соответствующим элементам II строки; затем элементы I строки умножаем на (-1) и складываем с соответствующими элементами III строки. В результате получаем:
![](images/148241-nomer-m7a11e061.gif)
В полученной матрице элементы III строки делим на 3 и затем элементы II строки умножаем на (-1) и складываем с элементами соответственно III и IV строк:
![](images/148241-nomer-m50c71de5.gif)
Элементы III и IV строк нашей матрицы меняем местами; элементы III строки делим на (-1), затем умножаем на (3) и складываем с элементами IV строки
![](images/148241-nomer-61494503.gif)
В этой матрице элементы IV строки делим на (-4)
![](images/148241-nomer-a20aa1f.gif)
Полученной матрице соответствует система:
![](images/148241-nomer-2bd62d80.gif)
Из последнего уравнения системы х4=2; из III уравнения х3=2+х4=2+2=4; из II уравнения х2=18-2х4-2х3=
![](images/148241-nomer-m21672fd.gif)
Итак, решение системы равно (х1,х2,х3,х4)=(8;6;4;2).
Для избежания ошибок в решении студенту рекомендуется сделать проверку, подставив найденное решение (х1,х2,х3,х4) в каждое уравнение системы.
Найдем ранги
![](images/148241-nomer-448201b9.gif)
![](images/148241-nomer-358dbd91.gif)
![](images/148241-nomer-7d63751.gif)
Таким образом, определитель матрицы
![](images/148241-nomer-448201b9.gif)
Поскольку отличный от нуля определитель квадратной матрицы
![](images/148241-nomer-448201b9.gif)
![](images/148241-nomer-448201b9.gif)
В матрице
![](images/148241-nomer-153f10ae.gif)
![](images/148241-nomer-358dbd91.gif)
![](images/148241-nomer-m18425cfc.gif)
Отсюда r(
![](images/148241-nomer-358dbd91.gif)
Следовательно система совместна и определена.
ЗАДАНИЕ №7
Задача №7: Привести квадратичную форму
![](images/148241-nomer-m7ba0b2da.gif)
Квадратичной формой действительных переменных
![](images/148241-nomer-40bd2a27.gif)
![](images/148241-nomer-1831992b.gif)
![](images/148241-nomer-mb77bbff.gif)
![](images/148241-nomer-6e5d2301.gif)
Если n=2, то
![](images/148241-nomer-m26459abc.gif)
Матрица
![](images/148241-nomer-13f34b2a.gif)
![](images/148241-nomer-25288a66.gif)
![](images/148241-nomer-m76414d8f.gif)
![](images/148241-nomer-231e8bab.gif)
Пусть
![](images/148241-nomer-5d9dde2f.gif)
![](images/148241-nomer-536d097c.gif)
нормированные собственные векторы, соответствующие характеристическим числам λ1 и λ2 в ортонормированном базисе
![](images/148241-nomer-m1859633.gif)
![](images/148241-nomer-16cccec5.gif)
![](images/148241-nomer-m770707c6.gif)
Является матрицей перехода от базиса
![](images/148241-nomer-m76dcb36b.gif)
![](images/148241-nomer-16cccec5.gif)
![](images/148241-nomer-m1889d05e.gif)
![](images/148241-nomer-5d163529.gif)
Преобразовав с помощью этих формул квадратичную форму
![](images/148241-nomer-11631e42.gif)
говорят, что форма приведена к каноническому виду.
Пример 1. Приведем к каноническому виду квадратичную форму
![](images/148241-nomer-11ab83af.gif)
![](images/148241-nomer-m446e5bba.gif)
![](images/148241-nomer-m3be8923b.gif)
![](images/148241-nomer-m5f5b4a84.gif)
Составим характеристическое уравнение
![](images/148241-nomer-3e528f39.gif)
![](images/148241-nomer-m8ab4a8a.gif)
![](images/148241-nomer-26c899da.gif)
![](images/148241-nomer-24fccaf4.gif)
Определим собственные векторы
I)
![](images/148241-nomer-m7df12681.gif)
![](images/148241-nomer-m5546bb10.gif)
![](images/148241-nomer-m67f6d87f.gif)
![](images/148241-nomer-m68b9d920.gif)
Полагая что
![](images/148241-nomer-m4208f2ca.gif)
![](images/148241-nomer-27c52bb7.gif)
![](images/148241-nomer-m7a099c00.gif)
II)
![](images/148241-nomer-68216956.gif)
![](images/148241-nomer-m12244d45.gif)
![](images/148241-nomer-566f21f8.gif)
Полагая что
![](images/148241-nomer-m4684a529.gif)
![](images/148241-nomer-m4c4dac8a.gif)
![](images/148241-nomer-785b26d3.gif)
Чтобы нормировать векторы u и v, следует принять
![](images/148241-nomer-27fcac8.gif)
Итак, мы нашли нормированные собственные векторы
![](images/148241-nomer-61346494.gif)
где
![](images/148241-nomer-16cccec5.gif)
Матрица перехода от ортонормированного базиса
![](images/148241-nomer-m76dcb36b.gif)
![](images/148241-nomer-16cccec5.gif)
B=
![](images/148241-nomer-m49026fa3.gif)
Канонический вид квадратичной формы
![](images/148241-nomer-m36051db0.gif)
ЗАДАНИЕ №8
Если в линейном пространстве R каждому вектору
![](images/148241-nomer-7b217389.gif)
![](images/148241-nomer-51d2a636.gif)
![](images/148241-nomer-17784295.gif)
![](images/148241-nomer-m665652db.gif)
![](images/148241-nomer-m6ee0560b.gif)
Значит, для того, чтобы проверить, является ли оператор A линейным надо проверить, выполняются ли эти равенства. Проверим, является ли оператор A линейным в R3 -
![](images/148241-nomer-5f2dc424.gif)
Возьмем два вектора
![](images/148241-nomer-66e70418.gif)
![](images/148241-nomer-1c3134f4.gif)
![](images/148241-nomer-3ad57983.gif)
То есть оператор A является линейным, найдем его матрицу.
![](images/148241-nomer-3cf69949.gif)
Первая координата произведения получается умножением первой строки на столбец
![](images/148241-nomer-17784295.gif)
![](images/148241-nomer-m1fa42ea4.gif)
![](images/148241-nomer-m4e6d1da5.gif)
![](images/148241-nomer-12352d5f.gif)
![](images/148241-nomer-101469a2.gif)
Вторая координата произведения:
![](images/148241-nomer-m1580cd7c.gif)
![](images/148241-nomer-44c72b8c.gif)
![](images/148241-nomer-m6bb5257e.gif)
![](images/148241-nomer-394cb72b.gif)
Третья координата произведения:
![](images/148241-nomer-m261c03bf.gif)
![](images/148241-nomer-m78584432.gif)
![](images/148241-nomer-m1594c041.gif)
![](images/148241-nomer-m6e034705.gif)
Итак, матрица оператора
![](images/148241-nomer-m45b3905b.gif)
Найдем собственные значения линейного оператора:
![](images/148241-nomer-28aaae6f.gif)
(1-λ)·(1-λ)2-1·1=0
(1-λ)3=1
1-λ=1
λ=0
Оператор A имеет собственное значение λ=0 кратности 3.
Для определения координат собственного вектора получаем систему уравнений:
![](images/148241-nomer-691a024.gif)
![](images/148241-nomer-m5167f716.gif)
получим:
Собственному числу
![](images/148241-nomer-343fc763.gif)
![](images/148241-nomer-m343d10ad.gif)
ЗАДАНИЕ №9
Пример 1. Выполнить действия над комплексными числами в алгебраической форме.
Решение: Алгебраической формой комплексного числа называется следующий его вид z=x+iy. Действия над комплексными числами в алгебраической форме производятся как над многочленами вида a+xb. Специфическим приёмом деления комплексного числа на комплексное число является домножение и числителя и знаменателя на комплексно сопряжённое знаменателю число. В результате частное не изменится, но делитель будет вещественным.
Заметим что
![](images/148241-nomer-63224049.gif)
![](images/148241-nomer-m4f206f16.gif)
Пример 2. Найти тригонометрическую форму числа
![](images/148241-nomer-mf99ce24.gif)
![](images/148241-nomer-m300485d0.gif)
Решение :Выражение вида
![](images/148241-nomer-7809d381.gif)
![](images/148241-nomer-3fbadbd2.gif)
![](images/148241-nomer-6f95504e.gif)
![](images/148241-nomer-7ea6e4c.png)
![](images/148241-nomer-36aef471.gif)
Очевидно, что если |z|r, arg z , то действительная часть числа z Re z x r cos, а мнимая часть числа z Jm z y r sin
Таким образом, в терминах модуля и аргумента комплексное число можно представить в виде
![](images/148241-nomer-7809d381.gif)
Для определения тригонометрической формы комплексного числа z найдём r,
![](images/148241-nomer-6181de09.gif)
![](images/148241-nomer-m598caff4.gif)
![](images/148241-nomer-4c4d39be.gif)
Та как sin и cos угла
![](images/148241-nomer-6f95504e.gif)
![](images/148241-nomer-m63c56042.gif)
Вычислим по формуле Муавра
![](images/148241-nomer-6259a0a8.gif)
![](images/148241-nomer-7bd67fbe.gif)
120=1
![](images/148241-nomer-ca93061.gif)
![](images/148241-nomer-5476a74c.gif)
Пример 3. Решить уравнение
![](images/148241-nomer-512338b0.gif)
Известно, что корнем n-степени из числа z называется любое число
![](images/148241-nomer-2fcf5c2b.gif)
![](images/148241-nomer-48515452.gif)
Решение: если число z представить в тригонометрической форме
![](images/148241-nomer-7809d381.gif)
то значения
![](images/148241-nomer-m5f1d4abe.gif)
![](images/148241-nomer-m2abf56ab.gif)
Поскольку все
![](images/148241-nomer-m43c87a48.gif)
![](images/148241-nomer-m3ebd159.gif)
![](images/148241-nomer-4aff46f8.gif)
![](images/148241-nomer-m285e5261.png)
![](images/148241-nomer-a2649a7.gif)
Итак, корнями уравнения будут три единичных вектора, расположенных под углом в 120 градусов друг к другу.
ЗАДАНИЕ №10
Для решения контрольной работы №2 по математике или контрольной работы №1 по математическому анализу (для специальности ЭВМ) надо изучить разделы, посвященные пределам функции одной переменной и ее производной.
Пределом функции
![](images/148241-nomer-5d3651ff.gif)
![](images/148241-nomer-6b4e081d.gif)
![](images/148241-nomer-m4de8adc9.gif)
![](images/148241-nomer-580e8902.gif)
![](images/148241-nomer-1b296d42.gif)
![](images/148241-nomer-me5cbdf2.gif)
![](images/148241-nomer-m466e50f2.gif)
![](images/148241-nomer-m1644c5a7.gif)
![](images/148241-nomer-44bdee33.gif)
если существуют и не бесконечны
![](images/148241-nomer-1d5024ff.gif)
![](images/148241-nomer-71192ad6.gif)
и следующие замечательные пределы
![](images/148241-nomer-m5039e7e3.gif)
Решим задачи, подобные задачам из контрольной работы:
Пример 1. Найти предел L=
![](images/148241-nomer-30f61352.gif)
Решение: Имеем неопределённость вида
![](images/148241-nomer-5fec688d.gif)
Если к такой неопределённости сводится предел отношения двух многочленов, при
![](images/148241-nomer-6e0b7a92.gif)
![](images/148241-nomer-m42154f63.gif)
![](images/148241-nomer-m39a002e1.gif)
Так как
![](images/148241-nomer-m7b6a02ae.gif)
![](images/148241-nomer-m640f31db.gif)
![](images/148241-nomer-m1644c5a7.gif)
![](images/148241-nomer-m1644c5a7.gif)
дроби равен
![](images/148241-nomer-1fed5c29.gif)
Ответ: L=
![](images/148241-nomer-1fed5c29.gif)