Geum.ru

Рабочая учебная программа по дисциплине 4 Задания на контрольные работы

Вид материалаРабочая учебная программа

Содержание


6. Признак Лейбница сходимости знакочередующихся рядов
7. Функциональные ряды. Понятие области сходимости ряда.
8. Равномерная сходимость функционального ряда
Подобный материал:
1   ...   11   12   13   14   15   16   17   18   ...   36

6. Признак Лейбница сходимости знакочередующихся рядов


Знакочередующийся ряд сходится (вообще говоря, не абсолютно), если абсолютные величины его членов монотонно убывают , а общий член стремится к нулю . В этом случае остаток ряда по абсолютной величине меньше абсолютной величины первого из отбрасываемых членов:

Пример 11. Ряд сходится, так как все условия признака Лейбница выполнены. Ряд отличается от гармонического ряда лишь знаками чётных членов.

7. Функциональные ряды. Понятие области сходимости ряда.


Ряд называется функциональным, если члены его являются функциями от .

Совокупность В тех значений , для которых сходится функциональный ряд

, (5)

называется областью сходимости этого ряда,

а функция

(6)

называется суммой ряда.

Для определения области сходимости функциональных рядов обычно используется признак Даламбера, а затем те значения , для которых этот признак не решает вопроса о сходимости ряда . исследуется особо, посредством других признаков сходимости рядов.

Пример 12. Рассмотрим ряд ;

Для исследования вопроса о сходимости ряда используем признак Даламбера:



При получим знакочередующийся числовой ряд с общим членом , который сходится по признаку Лейбница. При получим гармонический расходящийся ряд. Область сходимости данного ряда состоит из двух бесконечных интервалов .

8. Равномерная сходимость функционального ряда


Последовательность функций называется равномерно сходящейся на множестве В, если:
  1. Существует предельная функция .
  2. Для любого числа можно указать число такое, что при .

В этом случае пишут: .

Функциональный ряд (5) называется сходящимся равномерно на множестве В, если равномерно сходится на этом множестве последовательность его частичных сумм: , где .

Пример 13. Ряд сходится для всех точек сегмента . Оценим остаток этого ряда . В скобках стоит знакочередующийся ряд с монотонно убывающими членами , причём общий член стремится к нулю при . На основании признака Лейбница, имеем , т.к. . Легко видеть, что каково бы ни было существует число К такое, что при имеет место неравенство (4) для всех точек из сегмента . В качестве числа можно взять любое целое число, большее, чем . Здесь выбранное число , начиная с которого осуществляется неравенство (4), не зависит от точки на сегменте ( а зависит только от ). В этом случае говорят, что ряд сходится равномерно на .