Методы и алгоритмы оценки неизвестных параметров динамических систем с применением анализа чувствительности
Дипломная работа - Компьютеры, программирование
Другие дипломы по предмету Компьютеры, программирование
µ, мы будем изменять имеющиеся у нас оценки предельно осторожно и ровно настолько, насколько это необходимо для того, чтобы новые оценки оказались решением задачи (2.2.5). Ещё одним фактором, определяющим целесообразность использования псевдорешения , является то, что рассматриваемый алгоритм при этом оказывается наиболее устойчивым по отношению к ошибкам задания матрицы и правой части системы (2.2.7) и ошибкам вычислений. Кроме того, в случае, когда матрица является невырожденной, имеет место равенство и, таким образом, псевдорешение системы уравнений (2.2.7) в этом случае совпадает с ее классическим решением .
2.2.3 Подходы к заданию начальных условий для решения обыкновенных дифференциальных уравнений и начальных приближений неизвестных параметров
Как было получено в работе [23] А.И. Рубана, выбор значений начальных условий и приближений неизвестных параметров существенно влияет на точность подстройки этих параметров и оценки порядка уравнения, а также на скорость сходимости САЧ. Остановимся на возможных подходах задания начальных условий и приближений.
Задание начальных условий для решения дифференциального уравнения
Рассмотрим способы задания начальных условий, с помощью которых решаются дифференциальные уравнения. Данные условия необходимы для того, чтобы определить значения констант в полученном решении уравнения.
Рассмотрим два подхода к заданию начальных условий:
) В качестве начальных условий можно использовать оценки Подходы к заданию начальных условий для решения обыкновенных дифференциальных уравнений и начальных приближений неизвестных параметров вычисленные на основе экспериментальных данных, где - шаг дискретизации аргумента t. Недостатком данного подхода является тот факт, что сами экспериментальные данные, как правило, снимаются с погрешностью с измерительного устройства, следовательно, начальные условия в данном случае вычисляются с ошибкой.
) Оптимальные начальные условия при решении дифференциального уравнения можно найти, если в качестве критерия подстройки использовать метрику:
, (2.2.15)
т.е. на каждой итерации, кроме подстройки неизвестных параметров а, осуществлять подстройку начальных условий . В отличие от предыдущего случая, начальные условия на каждой итерации будут меняться.
Предпочтительность использования того или иного способа задания начальных условий зависит от поставленной задачи. Если необходимо аппроксимировать экспериментальные данные быстро, не задаваясь при этом целью достичь высокой точности, то можно выбрать первый способ. Если же нам крайне важна точность описания экспериментальных данных, то в данном случае следует выбрать второй способ.
Задание начальных приближений неизвестных параметров
Рассмотрим способы задания начальных приближений неизвестных параметров дифференциального уравнения.
Для их определения можно использовать несколько подходов:
) Подход основан на использовании априорной информацию В данном случае необходимо наличие информации о параметрах. Учитывая эту информацию, подстраиваем оценки неизвестных параметров ОДУ, т.е. решаем задачу (2.1.9).
) Задачу (2.1.9) можно решить с помощью симплексного алгоритма [28]. Сущность его сводится к следующему. Произвольный набор параметров вектора а берем за центр симплекса и по каждой составляющей вектора а выбираем интервал варьирования - размер симплекса. Строим исходный симплекс и в каждой его точке вычисляем значение метрики S, заданной в виде (2.1.9), решая при этом наше исходное дифференциальное уравнение с заданными граничными условиями. Затем худшую точку симплекса заменяем лучшей (с меньшим значением S) и т.д. до попадания в окрестность экстремума S. Большие размеры симплекса позволяют проскочить мелкие локальные экстремумы и выделить окрестность глубокого (который может оказаться глобальным) минимума S. В последнем симплексе точку, соответствующую наименьшему значению S, берем за центр нового симплекса; уменьшаем его размер и вновь движемся к экстремуму S. В результате получаем набор начальных приближений параметров а, более близкий к решению задачи (2.1.9), причем дробление размера симплекса можно осуществлять несколько раз. Полученное решение является начальным приближением для САЧ, позволяющее с высокой скоростью и точностью отыскивать минимум метрики S.
Как правило, мы не обладаем априорной информацией, поэтому первый подход к заданию начальных приближений неизвестных параметров дифференциального уравнения не всегда может быть применен. Если же такая информация имеется, то при её использовании алгоритм сходится достаточно быстро. Второй подход, хотя он и трудоемок, но позволяет эффективно подобрать параметры. С его помощью минимум метрики S достигается довольно быстро.
2.2.4 Блок-схема алгоритма чувствительности для реализации его на ПК
Блок-схема - это способ задания алгоритма в графической форме, представляющий собой совокупность блоков, соединенных друг с другом линиями. Форма блока определяет тип действия, а текст внутри блока дает детальное толкование конкретного действия. Стрелки на линиях, соединяющих символы схемы, указывают последовательность выполнения команд, предусмотренных алгоритмом.
Блок-схемы при создании алгоритмов очень эффективны с точки зрения наглядности. За счет этого, они упрощают создание эффективных алгоритмов, понимание работы уже