Методы и алгоритмы оценки неизвестных параметров динамических систем с применением анализа чувствительности
Дипломная работа - Компьютеры, программирование
Другие дипломы по предмету Компьютеры, программирование
точно точно описана с помощью функции:
(2.1.1)
являющейся решением ОДУ n-го порядка вида:
(2.1.2)
где n - некоторое натуральное конечное число, - вектор неизвестных параметров уравнения, - некоторая заданная функция. Другими словами, будем считать, что, выбирая должным образом порядок n и подбирая значения параметров , можно получить единственное ОДУ вида (2.1.2), решение которого, с удовлетворяющей наши потребности точностью, описывает зависимость переменной y от переменной t. Во-вторых, будем предполагать, что у нас имеется некоторое конечное число N пар измерений вида:
(2.1.3)
где - i-ое значение независимой переменной, а - измеренное значение, удовлетворяющее равенству:
(2.1.4)
Здесь - истинное, неизвестное среднее значение переменной, а - неизвестное значение ошибки измерения истинной переменной, являющееся одним из бесконечного множества значений случайной величины , среднее значение и дисперсия которой удовлетворяют условиям:
а) и b) (2.1.5)
где - плотность распределения вероятностей случайной величины , . Кроме того, будем считать, что при случайные величины и являются стохастически независимыми и, соответственно, коэффициенты ковариаций данных величин удовлетворяют равенствам:
(2.1.6)
где - плотность совместного распределения вероятностей величин и , которая в данном случае удовлетворяет условию:
(2.1.7)
где и - плотности распределения вероятностей случайных величин и соответственно,
В-третьих, для количественной оценки погрешностей описания имеющихся измеренных значений функциями вида (2.1.1), будем использовать так называемую евклидову метрику S, определяемую равенством:
, (2.1.8)
где - единичная матрица порядка N, и - векторы размерности N, - значение независимой переменной, при котором в соответствии с обозначениями, принятыми в (2.1.3), измеренное значение зависимой переменной равно .
Замечания:
) В более общем случае в метрике (2.1.8) вместо единичной матрицы берется матрица весовых коэффициентов. Причина, по которой во всей работе будет использоваться единичная матрица, заключается в том, что мы не знаем, чему равны эти весовые коэффициенты.
) Значения всякой функции y(t), являющейся решением уравнения (2.1.2) зависят, очевидно, не только от значений t, но и от параметров данного уравнения и, соответственно, удовлетворяет равенству , т.е. также является некоторой функцией параметров ОДУ (2.1.2). Именно это обстоятельство оправдывает необходимость и целесообразность ее введения и позволяет успешно решить с ее помощью рассматриваемую нами задачу.
Учитывая содержательную сущность задачи аппроксимации экспериментальных данных и отмеченные выше три положения, на которых необходимо основываться, чтобы получить корректно поставленную математическую задачу, можно видеть, что с вычислительной точки зрения задача аппроксимации данных может быть сформулирована следующим образом.
Необходимо, используя имеющиеся у нас N измерений вида (2.1.3), подобрать порядок n и значения неизвестных параметров ОДУ (2.1.2) так, чтобы решение полученного при этом уравнения доставляло минимум метрике S, определяемой равенством (2.1.8), и, соответственно, удовлетворяло соотношению:
, (2.1.9)
которое в дальнейшем будем называть критерием качества подстройки неизвестных параметров и порядка уравнения.
Анализ приведенной выше математической постановки задачи аппроксимации данных позволяет непосредственно видеть, во-первых, что одной из величин, значения которых необходимо определить, является порядок n ОДУ (2.1.2). Во-вторых, поскольку он может принимать только натуральные, т.е. целые и положительные значения, то определение его конкретного значения, при котором удовлетворяется соотношение (2.1.9), наиболее целесообразно начинать с и последовательно увеличивать его до тех пор, пока не будет достигнута желаемая точность описания экспериментальных данных. В-третьих, при каждом из заданных значений порядка n решение рассматриваемой задачи сводится к определению значений параметров ОДУ (2.1.2), удовлетворяющих соотношению (2.1.9). Алгоритм определения данных значений рассматривается в следующем разделе.
2.2 Общие результаты
.2.1 Задача идентификации математической модели объекта
Проблеме и задаче идентификации посвящено множество как отечественной, так и зарубежной литературы [39, 62-66]. Процедуры идентификации - обязательный элемент системных методологий, конструирование которых - одна из главных и наиболее трудных проблем теории управления.
Рассматривая любые процессы природы, человек в первую очередь строит для них модели, в которых связи между основными переменными процесса имеют вид математических зависимостей.
Практика последних трех столетий показала, что динамику объектов с успехом можно описать с помощью введенного Ньютоном и Лейбницем дифференциального исчисления, т.е. с помощью дифференциальных и интегральных уравнений. Идея заключается в том, что для бесконечно малой части пространственно-временной области составляются уравнения процесса, которые затем интегрируются при заданных краевых и начальных условиях, и получается модель развития процесса во времени и в пространстве. Накопленный за последние столетия опыт составления дифференциальных уравнений бы