Методы и алгоритмы оценки неизвестных параметров динамических систем с применением анализа чувствительности
Дипломная работа - Компьютеры, программирование
Другие дипломы по предмету Компьютеры, программирование
(3.1.37), получим:
(3.1.38)
Продифференцировав данное равенство по , приравняв полученное выражение к нулю, согласно формулам 3.1.13 - 3.1.17, получаем СЛАУ на :
, (3.1.39)
где:
; (3.1.40)
; (3.1.41)
; (3.1.42)
. (3.1.43)
Подставив в уравнения (3.1.30) - (3.1.35), (3.1.28) известные значения , вычислим значения функций чувствительности и значения , используя любой из численных метод решения ОДУ, например метод Рунге-Кутты [68]. Начальные условия для уравнения (3.1.28) известны из постановки задачи, для уравнений (3.1.30) - (3.1.35) следует выбрать нулевые начальные условия [69]: .
Решив уравнение (3.1.39) любым способом решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), получим вектор поправок , после чего вычисляем .
Рассмотрим трудоемкость реализации САЧ и МАЧ. Если сравнить равенства (3.1.17) и (3.1.18), которые используются для нахождения поправок имеющихся оценок неизвестных параметров дифференциального уравнения в МАЧ, с равенствами (2.2.9) и (2.2.10) соответственно, которые используются для таких же целей в САЧ, то можно увидеть, то МАЧ более трудоемок.
Построим таблицу, содержащую величины, которые приходится дополнительно вычислять в МАЧ, и количество используемых для их нахождения операций.
Таблица 3.1.1 - Таблица вычисляемых в МАЧ величин
ВеличинаКоличество операцийТип операциивекторы и вычитаниеделениевектор умножениематрица умножениематрица сложение
Как видно из таблицы 3.1.1 в МАЧ необходимо дополнительно посчитать 5 величин. При этом приходится использовать такие арифметические операции, как сложение, вычитание, умножение и деление.
При применении МАЧ, вектор вычисляется только один раз, используя экспериментальные данные. Что же касается вычисления векторов и , а также матриц и , то их приходится считать на каждой итерации k.
Суммарная трудоемкость реализации МАЧ характеризуется следующими данными: операций вычитания, операций деления, операций умножения и операций сложения.
Вычисление вышеописанных дополнительных величин приводит к тому, что скорость работы МАЧ уменьшается. Данное обстоятельство было бы нежелательным тогда, когда ЭВМ обладали низкой скоростью работы. С развитием же мощных персональных компьютеров появилась возможность в считанные секунды выполнить достаточное количество итераций МАЧ для того, чтобы с некоторой точностью описать экспериментальные данные, используя при этом ОДУ. Таким образом, вычисление дополнительных величин занимает пренебрежительно малое время и практически не сказывается на времени работы МАЧ в целом.
4. Сходимость модифицированного алгоритма чувствительности
Свойство сходимости тех или иных математических объектов играет существенную роль как в вопросах теории, так и в приложениях математики. Понятие сходимости возникает, например, когда при изучении того или иного математического объекта строится последовательность более простых в известном смысле объектов, приближающихся к данному объекту, т.е. имеющих его своим пределом. Важнейшим свойством численного метода является его сходимость к искомому решению. Характер сходимости во многом определяет эффективность метода идентификации.
Итерационные методы доставляют средство для приближенного решения системы как линейных, так и нелинейных уравнений. Решение системы при помощи итерационных методов получается как предел последовательных приближений, вычисляемых некоторым единообразным процессом. При применении итерационных методов существенным является не только сходимость построенных последовательных приближений, но и скорость сходимости, при этом, как это принято в численных методах [21], под скоростью сходимости будем понимать количество итераций, которые выполнит метод, чтобы достичь заданной точности решения. Однако каждый итерационный метод имеет свою ограниченную область применимости, т.к. во-первых, процесс итераций может оказаться расходящимся для данной системы, и, во-вторых, сходимость процесса может быть настолько медленной, что практически оказывается невозможным достигнуть удовлетворительной близости к решению.
В связи с тем, что исследование сходимости алгоритма невозможно осуществить аналитически, её приходится исследовать на конкретном примере и на основании полученных результатов делать выводы о сходимости.
Для того чтобы провести исследование сходимости алгоритма, был взят пример ОДУ нелинейного маятника (3.1.28), описанный в разделе 3.2. Необходимо оценить неизвестные параметры , и данного уравнения, используя МАЧ.
Общий алгоритм работы МАЧ показан на рисунке 2, отличия в реализации для конкретной задачи будет заключаться в различных формулах для уравнений (3.1.30) - (3.1.35), (3.1.28). Также возможно изменение метода решения ОДУ, если метод Рунге-Кутты [68] будет демонстрировать неудовлетворительные результаты решений.
Для имплементации алгоритма внутри Matlabа [70] были использованы следующие функции:
1)Ode45 - функция, предназначенная для численного интегрирования систем ОДУ с помощью формул Рунге - Кутты.
2)Interp1 - сглаживание полученных решений ОДУ.
3)Mldivide (или \) - функция решения СЛАУ, выбор алгоритма решения осуществляется внутри функции и зависит от вида входных параметров.
Поиск экстремума метрики S, заданной выражением (3.1.3), будем производить при:
. (3.2.1)
Будем считать, что истинные значения неизвестных параметров определены следующим образом:
&nbs