Методы и алгоритмы оценки неизвестных параметров динамических систем с применением анализа чувствительности
Дипломная работа - Компьютеры, программирование
Другие дипломы по предмету Компьютеры, программирование
л оформлен в виде отдельных научных направлений, таких как гидродинамика, термодинамика, кинетика и др.
Мощные средства вычислительной техники и эффективные методы подстройки параметров модели (методы идентификации) позволяют в короткий срок перебрать несколько классов моделей и выбрать из них подходящую.
2.2.2 Описание алгоритма чувствительности
На основании методов ТЧ получен САЧ [23-32] идентификации объектов, который является одним из наиболее эффективных алгоритмов, позволяющих оценивать порядок и неизвестные параметры ОДУ. В отличие от ранее применявшихся подходов, данный алгоритм позволяет решать задачи идентификации при неполной наблюдаемости переменных объекта.
САЧ основан на использовании хорошо известного в численном анализе метода линеаризации и так называемых ФЧ по параметрам ОДУ (2.1.2), определяемых равенствами:
(2.2.1)
Здесь - решение ОДУ n-го порядка (2.1.2). Из равенств (2.2.1) непосредственно видно, что ФЧ - это частная производная по параметру от функции , зависящей от переменной t и параметров .
Данный алгоритм является итерационным, т.е. алгоритмом, действуя в соответствии с которым точное решение может быть получено лишь в результате многократного повторения единообразных действий. На каждой его итерации выполняется конечная последовательность вычислительных операций. Для описания данной последовательности операций будем считать, что нами уже выполнено k-1 итераций, где k - некоторое натуральное число, принимающее значения k=1,2,3,…, и получен вектор оценок параметров , но они оказались недостаточно точными. Поэтому мы вынуждены выполнить хотя бы ещё одну k-ую итерацию, чтобы получить новые более точные оценки параметров . Рассмотрим последовательность вычислительных операций, которые необходимо для этого выполнить и которые в своей совокупности составляют содержание k-ой итерации САЧ.
Представим вектор новых оценок параметров , которые нам необходимо получить, равенством вида:
, (2.2.2)
где - вектор оценок параметров , полученный на предыдущей итерации, - вектор поправок. При этом будем считать, что компоненты вектора поправок являются достаточно малыми величинами. Разложим неизвестные нам функции в окрестности значений в ряд Тейлора, ограничиваясь при этом линейным приближением. В результате видим, что:
, (2.2.3)
где . Воспользовавшись ФЧ из (2.2.1), представим данное равенство в виде:
, (2.2.4)
где - матрица, состоящая из элементов
Анализируя данное равенство, можно непосредственно видеть, что:
) оно является функциональным уравнением, линейным относительно поправок при всех значениях аргумента t;
) если значения функций, составляющие вектор , и функций чувствительности, составляющие матрицу , нам известны, то оно позволяет составить систему линейных алгебраических уравнений относительно поправок .
Отсюда вытекает, что для определения поправок необходимо решить следующие две задачи:
) найти значения функций и ФЧ ;
) воспользовавшись найденными функциями, составить каким-либо образом систему линейных алгебраических уравнений относительно поправок и решить ее, например, методом Гаусса или каким-либо другим известным методом.
Приступим теперь к формированию системы уравнений относительно поправок . Для этого воспользуемся метрикой S, заданной равенством (2.1.9), и соотношением (2.2.4). Подставляя вычисленные значения функций и ФЧ в соотношение (2.2.4), а затем в правую часть равенства (2.1.9), получим, что:
. (2.2.5)
Таким образом, мы получили метрику, которую можно использовать для количественной оценки погрешностей описания имеющихся у нас измеренных значений функциями, являющимися решениями дифференциального уравнения.
Как видно из равенства (2.2.5), метрика S удовлетворяет равенству , т.е. является явно заданной и положительно определенной функцией поправок . Для этого, как известно из математического анализа, необходимо и достаточно продифференцировать метрику S по вектору поправок и приравнять полученные при этом частные производные к нулю. Выполнив данные операции над метрикой S, будем иметь n+1 уравнений вида:
. (2.2.6)
Если выполнить все необходимые и вполне очевидные арифметические операции, то данной системе уравнений можно придать следующий, предельно компактный и традиционный в линейной алгебре вид:
, (2.2.7)
где:
а) и b) . (2.2.8)
Здесь - квадратная матрица порядка n+1. Как видно из (2.2.8b) эта матрица является симметричной.
Полученная система является системой линейных алгебраических уравнений относительно вектора поправок . Решение , как известно, определяется равенством:
, (2.2.9)
где - обратная к матрица. В противном случае, т.е. в случае, когда является вырожденной матрицей, система уравнений (2.2.7) оказывается недоопределенной и имеет бесконечное множество решений. Во всех подобных случаях наиболее целесообразно в качестве ее решения использовать ее псевдорешение , вычисляемое в соответствии с равенством:
, (2.2.9)
где - псевдообратная к матрица.
Предпочтительность использования псевдорешения в данном случае обуславливается, прежде всего, тем, что из всего бесконечного множества решений системы уравнений (2.2.7) оно имеет минимальную евклидову норму [21]. Отсюда вытекает, что, используя данное решени?/p>