Методы и алгоритмы оценки неизвестных параметров динамических систем с применением анализа чувствительности
Дипломная работа - Компьютеры, программирование
Другие дипломы по предмету Компьютеры, программирование
?нтересованы в том, чтобы были близкими как значения решений ОДУ, так и их производных.
Как и САЧ, предлагаемая его модификация является итерационной. На каждой итерации алгоритма выполняется конечная последовательность вычислительных операций. Для описания данной последовательности операций будем считать, что нами уже выполнено k-1 итераций, где k - некоторое натуральное число, принимающее значения k=1, 2, 3,…, и получен вектор оценок параметров , но они оказались недостаточно точными. Поэтому мы вынуждены выполнить хотя бы ещё одну k-ую итерацию, чтобы получить новые, более точные оценки параметров . Рассмотрим последовательность вычислительных операций, которые необходимо для этого выполнить и которые в своей совокупности составляют содержание k-ой итерации МАЧ.
Представим вектор-столбец новых оценок параметров , которые нам необходимо получить, равенством вида:
, (3.1.4)
где - вектор оценок параметра , полученный на предыдущей итерации, - вектор поправок. При этом будем считать, чт компоненты вектора являются достаточно малыми величинами. Разложим неизвестные нам функции в окрестности значений в ряд Тейлора, ограничиваясь при этом линейным приближением. Прежде чем это сделать, продифференцируем по вектору a. В результате чего получим:
(3.1.5)
Используя выражение (2.2.1), определяющее ФЧ, запишем уравнение (3.1.5) в следующем виде:
. (3.1.6)
Разложение функции в ряд Тейлора примет вид:
. (3.1.7)
Разложение же функции с учетом выражения (3.1.6) будет следующим:
. (3.1.8)
Приступим теперь к формированию системы уравнений относительно вектора поправок . Для этого воспользуемся метрикой S, заданной равенством (3.1.1), и соотношениями (3.1.7) и (3.1.8). Подставляя значения функций и в правую часть равенства (3.1.1), получим:
. (3.1.9)
Таким образом, мы получили метрику, которую можно использовать для количественной оценки погрешностей описания имеющихся у нас измеренных значений и вычисленных по ним производных , соответственно, функциями, являющимися решениями дифференциального (2.1.2), и производными от этих функций. Именно эту метрику всюду ниже мы и будем использовать. При этом мы можем и будем изменять параметр , входящий в данную метрику, в соответствии с нашими целями и желаниями.
Как видно из равенства (3.1.9), метрика S удовлетворяет равенству , т.е. является явно заданной и положительно определенной функцией вектора поправок и позволяет сделать следующий шаг к тому, чтобы получить интересующую нас систему уравнений относительно вектора поправок . Для этого, как известно из математического анализа, необходимо продифференцировать метрику S по вектору поправок и приравнять полученные при этом частные производные к нулю. Выполнив данные операции над метрикой S, будем иметь n+1 уравнений вида:
(3.1.10)
Сделаем следующее обозначение:
, (3.1.11)
тогда с учетом того, что:
(3.1.12)
выражение (3.1.10) можно записать в более компактном виде:
(3.1.13)
Если выполнить все необходимые и вполне очевидные арифметические операции, то данной системе уравнений можно придать следующий, предельно компактный и традиционный в линейной алгебре вид:
, (3.1.14)
где:
а) и b) ; (3.1.15)
а) и b) . (3.1.16)
Здесь и - квадратные матрицы порядка n+1. Как видно из (3.1.16а) и (3.1.16b), обе эти матрицы являются симметричными.
Полученная система является системой линейных алгебраических уравнений относительно вектора поправок и, если матрица неособенная, то решение , как известно, определяется равенством:
, (3.1.17)
где - обратная матрица. В противном случае, т.е. в случае, когда является вырожденной матрицей, система уравнений (3.1.14) оказывается недоопределенной и имеет бесконечное множество решений. Во всех подобных случаях наиболее целесообразно в качестве ее решения использовать ее псевдорешение , вычисляемое в соответствии с равенством:
, (3.1.18)
где - псевдообратная матрица.
Проведем вышеописанные рассуждения на примере линейного ОДУ первого порядка, имеющего следующий вид:
(3.1.19)
Продифференцируем данное уравнение по параметрам и :
a) b) (3.1.20)
Согласно формулам (3.1.7) и (3.1.8) разложим и в ряд Тейлора:
, (3.1.21)
. (3.1.22)
Подставим полученные разложения в метрику (3.1.1), получим:
(3.1.23)
Для того чтобы получить интересующую нас систему уравнений относительно вектора поправок , продифференцируем метрику S по вектору поправок :
(3.1.24)
Сделаем следующие обозначения:
a) b) c) (3.1.25)
тогда выражение (3.1.24) можно записать в более компактном виде:
(3.1.26)
Выразив из данного уравнения вектор поправок , получим:
(3.1.27)
Рассмотрим пример ОДУ - уравнения нелинейного маятника, взятое из работы [31] А.И. Рубана, имеющее следующий вид:
(3.1.28)
Сведем данное уравнение к системе двух уравнений, являющихся ОДУ первого порядка:
. (3.1.29)
Продифференцируем данную систему уравнений по параметрам
(3.1.30)
(3.1.31)
(3.1.32)
(3.1.33)
(3.1.34)
(3.1.35)
Разложим и в ряд Тейлора:
, (3.1.36)
. (3.1.37)
Подставив в метрику S разложения (3.1.36) и