Методика обучения теме "Теорема Безу" в школьном курсе алгебры
Дипломная работа - Педагогика
Другие дипломы по предмету Педагогика
шления, воображения, памяти, наблюдательности, необходимо привить устойчивый интерес учащихся к учению.
Итак подростковый возраст отличается повышенной интеллектуальной активностью, в учении формируются общие интеллектуальные способности, особенно понятийное теоретическое мышление. Важнейшим интеллектуальным приобретением подросткового возраста является умение строить и оперировать гипотезами. Подросток уже может мыслить логически, может рассуждать не связывая себя с конкретной ситуацией; он может ориентироваться на одни лишь общие посылы независимо от воспринимаемой реальности. Иными словами: подросток может действовать в логике рассуждений. Подростковый возраст является наиболее удачным и для формирования алгоритмического стиля мышления.
ГЛАВА II. Методические особенности изучения Теоремы Безу в 7-9 классах
2.1 Принципы отбора содержания
Отберем весь необходимый объем материала с точки зрения целей обучения математики.
Начинаем отбор материала с точки зрения общеобразовательной значимости. Главной целью изучения многочленов исторически было решение целых алгебраических уравнений. Из школьной практики известно, что для решения уравнений вида f(x)=0 очень полезно разложить f(x) на множители: если f(x)=g(x)h(x), то дальнейшее сводиться к решению двух более простых уравнений g(x)=0 и h(x)=0.
Однако, найдя даже несколько корней уравнения, мы далеко не всегда решим уравнение. Например, для уравнения x4 - x3 - 6x2 - x + 3 = 0 легко подобрать корни -1 и 3, но что делать дальше, неясно.
Между тем небольшое продвижение в теории существенно поможет нам в решении уравнений. Дело в том, что понятие корня тесно связано с разложением многочленов на множители - точнее, с выделением в многочлене линейного множителя. Но если, решая уравнение f(x)=0, мы сможем разложить многочлен f на множители, то далее остается решать только уравнения меньших степеней.
Рассмотрим следующий пример: Решить уравнение х3+2х2+3х-22=0.
Нетрудно проверить, что многочлен f(x)= имеет корень 2. Поэтому по теореме Безу f(x) делится на х-2, т. е. имеет место равенство
х3+2х2+3х-22 = (х-2) (х2+4х+11).
Остается, следовательно, решить квадратное уравнение х2+4х+11=0.
Это уравнение, очевидно, не имеет действительных корней, так что х =2 - единственный действительный корень исходного уравнения.
В этой задаче мы продемонстрировали общий факт: если известен хотя бы один корень алгебраического уравнения степени n, то с помощью теоремы Безу можно, как говорят, понизить степень, т. е. свести задачу к решению уравнения степени n-1.
Этот прием позволяет решить любое уравнение третьей степени, если, конечно, удастся подобрать какой-нибудь его корень.
При решении таких задач большую пользу приносит все та же схема Горнера. Напомним, что в конце второй строки этой схемы получается значение многочлена f при x=c. Однако на самом деле схема Горнера дает гораздо больше: числа, стоящие во второй строке (не считая последнего) - это коэффициенты частного от деления на x-c.
Построим схему Горнера для многочлена f=3x5-5x4-7x2+12 и с=1, -1,2:
3-50-701213-2-2-9-93-13-88-1515-32312-3-60
Желающие могут самостоятельно убедится, что составив по каждой из трех "вторых" строк соответствующий многочлен степени 4, мы действительно получим частным:
=(3x4-2x2-2x2-9x-9)(x-1)+3,=(3x4-8x3+8x2-15x +15)(x+1)-3,=(3x4+x3+2x2-3x-6)(x-2).
Решим в качестве примера рассмотренное выше уравнение
x4-x3-6x2-x+3=0.
Целые корни многочлена f= x4-x3-6x2-x+3 должны быть делителями свободного члена, так что это могут быть только числа 1 и 3. При этом 1 не является корнем многочлена f, поскольку сумма его коэффициентов, очевидно равна 0.
При х=-1: имеем схему
1-1-6-13-11-2-430
Мы видим, что -1 - корень f, и в частном получается многочлен
=x3-2x2-4x+3.
Значение х=1 второй раз проверять незачем: если бы число 1 было корнем g, то оно было бы и корнем f, что неверно. Значение х=-1 проверить обязательно - ничто не мешает ему быть также и корнем частного g:
1-2-43-11-3-14
Следовательно, g (-1)0.
Составим схему Горнера для х=3:
обучение подросток алгебра теорема
1-2-13311-40
Следовательно, g(3)=0, и при делении g на х-3 получается многочлен х2-х -1, корни которого (1)/2. Таким образом, многочлен f, а значит, и исходное уравнение имеет 4 корня: -1, 3 и (1)/2.
С помощью теоремы Безу можно частично ответить и на важный теоретический вопрос - "Сколько корней может иметь многочлен?".
К числу ведущих принципов также относятся: принцип научности, принцип сознательности, принцип связи обучения с практикой, принцип систематичности и последовательности в овладении достижениями науки, культуры, принцип коллективного характера обучения и учета индивидуальных способностей учащихся. Указанные принципы имеют прямое отношение к мировоззренческой стороне обучения. Но в обучении имеется и техническая сторона, например, определенные приемы демонстрации предметов и явлений или их изображений, обеспечивающие наиболее благоприятные условия их восприятия школьниками.
К техническим процедурам обучения относятся принципы наглядности, прочности, сознательности и активности, принцип рационального сочетания коллективных и индивидуальных форм и способов учебной работы.
Принцип научности требует, чтобы содержание обучения знакомило учащихся с объективными научными фактами, теориями, законами, отражало бы современное состояние наук. Принцип научности воплощается в учебных программах и учебниках, в отборе изучаемого