Методика обучения теме "Теорема Безу" в школьном курсе алгебры
Дипломная работа - Педагогика
Другие дипломы по предмету Педагогика
пределение. Остатком от деления многочлена f на многочлен g0 называется такой многочлен r, что
) разность f-r делится на g;
) многочлен r либо нулевой, либо имеет степень меньшую, чем степень g.
Отметим сразу же, что утверждения: "остаток от деления f на g - нулевой" и " f делится на g" означают одно и то же.
Из определения остатка следует, что если r - остаток от деления f на g, то разность f - г имеет вид gq, где q - некоторый многочлен, и следовательно, f=gq+r. Это представление многочлена через делимое g и остаток r очень важно для теории и для практики решения задач.
Но дело в том, что определение частного и остатка не дают никакой информации о существовании и единственности частного и остатка при делении одного многочлена на другой. Поэтому нам понадобится следующая теорема:
Теорема.
Для любого многочлена f(x) и любого ненулевого многочлена g(x) существует единственная пара многочленов g(x) и r(x), для которой выполняется равенство f(x)=g(x)q(x)+r, и многочлен r(x) либо нулевой, либо имеет степень, меньшую степени g(x).
Коротко эту теорему можно сформулировать так: любой многочлен на любой ненулевой многочлен можно однозначно разделить с остатком. Именно эта однозначность и позволяет ввести термины "остаток" и "частное" (или, как и в натуральных числах, полное частное").
Для нахождения остатка существует специальный прием, алгоритм - "деление уголком". Основа этого алгоритма - последовательное понижение степени делимого. Мы покажем его на конкретном примере, а затем сформулируем правило деления.
Пусть f =4х5 - Зх3 + х - 1, g =2x2 - 3. Домножим g на такой одночлен, чтобы старшие члены f и g "уравнялись": это будет, очевидно, одночлен q1, = 2х3, а получить его можно, разделив 4х5 на 2х2. Так как старшие члены многочленов f и gq1, оказались равными, то при вычитании из f произведения gq1 получим многочлен степени меньшей, чем у многочлена f.
Обозначим эту разность через f1; тогда f1 = f - gq1 = (4х5 - Зх3 + х - 1) - (2x2 - 3)2x3 = (4х5 - Зх3 + х - 1) - (4x5 - 6x3) = 3x3 + x - 1.
Теперь вместо f будем рассматривать многочлен f1, и уравняем старшие члены f1, и g - для этого g надо домножить на q2 = 3x3:2x2 = x. Новая разность f2, равна f2 = f - gq2 = (3x3 + x - 1) - (2x2 - 3) x = (3x3 + x - 1) - (3x2 - x) = x - 1, и мы получили многочлен степени 1 - меньшей, чем степ многочлена g.
Оказывается, что этот многочлен f2, и есть искомый остаток (по определению). В самом деле, о степени его мы уже сказали, а с другой стороны I
2 = f - gq2 , f1 = f - gq1 ,
и поэтому
f2 = f - gq2 = f - gq1 - gq2 ,
откуда
= f2 + gq1 + gq2 = f2 + g(q1 + q2),
Другими словами, многочлен f2, удовлетворяет определению остатка от деления многочлена f на многочлен g.
Итак, мы разделили f на g с остатком:
4х5 - Зх3 + х - 1 = (2x2 - 3)(2x3 + x) + x - 1.
Таким образом, в процессе деления с остатком осуществляем одни и те же действия: на каждом шагу делим старший коэффициент "промежуточного" многочлена с некоторым индексом на старший коэффициент многочлена g, умножаем g на частное, вычитаем произведение из "промежуточного" многочлена, получаем следующий многочлен - до тех пор, пока не получится "промежуточный" многочлен степени меньшей, чем степень многочлена g, - это и есть остаток.
Итак, всякий многочлен f можно разделить с остатком на сбой другой многочлен g, отличный от нулевого, и это всегда можно сделать с помощью деления "уголком".
Однако в случае, когда многочлен g - линейный, т. е. f = ax+ b, то вычисления можно провести по схеме Горнера (нетрудно убедится, что схема дает одновременно и остаток, и частное).
.Теорема Безу. В учебной литературе представлены различные трактовки и доказательства теоремы Безу, приведем некоторые из них.
1.Остаток от деления многочлена f(x) на x-a равен значению f(x) при x=a.
Доказательство.
Рассмотрим произвольный многочлен f(x) и разделим его с остатком на двучлен x-а. Поскольку степень этого двучлена равна 1, то остаток либо равен 0, либо имеет степень 0. И в том, и в другом случае остаток r есть число. Таким образом, многочлен f(x) представляется в виде
(x) = (x - a) q(x)+r.
Положив в этом тождестве x=a, получим, что f(a) =r. Мы доказали тем самым, что остаток от деления многочлена на двучлен x-a равен значению многочлена при х=а [32].
2.Для того чтобы многочлен f(x) делился на x-c, необходимо и достаточно, чтобы f(c)=0.
Доказательство.
Необходимость. Пусть f(x) делится на x-c, т.е. f(x)=(x-c)h(x). Следовательно f(c)=0.
Достаточность. Пусть f(c)=0. Тогда в равенстве f(x)=(x-c)h(x)+r будет
=f(c)=0, т.е. f(x)=(x-c)h(x) [11].
3. Пусть f(x) - многочлен, c - некоторое число.
) f(x) делится на двучлен x-c тогда и только тогда, когда число с является его корнем.
) Остаток от деления f(x) на x-c равен f(c).
Доказательство.
Сначала мы докажем второе утверждение. Для этого разделим f с остатком на x-c:
(x)=(x-c)q+r;
по определению остатка, многочлен r либо равен 0, либо имеет степень, меньшую степени x-c, т.е. меньшую 1.
Но степень многочлена меньше 1 только в том случае, когда она равна нулю, и поэтому в обоих случаях r на самом деле является нулем или отличным от нуля числом.
Подставив теперь в равенство f(x)=(c-c)q(c)+r значения x=c, мы получим
(c)=(c-c)q(c)+r,
так что действительно r=f(c), и второе утверждение доказано [10].
Теперь первое утверждение почти очевидно. В самом деле, утверждение "f(x) делится на x-c" означает, что остаток от деления равен 0. Но остаток, по доказанному, равен f(c), так что "f(x) делится на x-c" означает тоже самое, что и f(c)=0.
Чаще всего в учебной литературе встречается первая формулировка, но она будет трудно доступна дл