Методика обучения теме "Теорема Безу" в школьном курсе алгебры
Дипломная работа - Педагогика
Другие дипломы по предмету Педагогика
я восприятия учащимися в силу своей краткости.
На мой взгляд, наиболее удачны третья формулировка и доказательство (Дорофеев, Пчелинцев) теоремы Безу, но 1-й и 2-й пункты следует поменять местами потому что, во-первых, утверждение 2 проще открыть и, во-вторых, с него начинается доказательство теоремы.
. Следствия из теоремы Безу. Материал, представленный в данном пункте, позволит учащимся ответить на важный теоретический вопрос: "Сколько корней имеет уравнение n-степени?"
Теорема 1.
Многочлен степени n имеет не более n корней.
Доказательство.
Пусть многочлен f степени n имеет k корней, и с - один из его корней. Предположим противное - пусть k> n.
По теореме Безу, f=(x-c)g, и частное g имеет степень n-1. Всякий корень f, отличный от с, является одновременно и корнем g: если f(a)=0, то (a-c)g(a)=0, откуда g(a)=0, так как ac. Другими словами, многочлен g имеет по меньшей мере k-1> n-1 корней, т.е. число его корней также больше его степени.
Но с многочленом g можно привести те же рассуждения, и на втором шагу получить новый многочлен h, число корней которого также больше его степени. Продолжая таким образом, мы придем к многочлену степени 2, имеющему больше 2 корней, чего не может быть.
Полученное противоречие показывает, что предположение k> n неверно, и следовательно, k не больше n.
Нетрудно привести примеры, когда многочлен степени имеет ровно n корней и когда он имеет меньше n корней, в частности, вообще не имеет корней. Эти примеры полезно придумать самостоятельно.
При этом следует иметь в виду, что число корней многочлена существенно зависит от того, какое числовое множество мы рассматриваем.
Например, многочлен f=x2-2 не имеет корней в множестве рациональных чисел Q - не существует рационального числа, квадрат которого равен 2. В то же время в множестве действительных чисел R он имеет два иррациональных корня ().
Из теоремы о числе корней вытекают два исключительных важных и для теории, и для практики утверждения.
Теорема 2.
Два многочлена степени, не большей n, принимают одинаковые значения по меньшей мере при n+1 значении х тогда и только тогда, когда при каждой степени х они имеют одинаковые коэффициенты.
Доказательство.
"В одну сторону" это утверждение очевидно: если многочлены имеют одинаковые коэффициенты, то при всех значениях х они, естественно, принимают одинаковые значения.
И наоборот, если многочлены f и g имеют степень не больше n, то их разность h либо является нулевым многочленом, а тогда при каждой степени х они имеют одинаковые коэффициенты, либо отлична от нуля и имеет степень не больше n. Но тогда эта разность имеет не меньше чем n+1 корень - это те значения переменной х=хi, при которых h(xi)=f(xi)-g(xi)=0, что противоречит теореме 1 о числе корней: число корней разности большее ее степени.
Теорема 3.
Два многочлена принимают одинаковые значения при всех значениях х тогда и только тогда, когда при каждой степени х они имеют одинаковые коэффициенты.
Доказательство.
Это утверждение моментально следует из предыдущего: если многочлены принимают одинаковые значения при всех значениях х, то они принимают одинаковые значения при числе значений, большем наибольшей из их степеней.
2.4 Методические рекомендации
1.Организация обучения.
Так как на изучение теоремы Безу отводится мало времени, то следует определенным образом организовать изучение материала, то есть параметризировать учебный процесс.
В педагогической технологии академика В.М. Монахова выделяются пять параметров: целеполагание, диагностика, дозирование, логическая структура, коррекция.
На этапе ЦЕЛЕПОЛАГАНИЕ выделим основные цели которые будут поставлены перед учащимся и сформулируем их в форме: " знать…", " уметь…", "понимать…", " иметь представление о…" (подробнее см. в технологической карте).
На этапе ДИАГНОСТИКА с помощью небольших самостоятельных работ (на 5-10 минут), получаем информацию о достижения микроцели или о недостижения микроцели, а также выявляются типичные ошибки учащихся (подробнее см. в технологической карте).
На этапе ДОЗИРОВАНИЕ определяем объем и содержание самостоятельной внеаудиторной деятельности учащихся (подробнее см. в технологической карте).
На этане ЛОГИЧЕСКАЯ СТРУКТУРА по числу микроцелей выделим группы уроков
На этапе КОРРЕКЦИЯ организуем специальную деятельность учащихся по ликвидации пробелов, выявленных на этапе диагностики (подробнее см. в технологической карте).
7 класс.
Целеполагание.
В1. Уметь применять схему Горнера для вычисления значений многочленов.
В2. Уметь применять схему Горнера для нахождения корней многочленов и
нахождения корней целых алгебраических уравнений.
В3. Знать формулировки теорем о целых и дробных корнях многочленов с целыми коэффициентами.
В4. Уметь находить целые и дробные корни многочленов и уравнений любых степеней с целыми коэффициентами.
Диагностика.
Д0. 1. Выполните действия. (Устно)
2. Найти сумму коэффициентов многочлена
а) f(x) = 3x4 + 2x3 + 15x2 - x - 1;
б) f(x) = 7x5 - 3x3 + 12x2 - 2x + 13.
. Выпишите коэффициенты многочлена и свободный член.
а) f(x) = 3x4 + 2x3 + 15x2 - x - 1;
б) f(x) = 7x5 - 3x3 + 12x2 - 2x + 13.
Д1. Используя схему Горнера, вычислите значение f(x) = x4 + 3x3 + 2x2 + 1 при с=3; -4.
Д2. Определите, какие из чисел -5; 2 являются корнями уравнения x3 - 6x2 + 11x - 6 = 0.
Д3. Определите, какие из чисел 1, 2, -2, 4, 5, -13, 28, -7, 123, 3 не являютс