Методика обучения теме "Теорема Безу" в школьном курсе алгебры
Дипломная работа - Педагогика
Другие дипломы по предмету Педагогика
сла, делящиеся на 7. Отсюда ясно, что эта сумма не равна 0. Действительно, если
275 - 1574 + 773 - 27 + 10 = 0,
75 - 1574 + 773 - 27 = -10,
Но этого не может быть, потому что левая часть равенства делится на 7, а правая не делится. Это рассуждение показывает, что целыми корнями данного многочлена могут быть только числа, являющиеся делителями числа -10. Для любого другого числа мы точно так же, как для 7, приходим к противоречию.
Целое число, не являющееся делителем 10, не может быть корнем данного многочлена.
На самом деле верно и общее утверждение, а его доказательство проводится буквально по той же схеме, что в рассмотренном примере.
Теорема 1 (о целых корнях).
Если целое число k - корень многочлена с целыми коэффициентами, то k - делитель его свободного члена.
Доказательство.
Пусть
= a0xn + a1xn-1 + … + an-1x + an
- многочлен с целыми коэффициентами, и целое число k - его корень.
Тогда, по определению корня, выполняется равенство f(k) = 0, т. е.
0kn + a1kn-1 + … + an-1k + an = 0,
Вынося общий множитель k за скобки, получим равенство
(a0kn-1 + a1kn-2 + … + an-1) + an = 0,
откуда
n = -k(a0kn-1 + a1kn-2 + … + an-1) .
Так как числа a0, a1,…, an-1, an и k - целые, то в скобках стоит целое число, и следовательно, аn делится на k, что и требовалось доказать.
Доказанная теорема может быть сформулирована и следующим образом: всякий целый корень многочлена с целыми коэффициентами является делителем его свободного члена.
Итак, задача нахождения целых корней многочлена с целыми коэффициентами полностью решена - с помощью теории делимости целых чисел.
Но оказывается, что на той же основе можно получить алгоритм поиска и дробных корней многочленов с целыми коэффициентами.
Теорема 2 (о рациональных корнях).
Пусть рациональное число - корень многочлена с целыми коэффициентами, причем дробь - несократимая. Тогда числитель дроби p - делитель свободного члена, а знаменатель q - делитель старшего коэффициента многочлена.
Доказательство.
Пусть рациональное число где q - несократимая дробь, является корнем многочлена f = a0xn + a1xn-1 + … + an-1x + an c целыми коэффициентами.
Это означает, что выполняются равенства
f() = a0()n + a1()n-1 + … + an-1() + an = 0,0() + a1() + … + an-1() + an = 0,
откуда после приведения к общему знаменателю получим
0pn + a1pn-1q + … + an-1pqn-1 + anqn = 0,
Полученное равенство можно переписать в виде
0pn = -q(a1pn-1 + … + an-1pqn-2 + anqn-1 )= 0,
откуда следует, что a0pn делится на q. Так как дробь несократима, то числа р и q не имеют общих простых делителей, а тогда числа рn и q также не имеют общих простых делителей.
Поэтому а0 делится на q, что и требовалось доказать. Точно так же доказывается, что аn делится на р. Теорема доказана.
Заметим, что теорема о целых корнях является простым следствием только что доказанной теоремы: если положить q = 1, то дробь p/1 = р несократима, и поэтому свободный член аn делится на числитель р.
Другим важным следствием этой теоремы является следующее утверждение.
Теорема 3. Если старший коэффициент многочлена с целыми коэффициентами равен 1, то всякий рациональный корень многочлена является целым числом.
Доказательство.
Пусть - корень многочлена со старшим коэффициентом 1. Тогда по теореме 2 число 1 делится на q, а это возможно только когда q = +1, так что действительно является целым числом. Теорема доказана.
Эта теорема может быть сформулирована и другими способами, полезными для решения задач:
. "Многочлен с целыми коэффициентами и со старшим коэффициентом 1 не может иметь дробных корней".
. "Корни многочлена с целыми коэффициентами и со старшим коэффициентом 1 либо целые, либо иррациональные".
Следует обратить внимание учащихся на то, что утверждения, обратные к теоремам о целых и рациональных корнях, неверны. Например, утверждение, обратное к теореме о целых корнях, может быть сформулировано следующим образом: "Если целое число k - делитель свободного члена многочлена с целыми коэффициентами, то k - корень этого многочлена" или "Всякий делитель свободного члена многочлена с целыми коэффициентами является его корнем". Так как эти факты можно опровергнуть простой проверкой, то они могут быть предложены учащимся в качестве задач.
3. Теорема о делении с остатком. Материал, представленный в этом пункте, необходим для открытия теоремы Безу.
Определение. Пусть f и g - два многочлена, причем g 0. Многочлен f делится на многочлен g тогда и только тогда, когда существует такой многочлен h, что f=gh.
Основные свойства делимости в множестве многочленов те же, что и в множествах натуральных и целых чисел. Например, если f делится на g и g делится на h то f делится на h.
В самом деле, если f = gu и g = hv, то f = uhv = h (uv) так что f действительно делится на h. Доказательства этих свойств проводятся точно так же, как и в числовых множествах.
Делимость многочленов имеет большое значение для решения уравнений: если многочлен f делится на многочлен g, т. е. f представляется в виде f = gh, то уравнение f(х)=0 равносильно уравнению g(х)h(х)=0. Поэтому дальше надо решить уравнения g(х)=0 и h(х)=0, каждое из которых имеет степень, меньшую степени многочлена f, т. е. существенно проще.
Таким образом, для решения уравнений полезно уметь раскладывать многочлены на множители. Однако эта задача очень трудная, и для ее решения полезным оказывается новое понятие - деление многочленов с остатком. С подобным понятием (деление с остатком) учащиеся уже встречались в множестве натуральных чисел.
О