Методика обучения теме "Теорема Безу" в школьном курсе алгебры
Дипломная работа - Педагогика
Другие дипломы по предмету Педагогика
многочлен обозначен буквой f, а с - некоторое число, то значение f при х = с обозначается, как известно через f(с). Число f(с) часто называют также значение многочлена f в точке с.
Например, если f =3x2 - 12х +10, то
f (3) =332 - 123 + 9 =0, f (0) =9,
В общем виде, если например,
= a0xn + a1xn-1 + … + an-1x + an
и с - некоторое число, то
(c) = a0cn + a1cn-1 + … + an-1c + an
Особо отметим "крайний" случай, когда f - многочлен нулевой степени, т. е. f = а, где а - число, так что f в действительности не содержит переменной. В этом случае считают, что его значение при любом х равно а.
Поэтому такие многочлены называются постоянными, или константами (от латинского constantum - постоянство). Нулевой многочлен также является константой: все его значения равны нулю.
Сделаем два важных для решения задач замечания:
. Значение f(О) равно свободному члену многочлена.
. Значение f(1) равно сумме коэффициентов многочлена.
Действительно, если
= a0xn + a1xn-1 + … + an-1x + an ,(0) = an , f(1) = a0 + a1 + … + an-1 + an .
Важно обратить внимание учащихся на то, что нахождение значений многочлена в соответствии с определением не представляет никаких принципиальных трудностей, однако вычисления при этом могут оказаться достаточно громоздкими.
Для упрощения вычислений существует прием, называемый схемой Горнера - по имени английского математика ХVI в. Эта схема состоит в заполнении некоторой таблицы из двух строк.
Например, чтобы вычислить значение многочлена
f = 2х4 - 9х3 - 32х2 - 57
при х = 7 строка его коэффициентов записывается первой, старший коэффициент "дублируется" во второй строке, а перед ним ставится значение переменной 7, при котором мы вычисляем значение многочлена. Получается таблица, пустые клетки которой и предстоит теперь заполнить.
2-9-320-5772Это делается по единому правилу: стоящее слева число умножается на 7 и складывается с числом, стоящим над пустой клеткой. Поэтому в первой пустой клетке ставится число 27 - 9 = 5, во второй клетке ставится 5 7 - 32 = 3, в третьей - 37 + 0 = 21, и в последней - 217 - 57 = 90.
Полностью заполненная схема Горнера выглядит так:
2-9-320-5772532190
Эти вычисления приводят к ответу: f(7)=90 - это последние число второй строки. Это утверждение можно проверить непосредственной подстановкой
Одной из основных задач, ради которой в математике развивалась теория многочленов с одной переменной, являете решение так называемых целых алгебраических уравнений, т. е. уравнений вида
0xn + a1xn-1 + … + an-1x + an = 0,
произвольных степеней и с произвольными коэффициентами. В связи с решением уравнений вводится важнейшее понятие - корень многочлена.
Определение. Число с называется корнем многочлена f, если f (с) = 0.
Другими словами, число с является корнем многочлена, если
0cn + a1cn-1 + … + an-1c + an = 0.
Это равенство означает, что число с является корнем уравнения
0xn + a1xn-1 + … + an-1x + an = 0,
при подстановке вместо х числа с получается верное равенство. Поэтому корень многочлена f и корень соответствующего уравнения f (х) = 0 - это одно и то же.
Понятно, что схема Горнера позволяет проверять, является ли данное число с корнем данного многочлена или нет: с ее помощью мы как раз и вычисляем значение f (с).
Если требуется проверить несколько значений с, то для экономии выкладок строят не три отдельные схемы, а одну - объединенную. Например, для многочлена f=3x5-5x4-7x2+12 и чисел с = 1, -1, 2 составляется таблица:
3-50-701213-2-2-9-93-13-88-1515-32312-3-60
Конечно, при заполнении третьей и четвертой строки таблицы "работает" только первая строка - строка коэффициентов многочлена f.
Мы видим, в частности, что из трех рассмотренных чисел только с = 2 является корнем данного многочлена.
.Целые и дробные корни многочленов. В этом пункте приводится теория, которая позволяет ответить на вопрос является ли число корнем данного многочлена.
Одной из основных задач теории многочленов с одной переменной является решение целых алгебраических уравнений, т. е. уравнений вида
0xn + a1xn-1 + … + an-1x + an = 0,
Эта задача, однако, чрезвычайно сложна и, как доказано в математике, в определенном смысле вообще неразрешима. Если для уравнений низких степеней - от первой до четвертой - существуют специальные формулы для вычисления корней, то для уравнений пятой и более высоких степеней дело обстоит иначе, и их корни, вообще говоря, могут быть найдены лишь приближенными методами.
В то же время полностью может быть решена более узкая задача - нахождение рациональных, т. е. целых и дробных (если они существуют) корней любого уравнения (многочлена) с целыми коэффициентами. Более того, поиск таких корней достаточно прост и основан на простейшем рассуждении, ясном из следующего примера.
Пример. Определить является ли число 7 корнем многочлена
= 2x5 - 15x4 + 7x3 - 2x + 10.
Преложим учащимся вычислить значение f(7) по схеме Горнера.
2-1570-21072-100-24
Мы видим, что число 7 не является корнем данного уравнения. Обратим внимание учащихся на то, что даже по схеме Горнера вычисления могут быть очень громоздкими. Если в задаче нужно проверить является ли число -13 корнем данного уравнения, то числа будут получаться просто астрономическими.
Как же быть? Нет ли более простого способа, который позволил бы нам определить может ли данное число быть корнем нашего уравнения?
Вернемся к примеру. Можно заметить, что в сумме
275 - 1574 + 773 - 27 + 10
все слагаемые, кроме последнего, - целые чи