Задачи на делимость чисел в егэ 17 Разностные уравнения 18

Вид материала

Реферат

Содержание «Золотое сечение» в архитектуре Вневписанные окружности В.Г. НовенкоРуководитель: С.Е. Новенко,учитель математики первой категорииМОУ СОШ № 74

Подобный материал:

• Пояснительная записка Курс по выбору "Делимость целых чисел", 33.55kb.
• Элективный курс. Математика. Уравнения высших степеней, 52.26kb.
• Синявская средняя общеобразовательная школа, 63.47kb.
• Тема: Уравнение с двумя переменными. Цели урока, 251.03kb.
• Учебник Петерсона урок-сказка по теме «делимость натуральных чисел», 23.46kb.
• Симетрические разностные схемы метода совместной аппроксимации для решения линейного, 15.06kb.
• «Действия над натуральными числами и нулем. Делимость натуральных чисел». Цели урока, 68.88kb.
• Учебно-методический комплекс курса по выбору "задачи егэ по информатике" (физико-математический, 704.64kb.
• Примерная программа наименование дисциплины Линейная алгебра Рекомендуется для направления, 206.03kb.
• Уравнения математической физики направление подготовки, 18.02kb.

^

«Золотое сечение» в архитектуре

Л.В. Кутлуева
Руководитель: Н.А. Шайдурова,
учитель математики высшей категории
МОУ СОШ №167

Теория отношений и пропорций была создана древними греками. Впрочем, скорее всего золотая пропорция была заимствована Пифагором у древних египтян, которые знали её задолго до Пифагора. Ещё Фалес Милетский (6 в. до н.э.), находясь в Египте, вычислял высоты пирамид, измеряя их тень и сравнивая с тенью стержня, взятого за единицу длины, т.е. пользовался пропорцией.

В нашей работе ««Золотое сечение» в архитектуре» мы изучили историческое возникновение понятия решения задач на «золотое сечение» и рассмотрели применение теории пропорциональности в искусстве и архитектуре с античных времён и эпохи Возрождения до современности.

Золотое сечение используется практически всюду: строительство, архитектура, фотография, искусство, кинематограф и другие области. Многочисленные исследования показали, что на точке «золотого сечения» бывает кульминация в поэтических, драматургических и музыкальных произведениях. Можно услышать его в общей композиции произведений и в соотношении его частей. Удивительно то, что золотое сечение присутствует в совершенно различных цивилизациях, отдалённых друг от друга тысячелетиями: в усыпальнице Хеопса в Древнем Египте и в храме Парфенона в Древней Греции, в храме Покрова на Нерли, в Адмиралтействе Санкт-Петербурга, в ультрасовременных сооружениях. Мы обнаруживаем золотое сечение в музыкальных шедеврах Баха, Моцарта, Вагнера, Шопена, Глинки и в поэтических произведениях от Пушкина, Лермонтова до Вознесенского.

Мы считаем, что начиная с античных времён и по сей день математика, архитектура, искусство неразрывно связаны и нельзя заниматься чем-либо одним, не касаясь другого. Материалы нашего исследования могут быть полезны как учащимся, интересующимся математикой, так и учащимся, интересующимся МХК при знакомстве с произведениями античной культуры и эпохи Возрождения.
^

Вневписанные окружности

Т.О. Матушкина
Руководитель: Л.Ю. Ивлева,
учитель математики первой категории
МОУ СОШ №134

Сегодня школьная геометрия только тогда может стать интересной и содержательной, только тогда может стать собственно геометрией, когда в ней появляется глубокое и всестороннее изучение треугольника. Треугольник, несмотря на свою кажущуюся простоту, является неисчерпаемым объектом изучения – никто даже в наше время не осмелится сказать, что изучил и знает все свойства треугольника.

На уроках геометрии мы знакомимся с окружностями, вписанными и описанными около треугольника. А что вы можете сказать о вневписанных окружностях? Наверное, о них даже не всем известно. Существует ли связь между различными видами окружностей? Именно эти вопросы определили тему реферата.

Результатом проведённого исследования являются 9 свойств вневписанных окружностей, которые в реферате приведены с подробным доказательством. В них выражены соотношения между элементами треугольника и различными видами окружностей (вписанных, описанных, вневписанных). Например, свойство 5. В нём говорится, о том, что точки, в которых вписанная и вневписанная окружности касаются стороны треугольника, симметричны относительно середины этой стороны. Или свойства 3 и 4, в которых формулами описана взаимосвязь между радиусами всех трёх вневписанных окружностей треугольника и радиусами вписанной и описанной окружностей этого треугольника.

Свойство 3. Сумма радиусов вневписанных окружностей равна сумме радиуса вписанной окружности и учетверённого радиуса описанной окружности.

Свойство 4. Сумма величин, обратных радиусам вневписанных окружностей, равна величине, обратной радиусу вписанной окружности.

Свойства №2, №3 и № 5 доказаны мной самостоятельно. Например, свойство № 3.

Свойство 3.Сумма радиусов вневписанных окружностей равна сумме радиуса вписанной окружности и удвоенного диаметра описанной окружности, т.е. r_a + r_b + r_c = r + 2D

Доказательство. Выразим все радиусы через стороны, площадь и полупериметр треугольника:

S = rp, r = S/p, S = abc/4R, R = abc/4S.

r_a = S/(p – a), r_b = S/(p – b), r_c = S/(p – c).

Значит, r_a + r_b + r_c – r = S/(p – a) + S/(p – b) + S/(p – c) – S/p = S (p(p – b)(p – c) + p(p –-a)(p – c) + p(p – a)(p – b) – (p – a)(p – b)(p – c))/(p(p – a)(p – b)(p – c)) = S(abc/S2) = abc/S = 4R = 2D. Таким образом, r_a + r_b + r_c = r + 2D.

Во второй части работы показано применение свойств вневписанных окружностей для решения задач. Всего мной решено 15 задач. Можно отметить, что решение некоторых из них с применением свойств вневписанных окружностей более рационально. В заключение могу сказать, что этот проект имеет для меня большое значение. Он помог мне не только улучшить и систематизировать свои знания в области геометрии, но и выйти на новый уровень изучения этой науки.

Оригами

^ В.Г. Новенко
Руководитель: С.Е. Новенко,
учитель математики первой категории
МОУ СОШ № 74

Оригами – самобытное японское искусство создания моделей путем сгибания листа бумаги. Для изготовления фигурок необходимо знать условные знаки, которые составляют своеобразную «азбуку оригами». Она содержит различные стрелки и линии, показывающие как нужно сложить на данном этапе лист бумаги.

Складывание фигур оригами начинается с базовых форм – это основы классических и авторских фигур. Базовые формы можно разделить на четыре группы: простые, средние, сложные и блинчатые. Из одной базовой формы могут получаться различные фигуры.

При изготовлении фигур из бумаги возникают такие математические задачи, как деление стороны квадрата и прямого угла на различное количество равных частей. Для решения этих задач требуются знания по геометрии: понятия равных углов и отрезков, биссектрисы угла, равностороннего треугольника, свойств этих фигур и др. Важную роль в решении этих задач играет теорема Хага: Сложим угол квадрата к середине противоположной стороны. В таком случае точка пересечения другой стороны, противоположной этому углу, и стороны, прилегающей к нему, делит сторону в отношении один к двум.

В работе мы рассмотрели способы деления стороны квадрата на 4, 5, …, 10 частей и построение углов в 30, 60 и 15 градусов.

Искусство оригами так развилось, что существуют различные техники и направления складывания фигур. Особое место в работе уделяется модульному оригами. Это увлекательная техника – создание объёмных фигур из ссылка скрыта. Она придумана в Китае. Целая фигура собирается из множества частей. Каждый модуль складывается по правилам классического оригами из одного листа бумаги, а затем модули соединяются путем вкладывания их друг в друга. Для изготовления таких фигур может потребоваться от четырех до семисот и более модулей.