Задачи на делимость чисел в егэ 17 Разностные уравнения 18

Вид материала

Реферат

Содержание Фрактал как понятие неклассической геометрии Правильные многогранники

Подобный материал:

• Пояснительная записка Курс по выбору "Делимость целых чисел", 33.55kb.
• Элективный курс. Математика. Уравнения высших степеней, 52.26kb.
• Синявская средняя общеобразовательная школа, 63.47kb.
• Тема: Уравнение с двумя переменными. Цели урока, 251.03kb.
• Учебник Петерсона урок-сказка по теме «делимость натуральных чисел», 23.46kb.
• Симетрические разностные схемы метода совместной аппроксимации для решения линейного, 15.06kb.
• «Действия над натуральными числами и нулем. Делимость натуральных чисел». Цели урока, 68.88kb.
• Учебно-методический комплекс курса по выбору "задачи егэ по информатике" (физико-математический, 704.64kb.
• Примерная программа наименование дисциплины Линейная алгебра Рекомендуется для направления, 206.03kb.
• Уравнения математической физики направление подготовки, 18.02kb.

^

Фрактал как понятие неклассической геометрии

М.А.Воронин
Руководитель: С.М. Кадимова
преподаватель первой категории
МОУ гимназия № 35

Фрактал – одно из понятий неклассической геометрии, подходящее для решения многих актуальных задач современной науки и техники. Об этом писал основатель теории фракталов Бенуа Мандельброт: «Почему геометрию часто называют холодной и сухой? Одна из причин лежит в ее неспособности описать форму облаков, гор или деревьев. Облака - это не сферы, горы - не углы, линия побережья - не окружность, кора не гладкая, а молния не прямая линия. Природа демонстрирует нам не просто более высокую степень, а совсем другой уровень сложности. Число различных масштабов длин в структурах всегда бесконечно. Существование этих структур бросает нам вызов в виде трудной задачи изучения тех форм, которые Евклид отбросил как бесформенные, задачи исследования морфологии аморфного» [1].

В нашей работе мы познакомились с основами теории фракталов (понятие фракталов, история их изучения, классификация и применение) и воспроизвели некоторые фрактальные объекты самостоятельно при помощи таких компьютерных программ, как AutoCAD 2006, Adobe After Effects CS3.

Изучением фракталов занимались многие известные математики. Основоположниками теории фракталов являются Г. Кантор, Х. фон Кох, Б. Мандельброт, В. Серпинский. Современные ученые, занимающиеся исследованием этого явления, - Е. Федер, П. Рихтер, В. Жиков и др. Определение фрактала, данное Бенуа Мандельбротом, звучит так: "Фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому" [2].

По общепринятой классификации фракталы делятся на алгебраические, геометрические и стохастические.

Наиболее известными примерами геометрических фракталов являются пыль Кантора (она не имеет четкой размерности, строится вроде бы на основании одномерной прямой (размерность 1), но состоит из точек с размерностью 0); кривая Коха (строится путем замены каждого звена на уменьшенный образующий элемент) и треугольник Серпинского (при количестве шагов его построения → ∞ сумма периметров треугольников, входящих в него, стремится к бесконечности, а сумма их площадей – к нулю).

Самым ярким примером алгебраического фрактала является множество Мандельброта, а стохастического – так называемая плазма.

В реферате более подробно рассматриваются геометрические фракталы.

Фракталы применяются в самых разнообразных сферах деятельности, прежде всего в компьютерной графике для представления сложных неевклидовых объектов, образы которых весьма похожи на природные, например облаков, гор, поверхности моря и т.д.

В практической части реферата приводятся примеры построения фрактальных объектов (треугольник Серпинского, множество Мандельброта) при помощи специальных программ: AutoCAD 2006, Adobe After Effects CS3.

Так, для того чтобы создать множество Мандельброта в программе Adobe After Effects, мы осуществили следующие действия:

1. Выбираем пункт меню Composition > New composition и выбираем необходимые размеры нашей композиции > Нажимаем ОК
   
2. Для создания новой основы, на которой мы будем генерировать фрактал, во вкладке Layer выбираем пункт New > Solid, настраиваем цвет и размер основы, нажимаем OK
   
3. Применим эффект, генерирующий фрактал: в пункте меню Effect выбираем подпункт Generate > Fractal
   
4. В конце добавим музыкальное сопровождение, чтобы наш видеоролик приобрел законченный вид.
   

Литература

1. Б. Мандельброт. The Fractal Geometry of Nature. Цит. по.: Жиков В. В. Фракталы // Соросовский образовательный журнал. № 12 (13), 1996. С. 109-117.
   
2. Федер Е. Фракталы. Пер. с англ. - М.: Мир, 1991.
   

^

Правильные многогранники

Л. Галимзянова
Руководитель: И.А. Немировская
МОУ СОШ углубленным изучением английского языка №148

История правильных многогранников уходит в глубокую древность. В то же время теория многогранников – современный раздел математики. Она имеет большое значение не только для теоретических исследований по геометрии, но и для практических приложений в других разделах математики, например, в алгебре, теории чисел, в естествознании, в прикладной математике, теории оптимального управления.

В реферате мы изучили геометрические характеристики правильных многогранников и исследовали соотношение между их объемами и объемами вписанных, описанных и полувписанных в эти многогранники шаров.

Пусть F – правильный многогранник, V_F – объем правильного многогранника. Обозначим объем шара, проходящего через все вершины правильного многогранника через V_В, объем шара, касающегося всех его граней, через V_Г и объем шара, касающегося всех его ребер, соответственно через V_Р, и найдем отношение V_В, V_Г и V_Р относительно V_F.

Нетрудно сообразить, например, что V_F < V_В, но V_F > V_Г. Предсказать, что больше V_F или V_Р нам было бы сложно, поэтому мы сейчас постараемся разрешить эту проблему.

Для того, чтобы нам найти V_В, V_Г, V_Р, мы должны знать радиус описанной окружности R_В, вписанной R_Г и полувписанной окружности R_Р.

Представителей каждого из пяти типов правильных многогранников можно получить, отправляясь от куба. Этим мы и воспользуемся. Приняв сторону куба за d, можно вычислить V_F, V_В, V_Г, V_Р. Затем, обозначив объем самого тела V_F за 1, мы найдем V_В, V_Г, V_Р относительно V_F .

Полученные результаты расчетов приведены в таблице

	Тетраэдр (4)	Гексаэдр (6)	Октаэдр (8)	Додекаэдр (12)	Икосаэдр (20)
VГ	0,302	0,524	0,604	0,755	0,828
VF	1	1	1	1	1
VР	1,57	1,48	1,11	1,23	1,02
VВ	8,16	2,72	3,14	1,50	1,65

Из таблицы следует, что с увеличением у правильного многогранника граней объем шара, касающего граней его V_Г и объем шара, касающегося его ребер V_Р, стремятся к объему телаV_F, причем V_Г <V_Р.

Работа над рефератом меня увлекла: я узнала много нового, интересного; расширила свои знания о правильных многогранниках, рассчитала их объемы и объемы вписанной, описанной и полувписанной сфер.