Geum.ru

Задачи на делимость чисел в егэ 17 Разностные уравнения 18

Вид материалаРеферат

Содержание


Способы решения диофантовых уравнений
Метод «спуска», «рассеивания».
Необыкновенная алгебра
В, С, Е ток проходит, а по участкам A, D, F
Подобный материал:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   15
^

Способы решения диофантовых уравнений


И.И. Астрюхина
Руководитель: А.В. Кутенев
учитель математики высшей категории
МОУ Гимназия №176

Диофант – древнегреческий математик из Александрии. О его жизни нет почти никаких сведений. Неизвестно ни даты рождения, ни даты смерти этого человека. Сохранилась лишь часть математического трактата Диофанта "Арифметика" (6 кн. из 13) и отрывки книги о многоугольных (фигурных) числах. Реферат посвящен решению диофантовых уравнений, решения которых отыскиваются в натуральных, целых и рациональных числах. Существуют уравнения, для которых стандартные методы решения не подходят. Именно в таких случаях нам помогут следующие методы решения диофантовых уравнений.

1. ^ Метод «спуска», «рассеивания». Исходное уравнение сводится к цепи уравнений со все уменьшающимися по абсолютной величине коэффициентами.

Пример: ; ; ; ;

; ; ; ;

; ;

2. Метод разложения на множители.

Пример:

Делителями числа 91 являются ±1, ±91, ±7, ±13. Составим системы с положительными делителями:

Решая данные системы, получаем

Аналогично составляем системы с отрицательными делителями, решая которые получаем еще 2 решения

3. Использование четности чисел, входящих в уравнение.

При решении диофантовых уравнений данным способом рассматривается два случая в зависимости от четности переменной x.

Пример: Решить в простых числах уравнение x2–2y2=1.

a) Пусть x=2t+1; (2t + 1)2 – 2y2 = 1; 2y2 = 4t (t + 1); значит y2 делится на 2. Так как y – простое число, то y = 2. Отсюда x2 = 9 => x = 3.

b) Пусть x = 2t, так как x - простое число, то x = 2 и в данном случае уравнение неразрешимо в простых числах.

Ответ: (3;2)

4. Пример невозможности решения уравнения в целых числах.

Уравнение х5 + 3х4у – 5х3у2 – 15х2у3 + 4ху4 + 15у5 = 33 неразрешимо в целых числах.

Доказательство: Разложим левую часть уравнения на множители, получим: (x - 2y)(x - y)(x + y)(x + 2y)(x + 3y).

Если y ≠ 0, то в этом выражении все 5 множителей различны. Но число 33 раскладывается только на 4 различных множителя

Случай y = 0, также не может быть, поскольку тогда исходное уравнение принимает вид: x5 = 33, и – иррациональное число.

Изучение Диофантовых уравнений дает пищу для пытливого ума и побуждает к постижению непознанного. Вместе с тем я прихожу к выводу о том, что математика не только прикладная наука, но это наука, которая находится в динамике, то есть постоянно совершенствуется и развивается в стремлении человечества к новым познаниям устройства мироздания.
^

Необыкновенная алгебра


А. А. Базыльников
Научный руководитель: Г.А. Борисова
учитель математики первой категории
МОУ Лицей № 12

Вы знаете, что в алгебре чисел: «А+А» дает результат «2А», но с точки зрения алгебры логики, выражение «А+А» равно «А». Где же здесь логика?

Это выражение истинно с точки зрения булевой алгебры. Она так названа по имени ученого, который ее изобрел. Его зовут Джорж Буль. Всем известно, что логика широко используется в математике. Буль совершил обратное: он записал логические рассуждения математическими формулами. Он осуществил мечту многих поколений математиков и философов: механизировать не только вычисления, но и рассуждения. Они надеялись, что когда-нибудь при возникновении споров между людьми скажут: «Перейдем к вычислениям» – и таким образом смогут разрешить все возникшие проблемы.

И только в 19 – 20 веке его последователь Кантор создал алгебру множеств, аналогичную алгебре чисел, но не сводящуюся к ней. Алгебра чисел занимается количественными вычислениями, а алгебру множеств интересует не количество, а качество предметов, свойства их объединяющие. Итак, что такое множество? Множество – это любой набор предметов (или понятий), обладающих рядом специфических одинаковых свойств.

Суммой двух множеств А и В, или их объединением называют такое множество, в которое входят все те, и только те элементы, которые входят в множество А или в множество В.

Произведением двух множеств А и В, или пересечением А и В называют такое множество, в которое входят те и только те, элементы которые входят как в множество А так и в множество В.

В алгебре Буля, как и в привычной нам математике, существует такой элемент «нуль», что прибавление его к любому множеству А не меняет этого множества. Это возможно только в том случае, если нулевое множество совсем не содержит элементов, т.е. является «пустым».

«Единичное множество» – это множество, состоящее из всех элементов всех рассматриваемых множеств. Обладающее тем свойством, что произведение его на любое множество А дает нам А.

В алгебре множеств выполняются все известные нам законы:

Коммутативный закон (переместительный) А×В = В×А

Ассоциативный закон (сочетательный закон) (А×В) × С = А × (В×С)

Дистрибутивный закон (распределительный) (А + В) × С = А×С + В×С

Алгебра множеств обладает многими удивительными законами, не имеющими места в обычной алгебре:

1) идемпотентные законы: А + А = А А×А = А

2) второй дистрибутивный закон: А×В + С = (А + С) × (В + С)

Алгебру Буля часто называют алгеброй высказываний. Назовем высказыванием любое утверждение, о котором можно сказать лишь одно из двух – либо оно истинно, либо ложно. Например, высказываниями являются утверждения: «дважды два – четыре», «сейчас идет дождь», «если 2х2=5, то существуют ведьмы» и т.п.

Из нескольких заданных утверждений можно получить более сложные. Это делается с помощью союзов «и», «или», «либо …,либо…», «если…, то…», а также отрицания «не». Чтобы высказывание имело смысл, надо каждому из союзов придать точно определенное значение. Это делают с помощью таблицы двух чисел. Аналогично я составил таблицу для четырёх чисел.

В своей работе я рассмотрел Алгебру максимумов и минимумов. Здесь сумма двух чисел равна большему из них, а произведение меньшему. А так же я изучил Алгебру наименьших и наибольших делителей. И с её помощью доказал первый и второй дистрибутивный закон.

Законы булевой алгебры используют при конструировании электрических цепей и вычислительных устройств. При этом высказываниями являются предложения типа «ток по участку … проходит». Параллельное соединение выключателей будет обозначать сложение, а последовательное соединение – произведение. Для электрических цепей выполняются все законы алгебры множеств.

Разберем, например, пойдет ли ток по цепи, изображенной на рисунке. Для этой цепи по участкам ^ В, С, Е ток проходит, а по участкам A, D, F – нет. Нам надо вычислить значения выражения: , если, А, D, F соответственно 0, а В, С, Е – соответственно 1. Получаем . Таким образом, по цепи ток пойдет, а высказывание, составленное из истинных высказываний В, С, Е и ложных высказываний A, D, F будет истинным.

Теория множеств – является фундаментом математики, как высшей, так и школьной. Сегодня знание законов логики помогает учёным продвигаться вперёд в совершенствовании искусственного интеллекта и создании «электронного мозга». При изучении алгебры Буля я расширил свои знания в области арифметики. Эта тема мне очень понравилась, и я собираюсь продолжить её изучение.

Литература
  1. Басова, Л. А. Лекции и задачи по математике [Текст] / Л. А. Басова, М. А Шубин, Л. А. Эпштейн. – М. : Просвещение, 1981. – 96 с.
  2. Калужнин, Л. А. Элементы теории множеств и математической логики в школьном курсе математики [Текст] / Л. А. Калужнин – М. : Просвещение, 1978. – 88 с.
  3. Яглом, И. М. Необыкновенная алгебра [Текст] / И. М. Яглом ; изд. 2-е, стереотипное. – М.: Едиториал УРСС, 2004. – 72 с.