Задачи на делимость чисел в егэ 17 Разностные уравнения 18

Вид материала

Содержание

Лента Мёбиуса в жизни современного человека
Задачи на делимость чисел в ЕГЭ

Подобный материал:

Пояснительная записка Курс по выбору "Делимость целых чисел", 33.55kb.
Элективный курс. Математика. Уравнения высших степеней, 52.26kb.
Синявская средняя общеобразовательная школа, 63.47kb.
Тема: Уравнение с двумя переменными. Цели урока, 251.03kb.
Учебник Петерсона урок-сказка по теме «делимость натуральных чисел», 23.46kb.
Симетрические разностные схемы метода совместной аппроксимации для решения линейного, 15.06kb.
«Действия над натуральными числами и нулем. Делимость натуральных чисел». Цели урока, 68.88kb.
Учебно-методический комплекс курса по выбору "задачи егэ по информатике" (физико-математический, 704.64kb.
Примерная программа наименование дисциплины Линейная алгебра Рекомендуется для направления, 206.03kb.
Уравнения математической физики направление подготовки, 18.02kb.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 ... 15

Лента Мёбиуса в жизни современного человека

Ю.А. Диметренко и Э.Р. Мустафаева
Руководитель: А.Г. Бормотова
учитель математики высшей категории
МОУ СОШ с углублённым изучением предметов
художественно-эстетического цикла №50

Лента Мёбиуса – бумажная лента, повернутая одним концом на пол-оборота (т.е. на 180°), склеенная с его другим концом. Немецкий математик и астроном Август Фердинанд Мёбиус (17 ноября 1790г. – 26 сентября 1868г.) описал ленту еще в XIX веке, однако, открытия связанные с её свойствами, совершаются до сих пор, и до сих пор лента Мёбиуса волнует умы людей различных творческих профессий, сподвигая их на создание предметов искусства. Всё это говорит об актуальности выбранной нами темы. Разговаривая со своими товарищами из других классов, мы обнаружили, что с лентой Мёбиуса практически никто не знаком, так как в курс математики средней школы изучение её не входит. Нам захотелось рассказать о ней как можно большему числу учащихся.

Мы изучили понятия: односторонняя поверхность и топология. Рассмотрев некоторые топологические объекты, мы убедились в их разнообразии. К топологическим объектам относятся: бутылка и поверхность Клейна, кольца Борромео, невозможные фигуры и тела, а так же фигуры, которые можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги. Проведя опыты с разрезанием ленты Мёбиуса, мы выяснили, что результат зависит от количества полуоборотов и от того, на каком расстоянии производится разрез. Систематизировав и проанализировав собранный материал по применению ленты Мёбиуса, мы убедились, что в жизни современного человека она встречается довольно часто.

Существуют технические применения ленты Мёбиуса. Полоса ленточного конвейера выполнялась в виде ленты Мёбиуса, что позволяло ему работать дольше, потому, что вся поверхность ленты равномерно изнашивалась. Также в системах записи на непрерывную плёнку применялись ленты Мёбиуса (чтобы удвоить время записи). Придуманы кассеты для магнитофона и видеокассеты, где лента перекручивается и склеивается в кольцо, при этом появляется возможность записывать или считывать информацию сразу с двух сторон, что увеличивает ёмкость кассеты и соответственно время работы. В матричных принтерах красящая лента также имела вид ленты Мёбиуса для увеличения срока годности. Ленточная пила, абразивные ремни для заточки инструментов, наконец, «Американские горки» – во всём этом нашла применение лента Мёбиуса. Ричард Дэвис изобрёл устройство, которое он назвал резистор Мёбиуса. Это электронный элемент, обладающий нулевой реактивностью. В 2002 году исследователи из университета г.Хоккайдо (Япония) создали кристаллические структуры, имеющие одну поверхность, наподобие листа Мёбиуса.

Лента Мебиуса часто встречается в научной фантастике. Это рассказ А. Кларка «Стена Темноты», цикл рассказов Владислава Крапивина «В глубине Великого Кристалла», рассказ «Лист Мёбиуса» А. Дж. Дейча, повесть Э.Успенского «Красная рука, черная простыня, зеленые пальцы», рассказ М. Клифтона «На ленте Мебиуса», роман В.Меретукова «Лента Мёбиуса», произведения Х.Кортасара «Лента Мёбиуса» и Г.Салтупы «Лента Мёбиуса» и ещё у многих писателей есть произведения с аналогичным названием. Необычность ленты Мёбиуса вдохновляет и поэтов. В нашем поиске нам встретились не одни стихи, посвященные ленте Мёбиуса. Немало изображений ленты Мёбиуса в живописи и декоративно-прикладном искусстве, начиная от графических работ Мориса Корнелиса Эшера (1898 – 1972 г.г., Голландия), и заканчивая витражами, резьбой по дереву и т.п. Используют ленту Мёбиуса и архитекторы. Есть дачный дом в Австралии, Павильон Свежей воды в США, существует проект библиотеки в Казахстане. Лента Мёбиуса встречается в мини-скульптурах. Среди ювелирных изделий также встречается лента Мёбиуса. Широко применяют форму ленты Мёбиуса дизайнеры. Это и предметы мебели, одежды, обуви, аксессуаров, и всевозможные логотипы (например, всемирный символ переработки), и элементы ландшафтного дизайна. В мире немало памятников ленте Мёбиуса. Памятники есть в Москве, в Нижнем Новгороде, в Риге, в Белоруссии, в Казахстане, в США, в Германии, в Китае. Есть свой памятник ленте Мёбиуса и в Екатеринбурге по улице Свердлова.

Есть гипотеза, что спираль ДНК сама по себе тоже является фрагментом ленты Мебиуса и только поэтому генетический код так сложен для расшифровки и восприятия. Так же существует предположение, что и Вселенная наша имеет форму ленты Мёбиуса. Ещё Эйнштейн предполагал, что космический корабль, летящий всё время вперёд, когда-нибудь вернётся к месту старта, только будет уже своей зеркальной копией.

Таким образом, получается, что в жизни современного человека лента Мёбиуса встречается довольно часто.

Весь собранный материал мы оформили в виде презентации, и познакомили с ней учащихся старших классов нашей школы.

Литература

Болтянский В.Г., Ефремович В.А. Наглядная топология. – М.: Наука, 1985. – 136 с.

Задачи на делимость чисел в ЕГЭ

А. Дергачёв
С.М. Кадимова
учитель первой категории
МОУ гимназия №35

Одним из важнейших понятий арифметики целых неотрицательных чисел является понятие делимости. Мы изучали его в 6 классе, но лишь разъясняли свойства делимости на конкретных примерах. Вопросами делимости целых чисел математики занимаются очень давно и активно. С 2001 года на территории РФ проводится новая форма государственной итоговой аттестации учащихся ЕГЭ.

Недавно я решил посмотреть, что же представляют задания ЕГЭ по математике для 11 классов. В 3-ей части содержатся задачи высокого уровня сложности (С3-С6). Именно в этой части я нашел множество задач, которые поначалу показались мне достаточно сложными. С6 – задачи на делимость. Изучив теоретический материал, я представил его в виде проекта, решив несколько задач по этой теме. Здесь представлены некоторые из них (с решением).

Задача: У натурального числа n ровно 6 натуральных делителей. Сумма этих делителей равна 3500. Найдите n.

Решение: Для решения данной задачи необходимо представить число n как произведение нескольких простых чисел, исходя из количества его делителей. Два из делителей – это 1 и само число n (из свойств целых чисел). Предположим что n равно произведению трёх простых чисел, обозначим их x, y, z. Тогда Д(n)={1, х, y, z, xy, xz, yz, xyz}, но тогда число n имеет 8 натуральных делителей. Допустим теперь, что n равно произведению двух простых чисел, тогда Д(n)={1,x,y,xy}, то есть всего 4 делителя.

Из приведенных рассуждений получаем, что n равно произведению 3 простых чисел, два из которых одинаковые n=x²y и Д(n)={1, x, x², y, xy, x²y}. Получаем 3500=1+x+x²+y+xy+x²y=(у+1)(x²+x+1).

Заметим что у+1 число, на 1 большее простого числа т.е чётное (у+1≠3 т.к 3 не является делителем 3500), а x²+x+1 нечётное (т.к квадрат любого натурального числа, сложенный с самим числом равен чётному числу, а чётное число плюс 1 равно нечётному). Кроме того, числа у+1 и x²+x+1 натуральные, являются делителями числа 3500, при произведении которых мы получаем само число. Рассмотрим делители числа 3500 и разобьем их на пары так, чтобы при произведении делителей в паре получалось 3500. Получим:

Исключим из полученных вариантов все, которые состоят из двух чётных или нечетных чисел.

Затем исключим те варианты, в которых ни одно из чисел не равно сумме простого числа и единицы.

Остаётся всего 3 пары, затем способом подбора (подставления) значений в уравнение 3500=(у+1)(x²+x+1), мы исключаем 2 пары (в 2 из 3 оставшихся уравнениях мы не получаем х – простое число). Остаётся пара 3500=7500. Получаем у+1=500, откуда у=499, а x²+x+1=7; приводим квадратное уравнение получаем x²+x-6=0, тогда Д=25, корни уравнения равны -3; 2. Значит х=2 (т.к х - простое число), откуда n=x²y=2²499=1996

Ответ: n=1996

Задача: Некоторое двухзначное число на 19 больше суммы квадратов его цифр и на 44 больше удвоенного произведения его составляющих цифр. Найдите это число.

Решение: Представим число как