Задачи на делимость чисел в егэ 17 Разностные уравнения 18

Вид материала

Реферат

Содержание Решение различных задач с применением красочной комбинаторики О различных способах решения задачи нахождения суммы внутренних острых углов пятиконечной звезды Как сохранить свой секрет в тайне? Программа V Фестиваля рефератов по математике среди школьников г. Екатеринбурга Секция 2. Геометрия

Подобный материал:

• Пояснительная записка Курс по выбору "Делимость целых чисел", 33.55kb.
• Элективный курс. Математика. Уравнения высших степеней, 52.26kb.
• Синявская средняя общеобразовательная школа, 63.47kb.
• Тема: Уравнение с двумя переменными. Цели урока, 251.03kb.
• Учебник Петерсона урок-сказка по теме «делимость натуральных чисел», 23.46kb.
• Симетрические разностные схемы метода совместной аппроксимации для решения линейного, 15.06kb.
• «Действия над натуральными числами и нулем. Делимость натуральных чисел». Цели урока, 68.88kb.
• Учебно-методический комплекс курса по выбору "задачи егэ по информатике" (физико-математический, 704.64kb.
• Примерная программа наименование дисциплины Линейная алгебра Рекомендуется для направления, 206.03kb.
• Уравнения математической физики направление подготовки, 18.02kb.

^

Решение различных задач с применением красочной комбинаторики

А. П. Щавровский
Руководитель: Н.В. Токмакова
учитель высшей категории
МОУ Лицей №110 им. Л. К. Гришиной

Комбинаторика играет большую роль в современной математике. Так чем же занимается комбинаторика? Комбинаторика занимается различного вида соединениями, которые можно образовать из элементов конечного множества. Термин "комбинаторика" стал употребляться после опубликования Лейбницем в 1665 г. работы "Рассуждение о комбинаторном искусстве", в которой впервые дано научное обоснование теории сочетаний и перестановок.

А вот с красочной комбинаторикой люди знакомятся сами еще в детстве, рисуя зеленое небо, оранжевое море, синюю маму. Но, перешагнув через рубеж красочного детского восприятия мира, математическая фантазия ввела палитру красок в условия задач, занятных, но при этом и серьезных – задач о комбинациях красок и раскрашивании карт. А в некоторых задачах оказалось возможным иное использование красок: раскрашивание – элемент решения, изюминка, придающая рассуждениям изящество и краткость.

Цель работы: изучение возможности решения различных задач с помощью красочной комбинаторики, систематизирование, классификация задач и анализ выводов.

В результате, в работе приведена классификация задач красочной комбинаторики: двухцветная комбинаторика, задачи с паркетом, задачи на заполнение тела, одно из возможных решений задач с фальшивыми монетами, «Четыре куба» – задачи о четырех цветных кубах, составляющие разноцветный параллелепипед, сделан вывод, что сложность задач не в зависит от количества цветов, использованных в задаче. Вот одна из задач, которые я решил с применением красочной комбинаторики.

Шесть точек расположены в пространстве так, что никакие три не лежат на одной прямой и никакие четыре не принадлжат одной плоскости. Все точки попарно соединены отрезками: синими или красными – по вашему усмотрению. В получившейся конфигурации, содержащей 15 отрезков (С²₆ = 15), есть и треугольники. Можно ли подобрать такое распределение красок для отрезков, при котором не образовалось бы ни одного одноцветного треугольника?

Решение. Выберем произвольно одну из данных шести точек и обозначим ее буквой А. Из пяти отрезков, сходящихся в А, есть не менее трех одного цвета, так как мы располагаем только двумя красками; отметим три из этих отрезков и будем считать для определенности, что они красные. Рассмотрим три отрезка, соединяющие пары других концов отмеченных отрезков. Ни один из рассматриваемых трех отрезков не должен оказаться красным, чтобы не возник треугольник, все стороны которого одного цвета. Но тогда три последних отрезка – все синие и неизбежно образуют одноцветный треугольник.
^

О различных способах решения задачи нахождения суммы внутренних острых углов пятиконечной звезды

М.П. Юдина
Руководитель: А.В. Кутенев,
учитель математики высшей категории
МОУ Гимназия № 176

Многие из геометрических задач можно решить разными способами и методами. В нашем реферате мы исследовали хорошо всем известную пятиконечную звездочку (рис.1) и поставили себе задачу – найти сумму ее острых внутренних углов (то есть углов 1, 2, 3, 4, 5) несколькими способами.

Мы решили поставленную задачу 20 разными способами, которые были основаны на следующих геометрических фактах:

• свойстве угла (если из вершины угла в его внутреннюю область провести луч, то градусная мера всего угла будет равна сумме градусных мер, получившихся углов), на свойствах вертикальных углов (вертикальные углы
  равны);
  
• свойствах параллельных прямых (при пересечении двух параллельных прямых секущей: накрест лежащие углы равны, соответственные углы равны, сумма односторонних углов равна 180°) и использовании формулы суммы внутренних углов треугольника (сумма внутренних углов треугольника
  равна 180°);
  
• свойстве внешнего угла треугольника (градусная мера внешнего угла равна сумме градусных мер углов не смежных с ним) и использовании формулы суммы внутренних углов треугольника;
  
• свойствах вертикальных углов (вертикальные углы равны) и использовании формулы суммы внутренних углов треугольника;
  
• формуле суммы углов выпуклого многоугольника (180⁰(n–2), где n – количество внутренних углов)
  

• свойствах вписанного угла (вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается) и ключевых задачах (угол между двумя секущими, проведенными через точку, лежащую вне окружности, измеряется полуразностью дуг, заключенных внутри угла; угол между двумя хордами, пересекающимися внутри окружности, измеряется полусуммой дуг, отсекаемых сторонами угла).
  

Анализируя найденные способы решения задачи о сумме острых углов пятиконечной звездочки, я сделала для себя следующие выводы: во-первых, если знаешь, что задача имеет несколько решений, то смелее берешься за неё, во-вторых, решая задачи разными способами, приобретаешь опыт, развиваешь математическое чутьё, в-третьих, поиск новых вариантов решений позволяет систематизировать свои знания по геометрии.
^

Как сохранить свой секрет в тайне?

М. Якимов Михаил
Руководитель: Л.Н. Котельникова
учитель математики высшей категории
МОУ лицей №135

Как только люди научились писать, у них сразу же появилось желание сделать написанное понятным не всем, а только узкому кругу. Даже в самых древних памятниках письменности ученые находят признаки намеренного искажения текстов: изменение знаков, нарушение порядка записи и т.д.

Изменение текста с целью сделать его понятным только избранным дало начало науке криптографии. Процесс преобразования текста, написанного общедоступным языком, в текст, понятным только адресату, называют шифрованием, а сам способ такого преобразования называют шифром.

Один из первых изобретателей шифров – греческий полководец Эней Тактика. Он создал простое, но очень удобное устройство – «диск Энея». В древней Спарте было изобретено специальное устройство для шифрования текстов – Сцитала. Другой известный с античности шифр называется по имени древнеримского императора шифром Цезаря.

Понятно, что самый главный секрет кода – это его ключ. Даже если тип кода известен, но ключа к нему нет, то для того, чтобы прочитать текст, надо изрядно потрудиться. Интересен шифр «Самосовмещение квадрата». Мы самостоятельно составили свою решетку и квадрат, основываясь на данном шифре.

Делим квадрат на 4 части. В первый полученный квадрат вписываем цифры от 1 до 16 (это зависит от длины слова или предложения). Затем поворачиваем его на 90, 180 и 270 градусов от начального положения. Таблица заполняется числами. Теперь вырезаем (в данном случае выделяем) прорези от 1 до 16 из разных квадратов. Получается решетка. Используя данную решетку можно зашифровать и прочитать зашифрованную информацию.

А что делать, если решетку кто-нибудь найдет? Тогда он сможет прочитать тайное сообщение. Как защитить сообщение?

Есть несколько путей решения вопроса. Например, запомнить таблицу, в которой отмечены числа в каждой строке. Но это очень трудно. Есть другой способ. Записать строки в двоичной системе, где окошко означает единицу (1). Например, 1 0 0 1 0 0 1 0.

Но числа в двоичной системе запомнить еще сложнее, а вот перевести их в десятеричную систему – очень просто. 10010010₂=146₁₀. И теперь что бы запомнить данную решетку надо знать числа: 146; 37; 0 84; 37; 0; 170; 0. Чтобы вернуть свою решетку, надо перевести числа в двоичную систему.

Когда составляли решетку, то делили большой квадрат на малые квадраты размером 4х4 клеточки. И способов выделения очень много! Например, на большом квадрате есть четыре единицы (1). Выделить их можно четырьмя разными способами. Если мы будем выделять единицу (1) и двойку (2) одновременно, то получится уже 16 разных вариантов и т.д. В данном случае 16 чисел, получится 4¹⁶ вариантов выделения. Процесс рассмотрения всех вариантов может занять очень много времени, что значительно усложняет дешифровку. Кроме этого текст можно зашифровать таким образом, что решетку можно не только поворачивать на 90⁰, но и отражать симметрично.

Многие древние шифры используются и сейчас, они очень удобны и универсальны.

^ Программа V Фестиваля рефератов по математике среди школьников г. Екатеринбурга


Секция 1. Геометрия

	ФИО	Тема реферата	Класс	Школа	Район	ФИО руководителя
	Антонов Семен Андреевич	Софизмы	7	Гимназия №35	Кировский	Штиппель Лидия Николаевна
	Вьюхина Мария Викторовна	Симметрия в окружающем нас мире	8	гимназия 70	Ленинский	Дайбова Галина Александровна
	Галимзянова Лилия	Правильные многогранники	11	СОШ 148	Железнодорожный	Немировская И.А.
	Лыхина Анна Александровна	Удивительный мир симметрии	9	Лицей №12	Верх-Исетский	Борисова Галина Афанасьевна
	Ляуков Дмитрий Александрович	Линейные построения Грассмана	9	Лицей 110	Октябрьский	Токмакова Наталья Васильевна
	Матушкина Татьяна Олеговна	Вневписанные окружности	9	СОШ №134	Кировский	Ивлева Лариса Юрьевна
	Оствальд Артур Алексеевич	Инверсия и её применение в геометрии циркуля	9	Гимназия 45	Кировский	Панафидина Нина Ивановна	1 место
	Перескокова Антонина Сергеевна	Различные приемы доказательства теоремы Пифагора и ее применение в практической жизни	8	СОШ №148	Железнодорожный	Цисельская Наталья Дацетовна
	Рукавишникова Марина Сергеевна	Математика узоров	9	СОШ №29	Верх-Исетский	Середа Марина Николаевна
	Рязанова Яна Игоревна	Загадка концентрических окружностей	7	Гимназия №35	Кировский	Штиппель Лидия Николаевна
	Скобелина Екатерина Константиновна	Симметрия вокруг нас.	8	Гимназия №35	Кировский	Пискарева Татьяна Григорьевна
	Сосенская Екатерина Александровна	Оригами и три великие задачи древности	9	Гимназия 13	Октябрьский	Говорова Ирина Дмитриевна	2 место
	Трепалин Тимофей Сергеевич	О правильных многоугольниках, функции Эйлера и числах Ферма	9	Лицей 110	Октябрьский	Токмакова Наталья Васильевна	3 место
	Юдина Мария Павловна	Сумма внутренних углов пятиконечной звездочки	8	176	Кировский	Кутенев Александр Васильевич

^ Секция 2. Геометрия

	ФИО	Тема реферата	Класс	Школа	Район	ФИО руководителя
	Басмаджян Евгения Оганесовна	Теория графов	9	Лицей №12	Верх-Исетский	Борисова Галина Афанасьевна	3 место
	Бородина Ольга Игоревна	Графы и их применение в решении задач	6	Гимназия №35	Кировский	Нусратулина Альфия Ратиковна
	Бродягин Дмитрий Вячеславович	Иллюзии Морица Эшера	9	СОШ № 125	г. Снежинск	Ремезова Мария Евгеньевна
	Воронин Михаил Александрович	Фрактал как понятие неклассической геометрии	8	Гимназия №35	Кировский	Кадимова Сария Максутовна
	Горбунова Екатерина Александровна	Гармоническая пропорция	9	Гимназия №13	Октябрьский	Говорова Ирина Дмитриевна	1 место
	Гордо Михаил Ильич	Фракталы и фрактальные деревья	5	СОШ №208	Железнодорожный	Курмачева Людмила Ивановна	3 место
	Диметренко Юлия, Мустафаева Эльнура	Лента Мёбиуса в жизни современного человека	8	СОШ №50	Железнодорожный	Бормотова А.Г.	2 место
	Коптелов Артем Андреевич	Шар	5	Лицей № 135	Чкаловский	Дербышева Мария Ивановна
	Кутлуева Лиана Валерьевна	«Золотое сечение» в архитектуре	9	СОШ №167	Орджоникидзевский	Шайдунова Надежда Аверьяновна
	Непокрытый Богдан Дмитриевич	Золотое сечение	7	Гимназия №35	Кировский	Штиппель Лидия Николаевна	1 место
	Репкина Елена, Самохвалова Ярослава, Дьячкова Валерия	Тайны золотого сечения	8	Лицей №173	Ленинский	Клюкина Ирина Викторовна	2 место
	Сычева Анастасия, Кашин Валентин	Многоугольники, многогранники и круглые тела среди нас	5	87	Чкаловский	Шамина Татьяна Александровна