[Текст]: научно-аналитический журнал (издаётся с 2007 г.)

Вид материала

Содержание

Д. И. Иванов, О. В. Иванова, А. В. Мосейчук
A. Следовательно {XD
G. Для этого будем пользоваться следующим утверждением: Лемма. Если H

Подобный материал:

1 ... 26 27 28 29 30 31 32 33 34

Д. И. Иванов, О. В. Иванова, А. В. Мосейчук

СТРУКТУРА ПОДГРУПП ГРУППЫ

Аннотация: статья посвящена группе , которая состоит из всех невырожденных матриц порядка 2 с элементами из поля , где сложение и умножение ведется по модулю 3. Вначале исследуется подгруппа группы G, состоящая из всех матриц из G, определитель которых равен 1, в дальнейшем рассмотрен общий случай, где с помощью обозначается циклическая подгруппа, порожденная матрицей A, – порожденная матрицами А и В, Е =.

Annotation: Article is devoted to the group , which consists of all nonsingular matrices of order 2 with elements from the field , where addition and multiplication are modulo 3. First, we study the subgroup of G, consisting of all matrices of G, the determinant of which is equal to 1, further considered the general case, where with the help denoted cyclic subgroup generated by a matrix A, – generated by the matrices A and B, E=.

Ключевые слова: группа, подгруппа, матрица.

Key words: group, subgroup, matrix.

Группа состоит из всех невырожденных матриц порядка 2 с элементами из поля , где сложение и умножение ведется по модулю 3. Вначале исследуем подгруппу группы G, состоящей из всех матриц из G, определитель которых равен 1. Через обозначаем циклическую подгруппу, порожденную матрицей A, – порожденную матрицами А и В, Е =.

Подгруппа S имеет одну подгруппу порядка 2:

А= ;

4 подгруппы порядка 3:

В₁=,

В₂=

В₃=

В₄=

3 подгруппы порядка 4:

С₁=,

С₂=

С₃=

и 4 подгруппы порядка 6:

D₁=,

D₂=,

D₃=,

D₄=.

Все эти подгруппы циклические. Но имеется еще одна подгруппа S порядка 8:

F=

Заметим, что являются подгруппами , 1 ≤ i ≤ 4, а подгруппами F будут C₁, C₂ и С₃.

Утверждение. D₁ является максимальной подгруппой S.

Доказательство. Пусть XD₁. Тогда ХА, т.е. Х не коммутирует ни с одним элементом из \ A. Следовательно {XD₁}{D₁X}{D₁} уже состоит из 16 элементов. Но по теореме Лагранжа [1] порядок собственных подгрупп S не выше 12, т.к. порядок S равен 24. 

Аналогично показывается, что D₂, D₃, D₄ и F так же максимальные подгруппы S, и совпадёт с S, как только X и Y будут принадлежать различным максимальным подгруппам.

Структура подгрупп S по включению изображена на следующей диаграмме

S

E

D_2D

С3

С1

С2

D

D3

D2

D4

F

П

B1

B4

B2

B3

A

E
ерейдем теперь к описанию структуры всех подгрупп группы G. Для этого будем пользоваться следующим утверждением:

Лемма. Если H= подгруппа G, причем определители X_i(Y_j) равны 1 (соответственно 2), то т=п.

Доказательство. Y₁Y₁, Y₁Y₂,…, Y₁Y_m, – различные матрицы из SH, т.е. т≤п. С другой стороны, Y₁Х₁, Y₁Х₂,…, Y₁Х_п, – различные матрицы с определителями 2, т.е. п≤т. Отсюда т=п. Очевидно также, что Р={X₁,…,X_n} – подгруппа SA

Легко проверить, что следующие 12 матриц порядка 2:

А₁= А₂= А₃= А₄= А₅= А₆= А₇= А₈= А₉= А₁₀= А₁₁⁼ А₁₂=

Они являются подгруппами следующих соответствующих подгрупп порядка 4:

A_1,2===,

A_3,4===,

A_5,6===,

A_7,8===,

A_9,10===,

A_11,12===.

Кроме циклических подгрупп А_i, 1 ≤ i ≤ 12 имеются еще 3 порядка 8

==
=.

Видно, что = и С₁ = её подгруппа.

==
=.

Видно, что =и С₂ = её подгруппа.

==
=.

Видно, что и С₃ = её подгруппа.

В₁₁=

B₁₂=

Подгруппами B₁₁ и В₁₂ будут В₁ и А₂, А₄, А₈.

B₂₁=

B₂₂=

Подгруппами B₂₁ и В₂₂ будут В₂ и А₃, А₉, А₁₂.

B₃₁=

B₃₂=

Подгруппами B₃₁ и В₃₂ будут В₃ и А₆, А₇, А₁₁.

B₄₁=

B₄₂=

Подгруппами B₄₁ и В₄₂ будут В₄ и А₁, А₅, А₁₀.

Подгруппы порядка 8:

А₅========;

А₆======== ;

А₇======== .

Подгруппы порядка 12:

Т₁=== ======

=====, ;

Т₂ = == ====

=====

;

Т₃ === ====

=====

Т₄=============