Рабочая учебная программа по дисциплине 4 Задания на контрольные работы

Вид материала

Рабочая учебная программа

Содержание

1. Дифференциальные уравнения 1-го порядка
2. Дифференциальные уравнения высших порядков

Подобный материал:

Рабочая программа, методические указания по выполнению курсовой работы и контрольные, 1000.11kb.
Программа и контрольные задания по учебной дисциплине, 858.36kb.
Программа и контрольные задания по учебной дисциплине «эконометрика» для студентов, 555.04kb.
Рабочая программа методические указания контрольные задания для студентов специальности, 833.92kb.
Программа и контрольные задания по учебной дисциплине «трудовое право» для студентов, 805.51kb.
Программа и контрольные задания по учебной дисциплине «отечественная культура» для, 729.22kb.
Рабочая программа По дисциплине «Стратегическое управление организацией» Для курса, 197.74kb.
Программа и контрольные задания по учебной дисциплине «отечественная история» для студентов, 583.38kb.
Программа, контрольные задания и тематика курсовых работ по учебной дисциплине основы, 557.3kb.
Программа, методические указания и контрольные задания по дисциплине концепции современного, 717.75kb.

1 ... 8 9 10 11 12 13 14 15 ... 36

1. Дифференциальные уравнения 1-го порядка

Обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида

, или, в разрешенном относительно функции

виде:

, (1)

связывающее между собой независимую переменную, функцию этой переменной и производную этой функции.

Решением уравнения (1.1) является любая функция

, которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество для всех допустимых значений переменной.

Общим решением уравнения (1) называется функция

,такая, что

при функция является решением уравнения (1);
для каждой пары значений найдется такое значение , что .

Частным решением уравнения (1) называется любое решение, получаемое из его общего решения при определенном значении произвольной постоянной

.

Задача нахождения частного решения уравнения (1), удовлетворяющего начальному условию

(2)

называется задачей Коши для уравнения первого порядка.

Методы решения дифференциальных уравнений первого порядка

1. Уравнения с разделяющимися переменными

Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида:

(3)

Для решения уравнений такого вида необходимо разделить переменные и, приняв во внимание, что

, привести уравнение к виду:

, (4)

откуда, интегрирую обе части, получим выражение

, (5)

которое называется общим интегралом уравнения (1.3)

Если существуют первообразные

функций

, то общее решение уравнения (3) имеет вид:

(6)

Пример 1. Найти общее решение уравнения

.

Решение. Разделим переменные:

Потенцируя обе части уравнения, получим:

.

Используя основное логарифмическое тождество, свойства степени и замену

, получим:

.

Теперь положим, что

и общий интеграл дифференциального уравнения имеет вид:

, А его общее решение:

.

К уравнению с разделяющимися переменными можно привести и уравнение вида

, (7)

где a, b, c – постоянные. Для этого вводится новая функция:

.

Поскольку

то для

получаем уравнение с разделяющимися переменными:

Пример 2. Найти частное решение уравнения

,

удовлетворяющее условию:

.

Решение. Пусть

Решим уравнение относительно

,

Делаем замену:

,тогда уравнение принимает вид:

.

Интегрируя левую часть, получим:

Возвращаясь к исходным переменным, получим общий интеграл уравнения:

При начальных условиях:

получаем:

, откуда

и частное решение уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям, имеет вид:

2. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

Уравнение вида

(8)

называется однородным дифференциальным уравнением. Его решение может быть сведено к решению уравнения с разделяющимися переменными. Для этого введем замену:

. (9)

Тогда:

и уравнение для относительно

принимает вид:

Или, разделив переменные:

. (10)

Пример 3. Найти общий интеграл уравнения

.

Решение. Разделим обе части равенства на

.

Сделаем замену:

, тогда уравнение принимает вид:

Интегрируя обе части, получим:

,

и общий интеграл уравнения имеет вид:

.■

3. Уравнения в полных дифференциалах

Если в дифференциальном уравнении

(11)

функции

удовлетворяют условию

то такое уравнение называется уравнением в полных дифференциалах.

Т,е. существует функция

такая, что

(12)

Подставляя соотношение (12) в уравнение (11), получим:

,

Откуда следует, что

.

Получили общий интеграл уравнения (11). Тогда функция

имеет вид:

(13)

Где

– произвольные значения, входящие в область определения функций

- произвольная постоянная.

Пример 4. Решить задачу Коши для уравнения

,

при начальных условиях:

.

Решение. Проверим, является ли данное уравнение уравнением в полных дифференциалах. Для этого вычислим

.

Следовательно, данное уравнение является уравнением в полных дифференциалах и для его решения необходимо найти функцию

. Пусть

, тогда

Так как

, получим:

.

Константу

найдем из начального условия

.

Тогда решение задачи Коши имеет вид:

.■

4. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Уравнение вида

(14)

называется линейным неоднородным уравнением первого порядка.

Если

, то уравнение принимает вид:

(15)

и называется линейным неоднородным уравнением первого порядка.

Одним из методов решения линейных неоднородных уравнений первого порядка является метод вариации произвольной постоянной.

Он заключается в том, что решение неоднородного уравнения(14) можно получить из общего решения соответствующего однородного уравнения (15), заменяя произвольную постоянную

функцией

.

Однородное уравнение решается методом разделения переменных:

.

Интегрируя обе части уравнения, получим:

.

Потенцируя обе части уравнения и заменяя

, получим:

. (16)

Будем считать, что

, тогда

. (17)

Дифференцируя, получим:

. (18)

Подставим (17) и (18) в исходное уравнение (14):

,

откуда

.

Дифференцируя обе части уравнения, найдем

,

где

– константа.

Тогда общее решение линейного неоднородного уравнения имеет вид:

. (19)

Пример 5. Найти общее решение уравнения

Решение. Решим сначала соответствующее однородное уравнение:

.

Решение неоднородного уравнения будем искать в виде:

у = С (х)∙е^-2^х.

Тогда

.

Подставим

и в исходное уравнение:

,

где

– константа .

Тогда общее решение неоднородного уравнения имеет вид:

■

2. Дифференциальные уравнения высших порядков

Дифференциальное уравнение вида

(1)

связывающее независимую переменную, функцию этой переменной и производные этой функции вплоть до

ного порядка называется обыкновенным дифференциальным уравнением ного порядка.

Частным случаем таких уравнений являются обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка, т.е. уравнения вида:

или

. (2)

Задача Коши для уравнения вида (2) заключается в нахождении решения

(3)

дифференциального уравнения, удовлетворяющего начальным условиям

. (4)

Рассмотрим решение некоторых типов обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка.

1.Уравнения, допускающие понижение порядка

Если в дифференциальное уравнение не входит явным образом искомая функция у, то уравнение имеет вид:

. (5)

Порядок такого уравнения можно понизить на единицу, сделав замену:

, тогда

.

Пример 1. Найти общее решение уравнения

Решение. Пусть

Тогда

.

Решим уравнение, разделяя переменные:

.

Так как

, то

.■

Если дифференциальное уравнение не содержит явно независимую переменную

(6)

то можно понизить его порядок на единицу, считая, что

Тогда

,

т.е. вторая производная у выражается через первую производную р.

Пример 2. Решить задачу Коши для уравнения

, если у(1)=2, у’(1)=2.

Решение. Замена

приводит к уравнению

откуда:

а) р = 0, у’ = 0, у = С, но у’ (1)=2 ≠ 0, значит, в этом случае решения нет;

б)

Тогда

Следовательно, решение задачи Коши имеет вид:

■

2. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами

Дифференциальное уравнение вида :

(7)

где

, называется линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами.

Общее решение уравнения вида (7) имеет вид:

, (8)

где

, а

- пара фундаментальных решений уравнения (7).

Фундаментальные решения имеют вид

, где

корень характеристического уравнения

.

В зависимости от вида корней характеристического уравнения возможны три случая общего решения уравнений вида (7):

1. если

, т.е. дискриминант характеристического уравнения

, то общее решение уравнения (7.) имеет вид:

; (8)

2. если

, т.е. дискриминант характеристического уравнения

, то общее решение уравнения (7) имеет вид:

; (9)

3. если

, т.е. дискриминант характеристического уравнения

, то общее решение уравнения (7) имеет вид:

(10)

Пример 3. Найти общее решение уравнения

.

Решение. Составим и решим характеристическое уравнение:

общее решение уравнения имеет вид (8):

.■

Пример 4 Найти общее решение уравнения

Решение.

Составляем характеристическое уравнение :

,

И общее решение уравнения записывается в виде (10):

■.

3. Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида

Дифференциальное уравнение вида

, (11)

где

, называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами.

Общее решение неоднородного линейного уравнения имеет вид

, (12)

где

общее решение соответствующего однородного уравнения, а

частное решение неоднородного уравнения.

В случаях, когда правая часть уравнения (11) имеет специальный вид:

, (13)

где

многочлены от

степени

, частное решение неоднородного уравнения имеет вид:

(14)

где

многочлены от

степени

с неопределенными коэффициентами.

Множитель

в том случае, когда

являются корнями кратности

характеристического уравнения

Таким образом, для нахождения общего решения неоднородного уравнения необходимо сначала решить соответствующее однородное уравнение, затем пользуясь методом неопределенных коэффициентов найти частное решение неоднородного уравнения и записать его общее решении в виде (12).

Пример 5 Найти решение уравнения