1. Пространство и время: понятия, свойства, процедуры количественного описания Понятия пространства и времени
| Вид материала | Документы |
- А. Закон инерции, 40.83kb.
- Постмодернизм план лекции: Трудность определения понятия «постмодернизм», 404.9kb.
- Воробьева Валентина Константиновна курс лекций, 273.12kb.
- Тема «Материя и движение, пространство и время» имеет важное значение для формирования, 258.39kb.
- Тема 1 основы системной концепции: понятия, сущность, атрибуты программная аннотация, 245.29kb.
- Отребляемые в настоящее время понятия образовательного нормотворчества и образовательных, 374.72kb.
- Анатолия Васильевича Мартынова, известного широкому кругу людей по книга, 5061.34kb.
- Обеспечение производства ЭВМ базовые понятия (сапр/астпп/саит), 710.17kb.
- Факультет электронной техники, пэ-04 курсоваяработ, 220.87kb.
- Линейное пространство, 700.44kb.
| | |||||
 Рис. 6.3. Положения центра масс системы, состоящей из трех частиц | Понятие центра масс. В ряде случаев для упрощения решения задачи описания движения в системах, состоящих из большого количества частиц, полезно использовать понятие центра масс. Как мы увидим в дальнейшем понятие центра масс позволяет так же охарактеризовать движение системы как целого. Центром масс системы называется точка, радиус-вектор которой rc задается уравнением: rc = Σ(mi·ri)/Σmi = Σ(mi·ri)/M, (6.9) где mi и ri - масса и радиус-вектор i-й частицы системы; M - масса системы. Другими словами, центр масс представляет собой среднее взвешенное значение радиус-векторов отдельных частиц с весовыми множителями, равными отношению соответствующих масс частиц к массе системы. | | |||
| | Скорость центра масс. Скорость центра масс Vc можно найти как производную от радиус-вектора центра масс по времени, т.е. путем дифференцирования выражения (6.9) по времени. Следовательно,  . (6.10) Числитель выражения (6.10) представляет собой импульс системы. Он равен произведению массы системы на скорость центра масс:  . (6.11) Закон движения центра масс. Воспользовавшись законом изменения импульса (6.7) и выражением (6.11), получим закон движения центра масс: dP/dt = M∙dVc/dt = ΣFi. (6.12) Центр масс системы движется так же, как двигалась бы частица с массой, равной массе системы, под действием силы, равной векторной сумме всех внешних сил, действующих на входящие в систему частицы. В частности, центр масс замкнутой системы относительно произвольной ИСО движется равномерно прямолинейно или покоится. Изменение импульса центра масс происходит за счет внешних сил. Внутренние силы не влияют на характер его движения, если внешнее воздействие на систему постоянно и однородно. Например, во время салюта движение центра масс разорвавшегося пиротехнического снаряда в постоянном однородном поле силы тяжести происходит по параболе. | | |||
 Салют | Если внешнее воздействие изменяется, то на различные части системы начинают действовать разные силы и характер движения центра масс меняется. В качестве примера рассмотрим движение системы, состоящей из одного тела - снаряда. В случае падения одной из частей разорвавшегося в воздухе снаряда на землю в системе появится новая внешняя сила - сила реакции опоры. Характер движения центра масс системы (осколков снаряда) при этом изменится. Наличие внутренних сил в этом примере является необходимым условием изменения характера движения центра масс системы. Без этих сил, обусловивших распад снаряда на части, не произошло бы изменения траектории его движения вплоть до падения снаряда на землю.  | | |||
| | Понятие Ц- системы. Выбором СО можно существенно упростить описание движения. Введем понятие СО, связанной с центром масс, или Ц-системы. Ее скорость относительно лабораторной СО Vс отлична от нуля, а суммарный импульс N частиц, свободных до и после взаимодействия, в Ц-системе P~ равен нулю. Действительно, исходя из определения импульса системы и выражения для скорости центра масс (6.10), получим, что импульс системы частиц, рассчитанный относительно Ц-системы, равен нулю:  . (6.13) | | |||
§ 3. Движение тел с переменной массойОписание движения тел с переменной массой. Уравнение Мещерского. | | ||||
 Константин Эдуардович Циолковский (18571935). Русский ученый и изобретатель в области аэродинамики, основоположник космонавтики | Движение тел с переменной массой. Характерным проявлением выполнения закона сохранения импульса является движение тел с переменной массой и реактивное движение. Применив закон сохранения импульса для описания движения тел с переменной массой, К. Э. Циолковский сделал теоретические расчеты, послужившие основой для реализации запусков космических аппаратов. Он получил уравнение движения ракеты, происходящего за счет выброса из нее продуктов сгорания топлива. Пусть в результате этого процесса за время dt скорость ракеты изменится на величину dυ, а ее масса m уменьшится на dm. Тогда изменение импульса системы "ракета, топливо" можно рассчитать с помощью соотношения (6.14): dp = ((m - dm)·(υ + dυ) + dm·u) - m·υ, (6.14) где u - скорость выброса топлива относительно Земли; υ - скорость движения ракеты относительно Земли. Согласно закону преобразования скоростей, запишем следующее векторное равенство: u = υт + υ, (6.15) где υт - скорость выброса топлива относительно ракеты. Из уравнений (6.14), (6.15) получим формулу для расчета изменения импульса системы за время dt. dp = m·dυ + υт·dm. (6.16) Согласно второму закону Ньютона скорость изменения импульса равна равнодействующей внешних сил F, действующих на систему. Тогда: F = m·dυ/dt + υт·dm/dt. (6.17) | | |||
 Рис. 6.4. Иллюстрация реактивного движения [11]  Полет реактивного самолета. .karelia.ru | Преобразовав уравнение (6.17), получим выражение, которое описывает движение тела с переменной массой относительно Земли и называется уравнением Мещерского:  . (6.18)Первое слагаемое в правой части выражения (6.18) есть реактивная сила, которая способна в дополнение к внешним воздействиям заставить ракету двигаться с ускорением относительно Земли. Величина реактивной силы зависит от скорости выброса продуктов сгорания топлива относительно ракеты uт и от скорости изменения массы ракеты (в нашем случае - от скорости изменения массы топлива). Если продукты сгорания выбрасываются по направлению скорости ракеты, то она в отсутствие внешних сил движется равнозамедленно, и, наоборот, если их выброс происходит в противоположном направлении, то ракета движется равноускоренно. Пример движения человека на тележке под действием реактивной силы приведен на рис. 6.4. Тележка движется в направлении, противоположном выходу газовой струи из баллона. Рассмотрим уравнение (6.18) в отсутствие внешнего воздействия и примем, что скорость выброса продуктов сгорания топлива относительно ракеты постоянна. Проецируя векторное равенство на направление движения ракеты, получим, что m·dυ = -υт·dm. (6.19) | | |||
| | Проведя разделение переменных, преобразуем уравнение (6.19) к виду: dυ= -υт·dm/m. (6.20) Проведя интегрирование (6.20) по скорости от 0 до υ и массе от m0 до m, получим формулу Циолковского (6.21), позволяющую рассчитать скорость ракеты в зависимости от соотношения масс ракеты с топливом в начальный m0 и текущий m моменты времени и скорости истечения продуктов сгорания топлива относительно ракеты: υ = υт·ln (m0/m). (6.21) Формулу (6.21) можно привести к виду, позволяющему определить, каково должно быть отношение массы ракеты с топливом к массе корпуса ракеты mк для достижения ракетой заданной скорости υ, например, первой космической.  . (6.22) | | |||
