Линейное пространство

Вид материала

Документы

Содержание V и на конкретное воплощение операций сложения и умножения на числа.Замечание. F(X), состоящее из всех функций, непрерывных на множестве X. Оно обозначается C Простейшие следствия из аксиом. V на себя является изоморфизмом (V V, а также отображение A Vлин и координатный изоморфизм Φ: V Rлин Итак, для всякого n-мерного вещественного линеала V аффинные пространства Vафф и R A, значит, есть и ассоциированный линеал V A и базиса e1,…,en  V A и вектором 0  a  V AB  V, строящийся по паре точек A,B  l(M0, a) таков, что AB Уравнения прямой Уравнение пучка прямых Замена базиса и системы координат V на себя реализуется как переход от одного базиса к другому, т.е. если в V V ai(0) = ai , ai(1) = bi (i = 1…n). Замечание. V распадаются на непересекающиеся классы деформируемых друг в друга базисов. Эти классы называются ориентациями линеала V Элементы теории поливекторов V называются m-векторами (конечно, m  n = dim V V= 3). В случае трёхмерного линеала V ... Полное содержание

Подобный материал:

• Некорректные задачи геофизики. План лекций. Лекция I. Функциональные пространства., 64.34kb.
• Тема пространство и метрология сигналов физическая величина более точно определяется, 595.48kb.
• Введение в линейное программирование линейное программирование (ЛП), 139.72kb.
• Морозова Алена Витальевна. Требования к студентам : курс предполагает наличие знаний, 262.09kb.
• Линейное программирование, 346.17kb.
• Программа дисциплины Линейное программирование Семестр, 17.93kb.
• Программа вступительного экзамена по специальности в магистратуру физического факультета, 209.43kb.
• Деловая программа Девиз «Пространство культуры пространство доверия» Павильон, 75.38kb.
• Реферат по дисциплине: Философия на тему: Время и пространство в философии, 382.06kb.
• Пространство и материя, 398.24kb.

Линейное пространство


В математике (речь идёт не только о геометрии) многие объекты обладают естественной структурой линейного пространства. Уже знакомый пример – интуитивно-геометрические векторы (направленные отрезки), которые можно складывать и умножать на числа. Наличие этих двух операций (с выполнением определённого набора свойств) и составляет суть понятия “линейное пространство”. Дадим сейчас общее достаточно абстрактное определение.

Определение. Множество V называется линейным пространством (линеалом), а его элементы – векторами (обозначаться они будут a, b, …), если в нём определены операции сложения элементов и умножения на вещественные числа (т.е. любым двум векторам a и b по определённому правилу ставится в соответствие некоторый новый вектор, обозначаемый a + b и называемый суммой векторов a и b; также любому вектору a и любому вещественному числу k ставится в соответствие некоторый новый вектор, обозначаемый ka и называемый произведением вектора a на число k) и при этом выполнены следующие свойства (аксиомы линейного пространства):

1. (a + b) + c = a + (b + c);
   
2. a + b = b + a;
   
3.  0  V : 0 + a = a  a  V;
   
4.  a  V  (-a)  V : a + (-a) = 0;
   
5. (k + l)a = ka + la;
   
6. (kl)a = k(la);
   
7. k(a + b) = ka + kb;
   
8. 1a = a.
   

Равенства выполняются  a, b, c  V,  k, l  R. Вектор 0  V называется нулевым, а вектор –a называется противоположным вектору а. Вектор b + (-a), называемый разностью векторов b и a, принято обозначать b –a.


Данное определение не накладывает никаких ограничений на природу элементов множества ^ V и на конкретное воплощение операций сложения и умножения на числа.


Замечание. Если вместо поля R в определении участвует поле C, то линейное пространство называется комплексным.


Примеры.

1) Множество, состоящее из одного элемента – нулевого вектора 0.

2) Интуитивно-геометрические векторы, т.е. направленные отрезки (равные по длине направленные отрезки, лежащие на параллельных прямых и направленные в одну сторону, отождествляются). Известны правила, по которым направленные отрезки складываются и умножаются на числа. Проверка аксиом не представляет труда. Понятно, что рассматривая отрезки на прямой, на плоскости или в пространстве, мы получаем три разных линейных пространства.

3) Пусть X – произвольное множество, F(X) = {f : X → R} – множество всех вещественных функций, определённых на множестве X. Положив


(f + g)(x) = f(x) + g(x), (kf)(x) = k·f(x) (x  X),


мы превратим F(X) в линейное пространство. Выполнение аксиом очевидно (линейные операции сводятся к сложению и умножению вещественных чисел). В роли векторов здесь выступают функции.

4) Если X есть подмножество R, то можно рассмотреть подмножество множества ^ F(X), состоящее из всех функций, непрерывных на множестве X. Оно обозначается C(X). Из курса математического анализа известно, что сумма непрерывных функций и произведение непрерывной функции на число есть непрерывная функция. Следовательно, по отношению к уже введённым операциям C(X) является линейным пространством (аксиомы уже проверены для F(X)).

5) Множество всех дифференцируемых функций.

6) Все многочлены от одной переменной с вещественными коэффициентами.

7) Многочлены степени не выше данной.

8) Линейное пространство в этом примере далее будет рассматриваться в качестве эталона конечномерного вещественного линейного пространства. Обозначим Rⁿ = {(a₁, …, a_n): a_i  R } – множество всех n-членных последовательностей вещественных чисел. Введём линейные операции покомпонентно,


(a₁, …, a_n) + (b₁, …, b_n) = (a₁ + b₁, …, a_n + b_n), k·(a₁, …, a_n) = (ka₁, …, ka_n),


превращая Rⁿ в линейное пространство. Оно называется арифметическим n-мерным вещественным линейным пространством.


^ Простейшие следствия из аксиом.

1) Нулевой элемент в линейном пространстве единственный. Действительно, пусть 0₁ и 0₂ обладают свойством нулевого элемента: 0₁ + a = a, 0₂ + a = a. Но тогда 0₁ +0₂ = 0₂, 0₂ + 0₁ = 0₁ ⇒ 0₁ = 0₂.

2) Противоположный элемент единственный. Действительно, если a + b = 0 и a + c = 0, то b = 0 + b = (c + a) + b = c + (a + b) = c + 0 = c.

3) x + a = b ⇔ x = b – a (вычитание есть действие обратное к сложению).

Действительно,

x + a = b ⇒ x = x + (a + (-a)) = (x + a) + (-a) = b + (-a) = b – a.

Наоборот,

(b + (-a)) + a = b + ((-a) + a) = b + 0 = b.

4) 0·a = 0.

Действительно, 0·a = (0 + 0)·a = 0·a + 0·a ⇒ 0·a = 0·a - 0·a = 0.

5) k·0 = 0 (аналогично).

6) (-1) ·a = -a.

Действительно,

(-1) ·a + a = (-1) ·a + 1·a = (-1 + 1) ·a = 0·a = 0 ⇒ (-1) ·a = -a.


Замечание. Аксиома ассоциативности утверждает, что сумма трёх векторов не зависит от расстановки скобок, т.е. от порядка, в котором она вычисляется. Аналогичное утверждение справедливо для суммы любого числа слагаемых.


Линейная зависимость


Пусть V - некоторое линейное пространство и a₁, …, a_m - произвольное семейство (m-членная последовательность) векторов этого пространства.


Определение. Линейной комбинацией векторов a₁, …, a_m с коэффициентами k₁, …, k_m называется вектор k₁a₁ + … + k_ma_m. Про всякий такой вектор говорят также, что он линейно выражается через векторы a₁, …, a_m.


Если хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля, то линейная комбинация называется нетривиальной. В противном случае – тривиальной. Тривиальная линейная комбинация есть, конечно, нулевой вектор. Но равной нулю может быть и нетривиальная линейная комбинация.


Определение. Семейство векторов a₁, …, a_m отличен называется линейно зависимым, если существует равная нулю нетривиальная линейная комбинация этих векторов, т.е. если существуют такие числа k₁, …, k_m  R, не все равные нулю, что k₁a₁ + … + k_ma_m = 0.


В противном случае, т.е. k₁a₁ + … + k_ma_m = 0 ⇒ k₁ = k₂ = … = k_m = 0, семейство называется линейно независимым.

Если семейство с повторениями или в семействе есть нулевой вектор, то оно, конечно, линейно зависимо. Кроме того, на свойство семейства быть линейно зависимым не влияет порядок следования векторов. Поэтому можно говорить о линейной зависимости множества векторов. Принято считать пустое множество линейно независимым. Множество, состоящее из одного вектора, линейно независимо (конечно, при условии, что этот вектор не равен нулю).

Перечислим некоторые свойства введённого понятия.

1) Если вектор a линейно выражается через векторы a₁, …, a_m, а каждый вектор a_i линейно выражается через векторы b₁, …, b_n, то a линейно выражается через векторы b₁, …, b_n (очевидно).

2) Семейство (множество) векторов, обладающее линейно зависимым подсемейством (подмножеством), линейно зависимо. Это простое соображение помогает распространить понятие линейной зависимости на бесконечные множества векторов.

Определение. Бесконечное множество векторов называется линейно зависимым, если оно обладает конечным линейно зависимым подмножеством, и линейно независимым, если любое его конечное подмножество линейно независимо.

3) Семейство (множество) векторов линейно зависимо ⇔ хотя бы один из его векторов линейно выражается через остальные. Для семейств (где важен порядок следования элементов) имеет место и более тонкий результат: семейство a₁, …, a_m линейно зависимо ⇔ некоторый вектор a_i (1 ≤ i ≤ m) линейно выражается через предыдущие векторы a₁, …, a_i-1.

Действительно, пусть семейство a₁, …, a_m линейно зависимо. Тогда найдётся наименьшее натуральное i, 1 ≤ i ≤ m, такое, что семейство a₁, …, a_i линейно зависимо. Имеем нетривиальную линейную комбинацию k₁a₁ + … + k_ia_i = 0, причём k_i ≠ 0, ибо в противном случае линейно зависимым было бы семейство a₁, …, a_i-1. Но тогда a_i = (-k₁/k_i)a₁ + … + (-k_i-1/k_i)a_i-1. Обратно, если a_i = l₁a₁ + … + l_i-1a_i-1, то имеем нетривиальную линейную комбинацию l₁a₁ + … + l_i-1a_i-1 + (-1)a_i + … + 0·a_m = 0.

4) Семейство a₁, …, a_m линейно независимо ⇔ любой вектор, линейно выражающийся через векторы этого семейства, выражается через них единственным образом.

Действительно, пусть a = k₁a₁ + … + k_ma_m = l₁a₁ + … + l_ma_m, где k_i ≠ l_i для некоторого i ⇒ нетривиальная линейная комбинация (k₁ – l₁)a₁ + … + (k_m – l_m)a_m = 0. Наоборот, если существует нетривиальная линейная комбинация λ₁a₁ + … + λ_ma_m = 0 и a = k₁a₁ + … + k_ma_m , то для вектора a имеет место и другое представление a = (k₁ + λ₁)a₁ + … + (k_m + λ_m)a_m .


Теорема о линейной зависимости. Пусть каждый вектор семейства a₁, …, a_m линейно выражается через векторы b₁, …, b_n. Если m > n, то семейство a₁, …, a_m линейно зависимо.


Доказательство. Предположим, что m > n, но семейство a₁, …, a_m линейно независимо. Рассмотрим семейство a₁, b₁, …, b_n. Очевидно, оно линейно зависимо. Тогда некоторый вектор этого семейства (отличный от a₁) линейно выражается через предыдущие. Удалив его, получим снова систему из n векторов a₁, c₁, …, c_n-1, обладающую тем свойством, что оставшиеся векторы a₂, …, a_m линейно через них выражаются. Дальше рассуждения повторяются. Система a₁, a₂, c₁, …, c_n-1 линейно зависима и, следовательно, некоторый вектор (отличный от a₁ и a₂) линейно выражается через предыдущие. Вычёркивая этот вектор, получаем систему a₁, a₂, d₁, …, d_n-2 из n векторов такую, что векторы a₂, …, a_m через неё линейно выражаются. Продолжая эту процедуру, на n-м шаге (ибо m > n по предположению) получим систему a₁, a₂, …, a_n и при этом векторы a_n+1, …, a_m через неё линейно выражаются. Мы пришли к противоречию, т.к. вначале предположили, что система a₁, …, a_m линейно независима.


Базис и координаты


Определение. Семейство векторов a₁, …, a_m линеала V называется полным, если любой вектор из V линейно выражается через векторы a₁, …, a_m. Линеал V называется конечномерным, если в нём существует (конечное) полное семейство векторов.


От полного семейства векторов всегда можно перейти к полному линейно независимому семейству, удаляя из исходного полного семейства векторы, линейно выражающиеся через предыдущие (если такие есть) – полнота при этом, очевидно, не нарушается в силу свойства транзитивности линейной зависимости.


Определение. Всякое полное линейно независимое семейство векторов конечномерного линеала V называется базисом линеала V.


Замечание. Базисом мы назвали семейство векторов, т.е. важен порядок. Конечно, при любой перестановке векторов базиса и линейная независисмость, и полнота сохраняются, так что снова получаются базисы. Но считается, что другие.


Легко видеть, что количество векторов в базисе является инвариантом линейного пространства. Оно называется размерностью линейного пространства и обозначается dimV. Если dimV = n, то линеал V называется n-мерным.

Действительно, если e₁, …, e_n - базис, а a₁, …, a_m - некоторое семейство векторов линеала, то из линейной независимости семейства вытекает, что m ≤ n, а из полноты – что m ≥ n (по теореме о линейной зависимости).


В курсе аналитической геометрии рассматриваются конечномерные линейные пространства (бесконечномерные – в анализе). Примем этот за аксиому.

9) dimV = n.


Отметим также, что в n-мерном линеале всякое семейство, состоящее из n векторов, полно тогда и только тогда, когда оно линейно независимо. Действительно, если семейство a₁, …, a_n полно и линейно зависимо, то, удалив из него подходящий вектор, мы получим полное семейство, состоящее из (n – 1)-го вектора, что невозможно в силу теоремы о линейной зависимости и того факта, что dimV = n. Наоборот, пусть семейство a₁, …, a_n линейно независимо. Для произвольного вектора a  V рассмотрим семейство a₁, …, a_n, a. Оно содержит (n + 1) вектор и, следовательно, линейно зависимо (поскольку dimV = n). Значит, некоторый вектор этого семейства линейно выражается через предыдущие. Это может быть только a, поскольку a₁, …, a_n линейно независимы. Получили, что произвольный вектор a линейно выражается через a₁, …, a_n , т.е. это семейство полно.

Зафиксируем произвольный базис e₁, …, e_n линеала V. Тогда  a  V  такие однозначно определённые числа a¹, …, aⁿ (верхние индексы – это номера, а не показатели степени), что a = a¹e₁ + … + aⁿe_n (существование обеспечивается полнотой базиса, а единственность – линейной независимостью, что в данном случае одно и то же). Эти числа, являющиеся коэффициентами в линейной комбинации, называются координатами вектора a в базисе e₁, …, e_n, а само равенство a = a¹e₁ + … + aⁿe_n называется разложением вектора a по базису e₁, …, e_n. Принято также писать a = aⁱe_i , опуская знак суммы (по общепринятому соглашению, знак суммы опускается, если в общем члене суммы индекс суммирования повторяется два, – и только два, – раза, причём один раз вверху, а другой раз внизу). Имеем a + b = (a¹e₁ + … + aⁿe_n) + (b¹e₁ + … + bⁿe_n) = a¹e₁ + b¹e₁ + … + aⁿe_n + bⁿe_n = (a¹ + b¹)e₁ + … + (aⁿ + bⁿ)e_n; ka = k·(a¹e₁ + … + aⁿe_n) = k·(a¹e₁) + … + k·(aⁿe_n) = (ka¹)e₁ + … + (kaⁿ)e_n (короче: aⁱe_i + bⁱe_i = (aⁱ + bⁱ)e_i, k·(aⁱe_i) = (kaⁱ)e_i). Итак, при сложении векторов их координаты с одинаковыми номерами складываются, а при умножении вектора на число его координаты умножаются на то же число.


Изоморфизмы линейных пространств


Пусть V и V´ - два линейных пространства.

Определение. Биективное отображение Φ : V → V΄ называется изоморфизмом, если сохраняет линейные операции: Φ(a + b) = Φ(a) + Φ(b), Φ(ka) = k·Φ(a)  a, b  V,  k  R. Если существует изоморфизм V на V΄, то эти пространства называются изоморфными. Пишут V ≈ V΄.

Ясно, что тождественное отображение ^ V на себя является изоморфизмом (V ≈ V), отображение, обратное к изоморфизму, является изоморфизмом (V ≈ V΄ ⇒ V΄ ≈ V ), и композиция изоморфизмов также является изоморфизмом (V ≈ V΄ , V΄ ≈ V΄΄ ⇒ V ≈ V΄΄ ). Таким образом, отношение изоморфности является отношением эквивалентности. И по этому отношению все линейные пространства (над одним и тем же полем) сортируются в непересекающиеся классы.

В аксиоматической теории линейных пространств интересуются теми их свойствами, которые могут быть выражены в терминах операций сложения и умножения на числа. Но у изоморфных пространств эти свойства одинаковы. Например, линейная независимость, полнота при изоморфизмах сохраняются ⇒ изоморфные пространства обязательно имеют одинаковую размерность. Поэтому изоморфные пространства отождествляются. Утверждения, доказанные для одного пространства, можно применять ко всем пространствам, ему изоморфным. Сейчас мы покажем, что V ≈ Rⁿ, если dimV = n. Отсюда будет следовать изоморфность всех вещественных пространств одинаковой размерности. Это также означает, что при исследовании свойств, связанных с основными операциями, можно заменять произвольное n-мерное вещественное пространство конкретным пространством Rⁿ, в котором работают лишь с числами.

Каждый вектор a n-мерного линеала V однозначно задаётся своими координатами в фиксированном базисе: a = a¹e₁ + … + aⁿe_n. Но упорядоченный набор координат можно рассматривать как элемент (a¹, …, aⁿ) арифметического пространства Rⁿ. Возникает отображение

Φ

a  V ————→ (a¹, …, aⁿ)  Rⁿ,

e₁, …, e_n


являющееся, очевидно, биекцией V на Rⁿ. Кроме того, ранее было показано, что координаты суммы векторов равны суммам координат векторов, а координаты произведения вектора на число равны произведениям координат вектора на это число. Вспоминая, как выглядят линейные операции в Rⁿ, получаем Φ(a + b) = Φ(a) + Φ(b) и Φ(ka) = k·Φ(a).

Итак, Φ : V → Rⁿ – изоморфизм. Он называется координатным изоморфизмом, определяемым базисом e₁, …, e_n. Векторы (1, 0, …, 0), (0, 1, 0, …, 0), …, (0, …, 0, 1) пространства Rⁿ образуют базис, называемый стандартным. Координатами вектора (a¹, …, aⁿ)  Rⁿ в этом базисе будут как раз числа a¹, …, aⁿ : (a¹, …, aⁿ) = a¹·(1, 0, …, 0) + … + aⁿ·(0, …, 0, 1). Координатный изоморфизм есть ни что иное как такой изоморфизм V на Rⁿ, который переводит данный базис e₁, …, e_n в стандартный базис пространства Rⁿ. С другой стороны, любой изоморфизм V на Rⁿ является координатным, отвечающим некоторому базису (а именно, базису, являющемуся прообразом стандартного базиса Rⁿ при данном изоморфизме).

Таким образом, V ≈ Rⁿ. Что касается изоморфизмов двух произвольных линеалов V и V΄ одинаковой размерности, то всякий такой изоморфизм устанавливается по равенству координат в двух базисах: e₁, …, e_n в V и e´₁, …, e´_n в V΄. Задавшись базисами, мы устанавливаем изоморфизм формулой Φ(xⁱe_i) = xⁱe´_i; при этом вектору x  V, имеющему в базисе e₁, …, e_n координаты xⁱ, ставится в соответствие вектор x´  V΄, имеющий те же координаты в базисе e´₁, …, e´_n. Наоборот, если есть изоморфизм Φ : V → V΄, то выбранный произвольным образом базис e₁, …, e_n в V порождает базис e´₁, …, e´_n в V΄ : e´_i = Φ(e_i), i = 1, …, n. Тогда в силу линейности отображения, Φ(x) = Φ(xⁱe_i) = xⁱΦ(e_i) = xⁱe´_I, т.е. изоморфизм осуществляется по равенству координат в этих базисах.


Аффинное пространство


Определение. Множество A называется аффинным пространством, если задано некоторое линейное подпространство ^ V, а также отображение A² → V; А, В  A → AB  V , удовлетворяющее следующим двум аксиомам:

10. A  A,  a  V ! B  A : AB = a

11. AB + BC = AC

Элементы A называются точками, а элементы V векторами;

Данное определение аксиоматизирует построение вектора по двум точкам.

Следствие. Положив A = B = C, получаем AA = 0; если же C = A, то

BA = -AB.

По определению dim A = dim V.

Примеры. Произвольное линейное пространство V естественным образом наделяется структурой аффинного пространства, если отображение V² → V определить формулой: ab = b – a .

Проверяем аксиомы:  точки a  V_афф и  вектора c  V_лин точка b = a + c  V_афф, очевидно, является единственной точкой, для которой ab = c. Кроме того, ab + bc = (b – a) + (c – b) = c – a = ac. Таким образом, любое линейное подпространство можно рассматривать и как аффинное пространство. В частности, прикладывая эту схему к линейному пространству Rⁿ, получим Rⁿ _афф:

Если A = (a¹,…aⁿ), B = (b¹,…, bⁿ)  Rⁿ _афф, то вектор AB = (b¹ – a¹, …,bⁿ – aⁿ).

Определение. Пусть A и A´ – аффинные пространства с ассоциированными линеалами V и V´. Биективное отображение : A → A´ называется изоморфизмом, если  изоморфизм Φ : V → V΄ такой, что (A)(B) = Φ(AB). Сказанное удобно пояснить диаграммой


A  A , B → AB  V

  Φ

A´  A´ , B´ → A´ B´ V´


Отношение изоморфности является отношением эквивалентности. Рассмотрим примеры.

1) Рассматриваются произвольное ^ V_лин и координатный изоморфизм Φ: V_лин → Rⁿ_лин. Рассматривая эти изоморфные линеалы как аффинные пространства V_афф, Rⁿ_афф, мы видим, что этот же координатный изоморфизм является и изоморфизмом аффинных пространств. Здесь обозначим его .

Фиксируем базис {e₁,…,e_n} в V_лин, a = aⁱe_i , b = bⁱe_i


V_афф  aⁱe_i , bⁱe_i → (aⁱ – bⁱ)e_i  V_лин

  Φ

Rⁿ_афф  (a¹,…,aⁿ) , (b¹,…bⁿ) → (b¹ – a¹,…, bⁿ – aⁿ)  ^ Rⁿ_лин


Итак, для всякого n-мерного вещественного линеала V аффинные пространства V_афф и Rⁿ_афф изоморфны.

2) Если есть аффинное пространство ^ A, значит, есть и ассоциированный линеал V, который можно рассматривать как V_афф. Нетрудно видеть, что A и V_афф изоморфны. Зададим изоморфизм. Зафиксируем произвольную точку O  A и A  A в качестве точки (A)  V_афф берём вектор OA , который рассматриваем, как элемент аффинного пространства V_афф. Имеем

A  A , B → AB

  Φ

V_афф  OA , OB → OB – OA


Итак, для всякого n-мерного вещественного аффинного пространства A имеем изоморфизмы (V - ассоциированный с A линеал):


O  A ⁿ {e₁, …, e_n} – базис V



Aⁿ ———→ Vⁿ_афф ———→ Rⁿ<sub>афф

│ ↑

└───────────────────────────┘</sub>



Аффинные пространства A и Rⁿ_афф изоморфны, откуда вытекает, что все вещественные аффинные пространства одной размерности изоморфны.

Совокупность из точки O  ^ A и базиса e₁,…,e_n  V называется аффинной координатной системой в A. Точка O называется началом координат. Всякая аффинная координатная система определяет изоморфизм : A →Rⁿ. Если M  A и (M) = (x¹,…, xⁿ), то числа x¹, …, xⁿ называются координатами точки M в аффинной координатной системе Oe₁…e_n.

Определение. Прямой в аффинном пространстве A, задаваемой точкой M₀  ^ A и вектором 0  a  V , называется множество l(M₀, a) = {M  A: M₀M = ta , t  R}

Вектор a называется направляющим вектором прямой. Про любой вектор, пропорциональный вектору a (коллинеарный a) говорят, что он параллелен прямой. Поскольку М₀  l(M₀, a) (t = 0), говорят, что прямая проходит через точку M₀ параллельно вектору a .

Всякая прямая l(M₀, a) естественным образом наделяется структурой одномерного аффинного пространства. В качестве ассоциированного линеала берутся все векторы из V, параллельные этой прямой (поскольку линейная комбинация векторов, параллельных прямой, также параллельна прямой, такие векторы образуют линеал).

Вектор ^ AB  V, строящийся по паре точек A,B  l(M₀, a) таков, что AB = M₀B – M₀A и, таким образом, принадлежит этому линеалу (действительно, t_Ba – t_Aa = (t_B – t_A)a).

Покажем, что прямая задаётся любой своей точкой и любым вектором, ей параллельным.

Пусть N₀  l(M₀,a), т.е. M₀N₀ = t₀∙a 0 ≠ b║l(M₀,a), т.е. b = h₀∙a, тогда M  l (M₀,a) ⇒ M₀M = t∙a = N₀M – N₀M₀ ⇒ N₀M = t∙a + t₀∙a = (t + t₀)∙b / h₀, т.е. M  l (N₀,b). Наоборот, M l (N₀,b) ⇒ N₀M = τ∙b = M₀N – M₀N₀ ⇒M₀M = t∙a + τ∙b = t₀∙a + τ∙h₀∙a = (t₀ + τ∙h₀) ∙a, т.е. l (M₀,a) = l (N₀,b)


Предложение. Через 2 точки M₀  M₁ аффинного пространства проходит одна и только одна прямая.

Доказательство. Действительно, l(M₀, M₀M₁) - это одна из прямых, проходящих через M₀ и M₁ (это все M  A: M₀M = tM₀M₁; при t = 0 получаем M₀, при t = 1 - M₁).

Пусть M₀,M₁  l (N₀,b). Тогда M₀M₁║ l(N₀,b). Но в силу вышесказанного, l(N₀,b) = l(M₀, M₀M₁).