Тема пространство и метрология сигналов физическая величина более точно определяется уравнением, чем измерением

Вид материала

Содержание

2.1. Пространство сигналов [1,3,16,29].
T/2 - 4abt/ + b

Подобный материал:

1 2 3 4

СИГНАЛЫ и ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ

Signals and linear systems

Тема 2. ПРОСТРАНСТВО и МЕТРОЛОГИЯ СИГНАЛОВ

Физическая величина более точно определяется уравнением, чем измерением.

Макс Планк. Немецкий физик – теоретик, XVIII-XIX в.

Между тем, уравнение - только математическая модель физической величины.

А без измерений понятия точности вообще не существует.

Борис Старцев. Уральский геофизик – практик, XX-XXI в.

Содержание

1. Пространство сигналов. Множества сигналов. Линейное пространство сигналов. Норма сигналов. Метрика сигналов. Скалярное произведение сигналов. Корреляция сигналов. Координатный базис пространства.

2. Мощность и энергия сигналов. Понятия мощности и энергии сигналов.

3. Пространства функций. Нормирование метрических параметров. Ортогональные сигналы. Ортонормированный базис пространства. Разложение сигнала в ряд. Ортонормированные системы функций. Разложение энергии сигнала.

4. Функции корреляции сигналов. Корреляционные функции сигналов. Взаимная корреляционная функция.

5. Математическое описание шумов и помех. Шумы и помехи. Природа помех. Характеристики помех.

ВВЕДЕНИЕ

В данной теме метрология сигналов рассматривается, в основном, на уровне понятий и базовых определений, предваряя их более подробное изучение в дальнейших темах курса. Это объясняется тем, что при детальном изучении каких-либо характеристик или свойств сигналов их рассмотрение не может выполняться в отрыве от других метрологических характеристик сигналов и требует определенной ориентировки в общей метрологии сигналов, хотя бы на уровне понятий.

^ 2.1. Пространство сигналов [1,3,16,29].

Важнейшее свойство аналоговых и дискретных сигналов заключается в том, что их линейные комбинации также являются аналоговыми или дискретными сигналами. Линейные комбинации цифровых сигналов, в силу их ограничения по разрядности, в принципе относятся к разряду нелинейных операций, однако последним фактором можно пренебречь, если ошибки, которые вносятся в результаты наблюдений при квантовании отсчетов, достаточно малы по сравнению с шумами зарегистрированной информации. При дискретизации и квантовании данных непосредственно на входах в ЭВМ это условие выполняется практически всегда, поскольку ошибки определяются разрядностью ЭВМ и программными системами обработки данных, которые обычно не ниже 6-12 десятичных разрядов.

Множества сигналов. Сигналы обычно рассматриваются в составе определенных множеств L, объединенных каким-либо свойством Р, характерным для всех и каждого из сигналов данного множества. Условное отображение множества: L = {s; P} – множество всех s, для которых справедливо свойство Р. Определив свойство Р, мы тем самым можем ограничивать сигналы, действующие в каких-либо системах, определенными типами, условиями, границами по параметрам и т.п.

Пример 1. Множество гармонических сигналов.

L = {s; s(t)} = A·cos (t+), - < t < }.

Множество содержит гармонические сигналы с произвольными значениями амплитуд, частот и фаз.

Пример 2. Множество периодических сигналов.

L(Т) = {s; s(t) = s(t+kT), - < t < , k  I}.

Пример 3. Множество сигналов, ограниченных по амплитуде и длительности.

L(K,T) = {s; |s(t)| ≤ K, s(t)=0 при |t| > T}.

Множества сигналов могут образовываться из других, ранее определенных множеств, логическими операциями объединения (индекс - ) и пересечения (индекс - ):

L = S₁  S₂ = {s; s  S₁ или s  S₂},

L = S₁  S₂ = {s; s  S₁ и s  S₂}.

Возможно разбиение множества сигналов на непересекающиеся подмножества, более удобные для обработки, при этом для множества S, разбитого на совокупность подмножеств {S₁, S₂, S₃, …, S_N}, должны выполняться условия:

S = S₁  S₂ S₃  …  S_N,

S_n  S_m =  для n ≠ m.

Запись S₁  S означает, что множество S₁ входит в состав множества S, т.е. является подмножеством в составе S.

Преобразование элементов v_i множества V в элементы g_i множества G называется отображением (трансформацией, преобразованием) V в G. Символьные записи преобразования: g = T[v] или v → g, при этом элементы v называют прообразом множества g, а элементы g – образом множества v.

Если преобразование выполняется над числами одного множества R (например, x = T[y]), то такое преобразование порождает функциональную зависимость x = f(y).

Если преобразование выполняется над функциями одного и того же множества L (например, f(t) = T[g(t)], f(t)  L и g(t)  L), то алгоритм преобразования T[..] называют оператором преобразования f(t) в g(t).

Преобразование g = T[f(t)] функций f(t) множества F называют функционалом, если результатом преобразования являются числовые значения g множества G. Примерами функционалов являются интегралы функций в определенных пределах.

Преобразование может выполняться функциональными операторами с переводом функций одной переменной, например t, в функции по другой переменной, например , Типичным примером функционального оператора является преобразование Фурье. В комплексной форме:

S() = s(t) exp(-jt) dt.

Пространство сигналов. Для анализа и обработки информации, которая может быть заключена в сигналах, требуется выделять из множества сигналов сигналы с определенными параметрами, сравнивать сигналы друг с другом, оценивать изменение сигналов при их прохождении через системы обработки данных, и т.п. Это может выполняться только при "помещении" множества сигналов в определенные метрические пространства с заранее оговоренными свойствами и единицами измерений. Так, "квартирное пространство" любого города включает, как минимум, три структурных единицы: названия улиц, номера домов, номера квартир, что и определяет пространство "квартирных сигналов". Но это пространство не является метрическим, так как оно не имеет нулевой точки и единиц измерений, по нему нельзя определить расстояние между двумя "квартирными сигналами". Положение на поверхности Земли любого объекта однозначно определяется по "координатному сигналу" в заранее сформированных метрических координатных пространствах с нулевыми точками и принятыми единицами измерений. Для практического использования сформированы также различные пространства картографических проекций с определенными структурными ограничениями, жестко установленная метрология которых позволяет трансформировать информацию из одного пространства в другое, более удобное для отображения или обработки определенными программами.

Главным условием превращения множество сигналов L{s₁(t), s₂(t), …}, которые имеют какие-то общие свойства, в функциональное пространство сигналов является выполнение условия однозначной реализации. Если пространство значений независимой переменной t задано выражением R:=(-,+), то пространство сигналов L^P[R] определяет множество сигналов в этом пространстве, для которых условие однозначной реализации записывается в следующей форме:

|s(t)|^p dt < .

Для анализа сигналов наиболее часто используется гильбертово пространство, сигналы в котором должны удовлетворять условию интегрирования с квадратом:

|s(t)|² dt < .

Периодические сигналы обычно рассматриваются в пространстве L²[0, 2 одного периода:

|s(t)|² dt < .

Метрические пространства должны иметь определенную систему координат, что позволяет рассматривать любые произвольные сигналы х и у, принадлежащие пространству, в виде векторов, соединяющих начало координат с определенными точками этого пространства и определять расстояние (x,y) между этими точками (метрика). Так как расстояние между точками должно быть числовым, а сигналы х и у представляют собой функции, то (x,y) представляет собой функционал, для которого в метрическом пространстве должны быть справедливы следующие аксиомы:

(x,y) ≥ 0; (x,y) = 0 при х = у,
(x,y) = (y,x),
(x,z) ≤ (x,y) + (y,z) - неравенство треугольника.

Каждый элемент векторного пространства может отображаться проекциями на координатные оси, а для обработки и преобразований сигналов могут использоваться операции векторной алгебры. Достаточно простые алгебраические взаимосвязи между сигналами характерны для линейных пространств.

Линейное пространство сигналов. Метрическое пространство является линейным, если в нём определены операции сложения векторов и умножения вектора на скаляр, в результате которых образуется новый вектор в том же пространстве. Множество сигналов L образует линейное пространство сигналов, если для него справедливы следующие аксиомы

Множество содержит такой нулевой элемент , что для всех сигналов u(t)  L выполняется равенство u(t) +  = u(t).
Для любых сигналов u(t)  L и v(t)  L существует их сумма s(t) = u(t)+v(t), которая также содержится в L. При этом операция суммирования должна быть

- коммутативна: u(t)+v(t) = v(t)+u(t),

- ассоциативна: u(t)+(v(t)+x(t)) = (u(t)+v(t))+x(t),

- однородна: u(t) + (-u(t)) = .

Существует множество скалярных элементов , на которые может выполняться умножение любого сигнала s(t)  L, при этом результат умножения является новым сигналом y(t) = s(t) в том же пространстве, у(t)  L. Операция умножения должна быть

- ассоциативна: (·s(t)) = ·s(t),

- дистрибутивна: (u(t)+s(t)) = u(t)+s(t), (+)s(t) = s(t)+s(t),

- пропорциональна: 1·s(t) = s(t), 0·s(t) = 0.

Пример. Множество сигналов L состоит из импульсных сигналов произвольной формы с амплитудой не более 10 вольт. Образуют ли эти сигналы линейное пространство?

Нет, не образуют, так как не выполняется, по крайней мере, вторая аксиома линейного пространства (сумма двух сигналов с амплитудой более 5 вольт превышает 10 вольт). Требуются дополнительные структурные ограничения по параметрам сигналов.

Сигналы могут описываться как вещественными, так и комплексными функциями, и линейные пространства также могут быть вещественными или комплексными. Скалярные множества обычно отождествляются с множествами действительных или комплексных чисел, но на них также могут накладываться определенные ограничения. Так, например, в теории связи широко применяется бинарное скалярное множество {0, 1}.

Множество L, для которого выполняются приведенные выше аксиомы, при анализе сигналов и систем может рассматриваться как специальным образом сконструированное многомерное (в пределе – бесконечномерное) геометрическое пространство. Рассмотрим это на конкретном примере.

Имеем произвольный сигнал s(t), заданный на интервале [a, b]. Дискретизируем сигнал с равномерным шагом дискретизации и переведем в цифровую форму (представим сигнал N последовательными выборками):

s = (s₁, s₂, … , s_N).

В таком отображении величина s может рассматриваться в виде N-мерного вектора в N-мерном пространстве, в котором значения s_n представляют собой проекции s-вектора на координатные оси данного пространства. Двумерный вектор в двумерном пространстве – это точка с координатами s₁ и s₂ на рис. 2.1.1. Соответственно, в трехмерном пространстве сигнал s представлен точкой в трехмерном пространстве. Представить себе N-мерное пространство при N>3 можно только абстрактно, но с математических позиций такое пространство вполне реально и N-мерный сигнал s отображается вполне определенной точкой в этом пространстве с координатами s_n по осям пространства. При уменьшении интервала дискретизации сигнала до бесконечно малой величины значение N стремится к бесконечности, и пространство сигналов превращается в бесконечномерное пространство аналоговых сигналов. Следовательно, и аналоговые сигналы могут рассматриваться как предельный случай бесконечномерных векторов.

Рис. 2.1.1. Пространства сигналов и функций.

С учетом вышеизложенного, для математического анализа систем и сигналов в линейном пространстве может использоваться математика векторов.

В линейном пространстве L{u_n; n=0,1,2,…,N} всегда можно выделить множество векторов {x_n; n=0,1,2,…,N}, для которых выполняется равенство нулю их линейной комбинации

_n x_n = 0 (2.1.1)

только при условии равенства нулю всех значений _k. Такое множество векторов называется линейно независимым. Ни один вектор линейно независимого множества не может быть выражен в виде какой-либо линейной комбинации других векторов этого пространства. Такое множество векторов называется базисом N-мерного пространства L{u_n; N}. Линейная комбинация таких линейно независимых векторов образует векторное пространство где каждый вектор U может быть выражен единственной линейной комбинацией векторов x_n:

U =_n x_n

Совокупность чисел {_n} называется спектром вектора U в этом базисе. Спектр вектора в общем случае может быть комплексным.

Линейные пространства сигналов имеют, как правило, не единственный базис. Выбор базиса определяется простотой и удобством его использования при обработке сигналов.

Пример. Имеем множество сигналов в виде числовых последовательностей, каждая из которых состоит из N чисел (N-мерные вектор-строки). Для сигналов задано скалярное пространство чисел R = {, 0 ≤  ≤ 10}. При этом пространство сигналов N-мерно и может быть определено линейной комбинацией:

L = {y; y =_n x_n, 0 ≤  ≤ 10, x_n – базис пространства}.

x₀= {1,0,0,0,…,0},

x₁= {0,1,0,0,…,0},

x₂= {0,0,1,0,…,0},

………………….

x_N= {0,0,0,0,…,1},

Любой сигнал в этом пространстве определен точкой с N - координатами в базисе x_n.

Основными метрическими параметрами линейного пространства являются норма, метрика и скалярное произведение сигналов.

Норма сигналов в линейном пространстве является аналогом длины векторов, и обозначается индексом ||s(t)|| - норма (norm). В математике существуют различные формы норм. При анализе сигналов обычно используются квадратичные нормы

||s(t)|| =. (2.1.2)

Для дискретных сигналов:

||s(n)|| =. (2.1.2')

Для комплексных сигналов

||s(t)|| =, (2.1.2'')

где s*(t) – величины, комплексно сопряженные с s(t).

Линейное пространство сигналов L является нормированным, если каждому сигналу пространства s(t) однозначно сопоставлена его числовая норма ||s(t)||, и выполняются следующие аксиомы:

Норма неотрицательна (||s(t)|| ≥ 0) и равна нулю тогда и только тогда, когда сигнал равен нулю (||s(t)|| = , при s(t) = ).
Для любого числа b должно быть справедливо равенство ||bs(t)|| = |b|  ||s(t)||.
Если v(t) и u(t) – сигналы из пространства L, то должно выполняться неравенство треугольника ||v(t)+u(t)||  ||v(t)|| + ||u(t)||.

Пример норм для двумерных цифровых сигналов приведен на рис. 2.1.2.

Рис. 2.1.2. Норма и метрика сигналов.
Метрика сигналов. Линейное пространство сигналов L является метрическим, если каждой паре сигналов s(t)  L и v(t)  L однозначно сопоставляется неотрицательное число (s,v) – метрика (metric) или расстояние между векторами. Пример метрики для двух векторов в двумерном пространстве приведен на рис. 2.1.2.

Для метрик сигналов в метрическом пространстве любой размерности должны выполняться аксиомы:

(s,v) = (v,s) – рефлексивность метрики.
(s,s) = 0 для любых s(t)  L.
(s,v)  (s,a) + (a,v) для любых a  L.

Метрика определяется нормой разности двух сигналов (см. рис. 2.1.2)

(s,v) = || s(t) – v(t) ||. (2.1.3)

В свою очередь норму можно отождествлять с расстоянием от выбранного элемента пространства до нулевого ||s(t)|| = (s(t),).

По метрике сигналов можно судить, например, о том, насколько точно один сигнал может быть аппроксимирован другим сигналом, или насколько изменяется выходной сигнал относительно входного при прохождении через какое-либо устройство.

Рис. 2.1.3.
Пример. Сигнал на интервале (0,Т) представляет собой половину периода синусоиды амплитудой A: s(t) = Asin(t/T), 0  t  T. Требуется аппроксимировать сигнал прямоугольным импульсом п(t) (см. рис. 2.1.3).

Если принять амплитуду импульса п(t) равной В, то квадрат расстояния между сигналами: ²(s,п) =(A sin(t/T)-В)²dt = A²^ T/2 - 4ABT/ + B²T.

Для решения задачи требуется найти минимум выражения ²(s,п). Дифференцируем полученное выражение по В, приравниваем нулю и, решая относительно В, находим значение экстремума: В = 2A/  0.64А. Это искомое значение минимума функции ²(s,п) (вторая производная функции по В положительна). При этом минимальное значение метрики: _min  0.31A. Вычислим нормы сигналов при А = 1:

Е_s = А² sin² (t/T) dt = A² T/2 = 10. Норма: ||s(t)|| == 0.707 A 3.16.

Е_п = B²dt = B² T  8.1. Норма: ||п(t)|| = = B 2.85.

Метрика (2.1.3) не единственно возможная. Пространство сигналов может иметь несколько метрик. Так, для дискретных сигналов, заданных на интервале Т, могут задаваться метрики по модулю разности и по максимуму модуля разности:

₁(s,v) =|s_n - v_n|, ₁(s,v) = max_n |s_n - v_n|.

Метрика в пространстве N-разрядных двоичных сигналов х и у для любой парой таких сигналов вполне будет определяться числом несовпадающих символов, которое называют расстоянием по Хеммингу для двоичных слов:

(x,y) =[s_n ⊕ v_n],

где знак  означает сложение по модулю 2 (1+0 = 0+1 = 1, 0+0 = 1+1 = 0 без переноса в старший разряд).

Скалярное произведение произвольных сигналов u(t) и v(t) отражает степень их связи (сходства) по форме и положению в пространстве сигналов, и обозначается как u(t), v(t).

u(t), v(t) = ||u(t)||||v(t)|| cos , (2.1.4)

Физическую сущность скалярного произведения векторов в двумерном пространстве можно наглядно видеть на рис. 2.1.4. Это произведение "длины" (нормы) одного вектора на проекцию второго вектора по "направлению" первого вектора.

Рис. 2.1.4. Скалярное произведение сигналов в двумерном пространстве.

При кажущейся абстрактности скалярного произведения сигналов оно может приобретать вполне конкретный физический смысл для физических процессов, которые отображаются этими сигналами. Так, например, если v = F – сила, приложенная к телу, а u = s – перемещение тела под действием этой силы, то скалярное произведение W = F·s определяет выполненную работу, при условии совпадения силы с направлением перемещения. В противном случае, при наличии угла  между векторами силы и перемещения, работа будет определяться проекцией силы в направлении перемещения, т.е. W = s·F·cos .

Вычисление скалярного произведения обычно производится непосредственно по сигнальным функциям. Поясним это на примере двумерных сигналов с использованием рисунка 2.1.2. Для квадрата метрики сигналов s и v имеем:

||s-v||² = ||s||² + ||v||² – 2 ||s|| ||v|| cos ||s||² + ||v||² – 2s, v.

2s,v = ||s||² + ||v||² - ||s-v||² = (s₁²+s₂²)+(v₁²+v₂²)–{(s₁-v₁)²+(s₂-v₂)²} = 2(s₁v₁+s₂v₂).

s,v = s₁v₁+s₂v₂.

Обобщая полученное выражение на аналоговые сигналы:

s(t), v(t) = s(t)v(t) dt. (2.1.5)

Соответственно, для дискретных сигналов в N-мерном пространстве:

s_n, v_n =s_nv_n. (2.1.5')

Линейное пространство аналоговых сигналов с таким скалярным произведением называется гильбертовым пространством Н (второе распространенное обозначение - L2). Линейное пространство дискретных и цифровых сигналов - пространством Евклида (обозначение пространства - R2). Норма и метрика пространств Гильберта и Эвклида определяются выражениями (2.1.2) и (2.1.3). Метрика пространств называется среднеквадратичной метрикой и определяет среднеквадратичное отклонение одного сигнала от другого. В этих пространствах справедливо фундаментальное неравенство Коши-Буняковского

|s,v|  ||s||||v||, (2.1.6)

т.к. модуль косинуса в (2.1.4) может быть только равным или меньше 1

Для комплексного гильбертова пространства скалярное произведение вычисляется по формуле

s(t), v(t) =s(t)v*(t) dt. (2.1.7)

При определении функций в пространстве L²[a,b] вычисление скалярного произведения производится соответственно с пределами интегрирования от а до b.

Из выражения (2.1.4) следует косинус угла между сигналами:

cos  = s(t),v(t) /(||s||||v||). (2.1.8)

Blog

Тема пространство и метрология сигналов физическая величина более точно определяется уравнением, чем измерением

Содержание