Тема пространство и метрология сигналов физическая величина более точно определяется уравнением, чем измерением

Вид материала

Реферат

Подобный материал:

• Анализ и обработка геофизических данных методом управляемой эмпирической модовой декомпозиции, 781.33kb.
• 4. Моделирование прохождения сигналов через рэу 2 > Методы анализа линейных электронных, 77.97kb.
• Лекция Дифференциал функции, 27.15kb.
• Положение о рейтинговой оценке студентов Специальность «Физическая культура» по дисциплине, 78.44kb.
• § 46. Поверхности второго порядка, 129.36kb.
• Законодательная метрология, 42.1kb.
• Департамент охраны министерства внутренних дел республики беларусь, 535.53kb.
• Программа курса лекций, 51.42kb.
• Осмысление кризиса, 385.54kb.
• Стратегическими целями предприятия в области финансов являются обеспечение его ликвидности, 52.14kb.

Пример. Имеется два смещенных во времени прямоугольных импульса с одинаковой амплитудой и длительностью: s₁(t) = 2 при 0  t  5, s₁(t) = 0 при других t; и s₂(t) = 2 при 4  t  9, s₂(t) = 0 при других t.

Квадраты норм сигналов: ||s₁||² =_ s₁²(t)dt = 20. ||s₂||² =_ s₂²(t)dt = 20

Скалярное произведение: s₁,s₂ = _ s₁(t) s₂(t) dt = 8.

Отсюда имеем: cos  = (s₁,s₂)/ (||s₁||||s₂||) = 8/20 = 0.4 и   1.16 радиан  66^о

При полном совмещении сигналов: s₁,s₂ =_s₁(t) s₂(t) dt = 20, cos  = 1,  = 0.

При отсутствии перекрытия сигналов; s₁,s₂ = 0, cos  = 0,  = 90^о.

Физическое понятие "угла" между многомерными сигналами довольно абстрактно. Однако при рассмотрении выражения (2.1.8) совместно с выражением для квадрата метрики сигналов

^(s,v) =_[s(t)-v(t)]² dt = ||s||² + ||v||² - 2||s||||v|| cos .

можно отметить следующие закономерности. При  (cos  = 1) сигналы "совпадают по направлению" и расстояние между ними минимально. При  = /2 (cos  = 0) сигналы "перпендикулярны друг другу" (иначе говоря – ортогональны), и проекции сигналов друг на друга равны 0. При  =  (cos  = -1) сигналы "противоположны по направлению" и расстояние между сигналами максимально. Фактор расстояния между сигналами играет существенную роль при их селекции в многоканальных системах.




Рис. 2.1.5.
Корреляция сигналов.

Заметим, что значение косинуса в (2.1.8) изменяется от 1 до -1, и не зависит от нормы сигналов ("длины" векторов). Максимальное значение cos  = 1 соответствует полной тождественности относительной динамики сигналов, минимальное значение cos  = -1 наблюдается при полной противоположности значений относительной динамики сигналов. По существу, коэффициент r = cos является интегральным коэффициентом степени сходства формы сигналов по пространству их задания. С учетом этого он и получил название коэффициента корреляции сигналов. На рис. 2.1.5 можно наглядно видеть значения коэффициента корреляции двух сигналов в зависимости от их формы и сдвига по независимой переменной.

Однако количественные значения коэффициентов корреляции существенно зависят от выбора нулевой точки сигнального пространства. Рассмотрим это детально на конкретном примере.




Рис. 2.1.6.
На рис. 2.1.6 приведено изменение средней месячной температуры воздуха в трех городах земного шара в течение одного календарного года. Характер корреляции между изменениями температур в городах достаточно хорошо виден на графиках. Вычислим (см. пример ниже) значения коэффициентов корреляции для шкалы температур по Цельсию.

Пример. Среднемесячная температура воздуха в городах по Цельсию:

Екатеринбург: E_k = {-12,-10,-4,5,11,19,23,21,15,5,-3,-8}. Дели: D_k = {15,18,22,28,33,35,33,32,30,28,21,17}.

Буэнос-Айрес: B_k = {26,24,21,18,14,11,10,10,12,15,20,23}. Нумерация месяцев: k = 1, 2, 3, …, 12.

Норма сигналов: ||E|| = _= 45.39, ||D|| = _= 93.05, ||B|| = _= 61.9.

Скалярные произведения: E, D = _= 2542, E, B = 268, B, D = 4876.

Коэффициенты корреляции: Екатеринбург – Дели: r_ED = E, D / (||E|| ||D||) = 0.602.

Екатеринбург – Буэнос-Айрес: r_EB = 0.095, Дели – Буэнос-Айрес: r_DB = 0.847,

Как следует из вычислений, полученные коэффициенты корреляции маловыразительны. Практически не регистрируется разнонаправленная корреляция Екатеринбург - Буэнос-Айрес, и не различаются одно- (Екатеринбург – Дели) и разнонаправленные (Дели – Буэнос-Айрес) типы корреляции.

Повторим вычисления в шкале Фаренгейта (0^оF = -17,8^oC, 100^oF = +37,8^oC), и в абсолютной шкале температур Кельвина. Дополнительно вычислим значения коэффициентов корреляции в шкале Цельсия и Фаренгейта для центрированных сигналов. Центрированный сигнал вычисляется путем определения среднего значения сигнала по интервалу его задания и вычитания этого среднего значения из исходных значений сигнала, т.е. среднее значение центрированного сигнала равно нулю. Сводные результаты вычислений приведены в таблице.

Таблица 2.1.1.

Коэффициенты корреляции сигналов

Пары городов	Нецентрированные сигналы	Центрированные сигналы
Цельсий	Фаренгейт	Кельвин	Цельсий	Фаренгейт
Екатеринбург – Дели Екатеринбург – Буэнос-Айрес Дели – Буэнос-Айрес	0.602 0.095 0.847	0.943 0.803 0.953	1 0.998 0.999	0.954 -0.988 -0.960	0.954 -0.988 -0.960

Как видно из таблицы, значения коэффициента корреляции нецентрированных сигналов существенно зависят от положения сигналов относительно нулевой точки пространства. При одностороннем смещении сигналов относительно нуля (шкала Фаренгейта) значение коэффициента корреляции может быть только положительным, и тем ближе к 1, чем дальше от сигналов нулевая точка (шкала Кельвина), т.к. при больших значениях сигналов-векторов значение скалярного произведения сигналов стремится к значению произведения норм сигналов.

Для получения значений коэффициентов корреляции, независимых от нуля сигнального пространства и от масштаба единиц измерений, необходимо вычислять коэффициент по центрированным сигналам, при этом в оценках коэффициента, как это видно из результатов, приведенных в таблице, появляется знаковый параметр совпадения или несовпадения по "направлению" корреляции и исчезает зависимость от масштаба представления сигналов. Это позволяет вычислять коэффициенты корреляции различных сигналов вне зависимости от физической природы сигналов и их величины.

Координатный базис пространства. Для измерения и отображения одномерных величин достаточно одного нормированного параметра – стандарта величины или единицы ее измерения (для измерения длины – сантиметр, для измерения тока – ампер, и т.п.).

В пространстве сигналов роль такого метрологического стандарта выполняет координатный базис пространства - подмножество векторов {е₁, е₂, е₃, …} со свойствами ортогональных координатных осей с определенной единицей измерений, по которым можно разложить любой произвольный сигнал, принадлежащий этому линейному пространству.

Число базисных векторов определяет размерность векторного пространства. Так, для двумерных векторов в качестве ортогонального базиса пространства могут быть приняты векторы {v₁, v₂}, если выполняется условие их взаимной перпендикулярности – нулевое значение скалярного произведения v₁, v₂ = 0. При ||v₁|| = ||v₂|| = 1 эта пара векторов является ортонормированным базисом с единичными векторами координатных осей в качестве стандарта (единицы измерения) пространства.

Пример. Могут ли быть приняты в качестве координатного базиса двумерного пространства векторы v₁ = (_/2, 1/2), v₂ = (-1/2, _/2).

v₁, v₂ = (_/2)·(-1/2) + (1/2)·(_/2) = 0. Векторы ортогональны.

||v₁|| = _= 1. ||v₂|| = _= 1. Векторы нормированы. Векторы могут быть ортонормированным базисом пространства.

Разложение произвольного двумерного вектора - сигнала s в двумерном пространстве, по координатным осям v₁ и v₂ элементарно:

s = c₁v₁ + c₂v₂, (2.1.9)

где коэффициенты с₁ и с₂ выражают значения составляющих вектора s по направлениям векторов v₁ и v₂, т.е. являются проекциями вектора s на координатный базис пространства {v₁, v₂}. Значения проекций определяются скалярными произведениями:

c₁ = s, v₁, c₂ = s, v₂.

В этом нетрудно убедиться, если вычислить скалярные произведения левой и правой части выражения (2.1.9) сначала с вектором v₁:

s, v₁ = (c₁v₁+c₂v₂), v₁ = с₁v₁, v₁ + с₂v₂, v₁ = с₁v₁, v₁ + с₂v₂, v₁.

При ортонормированности базиса {v₁, v₂} имеем:

v₁, v₁ = ||v₁||² = 1, v₂, v₁ = 0.

Отсюда следует: s, v₁ = с₁. Аналогичным образом можно получить и выражение для значения c₂ = s, v₂.

Пример. Разложить вектор s = (_/2, 5/2) по базису, представленному векторами

v₁ = (_/2, 1/2) и v₂ = (-1/2, _/2) из предыдущего примера.

s = c₁v₁ + c₂v₂.

с₁ = s, v₁ = (_/2)·(_/2) + (5/2)·(1/2) = 2.

с₂ = s, v₂ = (_/2)·(-1/2) + (5/2)·(_/2) = _.

Результат: В пространстве с базисом {v₁, v₂} вектор s однозначно определяется двумя векторами v₁ и v₂: s = 2v₁ + _v₂.

Множество векторов {v_k, k = 1, 2, …, N} может быть принято в качестве ортонормированного координатного базиса N-мерного пространства, если их совокупность является линейно независимой, равенство _a_iv_i =  выполняется только в случае одновременного обращения в нуль всех числовых коэффициентов a_i, и для всех векторов этого множества при единичной норме выполняется условие взаимной ортогональности:

v_m, v_n = _ (2.1.10)

Выражение (2.1.10) обычно записывается в следующей форме:

v_m, v_n = _mn,

где _mn – импульс Кронекера.

С использованием ортонормированного базиса любой произвольный сигнал можно представить в виде линейной комбинации взвешенных базисных векторов:

s = c₁v₁ + c₂v₂ + … + c_Nv_N = _c_iv_i,

где весовое значение с_k представляет собой проекцию вектора s на соответствующее координатное направление и определяется скалярным произведением:

c_k = s, v_k.

Коэффициенты c_k называют коэффициентами Фурье в базисе {v_k}. Базисную систему {v_k} называют полной, если ее размерность (и размерность соответствующего пространства) равна размерности представляемых в этой системе сигналов.

Комплексное линейное пространство, векторам которого также может быть поставлено в соответствие комплексное число скалярного произведения s, v_k, называют унитарным. Для него действительны все свойства скалярного произведения с учетом сопряжения:

1. s, v = v, s*;
   
2. s, аv = аv, s* = a*s,v, где а – комплексное число.
   

2.2. Мощность и энергия сигналов [1, 3, 16].

Понятия мощности и энергии в теории сигналов не относятся к характеристикам каких-либо физических величин сигналов, а являются их количественными характеристиками, отражающими определенные свойства сигналов и динамику изменения их значений (отсчетов) во времени, в пространстве или по любым другим аргументам.

Для произвольного, в общем случае комплексного, сигнала s(t) = a(t)+jb(t), где а(t) и b(t) - вещественные функции, мгновенная мощность (instantaneous power) сигнала по определению задается выражением:

w(t) = s(t) s*(t) = [a(t)+jb(t)] [a(t)-jb(t)] = a²(t)+b²(t) = |s(t)|², (2.2.1)

т.е. функция распределения мгновенной мощности по аргументу сигнала равна квадрату функции его модуля, для вещественных сигналов - квадрату функции амплитуд.

Аналогично для дискретных сигналов:

w_n = s_n s*_n = [a_n+jb_n] [a_n-jb_n] = a_n² + b_n² = |s_n|², (2.2.1')


Энергия сигнала (также по определению) равна интегралу от мощности по всему интервалу существования или задания сигнала. В пределе:

Е_s =_w(t)dt =_|s(t)|²dt. (2.2.2)

E_s =_w_n =_|s_n|². (2.2.2')

Мгновенная мощность w(t) является плотностью мощности сигнала, так как измерения мощности возможны только через энергию на интервалах ненулевой длины:

w() = (1/t)_|s(t)|²dt

Энергия сигналов может быть конечной или бесконечной. Конечную энергию имеют финитные сигналы и сигналы, затухающие по своим значениям в пределах конечной длительности, которые не содержат дельта-функций и особых точек (разрывов второго рода и ветвей, уходящих в бесконечность). В противном случае их энергия равна бесконечности. Бесконечна также энергия периодических сигналов.

Как правило, сигналы изучаются на определенном интервале Т, для периодических сигналов - в пределах одного периода Т, при этом средняя мощность (average power) сигнала:

W_T() = (1/T)_w(t) dt= (1/T)_|s(t)|² dt. (2.2.3)

Понятие средней мощности может быть распространено и на незатухающие сигналы, энергия которых бесконечно велика. В случае неограниченного интервала Т строго корректное определение средней мощности сигнала должно производиться по формуле:

W_s = _w(t) dt. (2.2.3')

Квадратный корень из значения средней мощности характеризует действующее (среднеквадратическое) значение сигнала (root mean sqare, RMS).

Применительно к электрофизическим системам, данным понятиям мощности и энергии соответствуют вполне конкретные физические величины. Допустим, что функцией s(t) отображается электрическое напряжение на резисторе, сопротивление которого равно R Ом. Тогда рассеиваемая в резисторе мощность, как известно, равна (в вольт-амперах):

w(t) = |s(t)|²/R,

а полная выделенная на резисторе тепловая энергия определяется соответствующим интегрированием мгновенной мощности w(t) по интервалу задания напряжения s(t) на резисторе R. Физическая размерность мощности и энергии в этом случае определяется соответствующей физической размерностью функции напряжения s(t) и сопротивления резистора R. Для безразмерной величины s(t) при R=1 это полностью соответствует выражению (2.2.1). В теории сигналов в общем случае сигнальные функции s(t) не имеют физической размерности, и могут быть формализованным отображением любого процесса или распределения какой-либо физической величины, при этом понятия энергии и мощности сигналов используются в более широком смысле, чем в физике. Они представляют собой метрологические характеристики сигналов.

Из сравнения выражений (2.1.2) и (2.2.2) следует, что энергия и норма сигнала связаны соотношениями:

E_s = ||s(t)||², ||s(t)|| = _ (2.2.4)

Пример. Цифровой сигнал задан функцией s(n) = {0,1,2,3,4,5,4,3,2,1,0,0,0,0....}.

Энергия сигнала: E_s = _s²(n) = 1+4+9+16+25+16+9+4+1 = 85. Норма: ||s(n)|| = _ 9.22

Вычислим энергию суммы двух произвольных сигналов u(t) и v(t)

E =_[u(t)+v(t)]² dt = E_u + E_v + 2_u(t)v(t) dt. (2.2.5)

Как следует из этого выражения, энергия сигналов (а равно и их мощность), в отличие от самих сигналов, в общем случае не обладают свойством аддитивности. Энергия суммарного сигнала u(t)+v(t), кроме суммы энергий составляющих сигналов, содержит в себе и так называемую энергию взаимодействия сигналов или взаимную энергию

E_uv = 2_u(t)v(t) dt. (2.2.6)

Нетрудно заметить, что энергия взаимодействия сигналов равна их удвоенному скалярному произведению

E_uv = 2 u(t), v(t). (2.2.6')

При обработке данных используются также понятия мощности взаимодействия двух сигналов x(t) и y(t):

w_xy(t) = x(t) y*(t), (2.2.7)

w_yx(t) = y(t) x*(t),

w_xy(t) = w*_yx(t).

Для вещественных сигналов:

w_xy(t) = w_yx(t) = x(t) y(t). (2.2.8)

С использованием выражений (2.2.7-2.2.8) интегрированием по соответствующим интервалам вычисляются значения средней мощности взаимодействия сигналов на определенных интервалах Т и энергия взаимодействия сигналов.