Линейное пространство

Вид материала

Документы

Содержание V ai(0) = ai , ai(1) = bi (i = 1…n). Замечание. V распадаются на непересекающиеся классы деформируемых друг в друга базисов. Эти классы называются ориентациями линеала V

Подобный материал:

• Некорректные задачи геофизики. План лекций. Лекция I. Функциональные пространства., 64.34kb.
• Тема пространство и метрология сигналов физическая величина более точно определяется, 595.48kb.
• Введение в линейное программирование линейное программирование (ЛП), 139.72kb.
• Морозова Алена Витальевна. Требования к студентам : курс предполагает наличие знаний, 262.09kb.
• Линейное программирование, 346.17kb.
• Программа дисциплины Линейное программирование Семестр, 17.93kb.
• Программа вступительного экзамена по специальности в магистратуру физического факультета, 209.43kb.
• Деловая программа Девиз «Пространство культуры пространство доверия» Павильон, 75.38kb.
• Реферат по дисциплине: Философия на тему: Время и пространство в философии, 382.06kb.
• Пространство и материя, 398.24kb.

Ориентация

Определение. Пусть e´= e ∙ С. Если det C > 0 , то базисы e и e´ называются одноимёнными, в противном случае – разноимёнными.

Замечание. Очевидно, отношение одноимённости есть отношение эквивалентности, причём есть ровно 2 класса эквивалентности.

Определение. Деформацией базисов a₁, …, a_n и b₁, …, b_n называется такое семейство вектор-функций a₁(t),…a_n(t) t  [0;1] , что

1.  t  [0;1] векторы a₁(t),…a_n(t) составляют базис ^ V
   
2. a_i(0) = a_i , a_i(1) = b_i (i = 1…n).
   

Замечание. Непрерывность вектор-функции t  [0;1] → a(t)  V по определению означает, что в некотором базисе (а значит и в любом другом) все её координатные функции a^j (t) (t  [0;1], j = 1…n) непрерывны (при изменении базиса координатные функции преобразуются при помощи линейных комбинаций с постоянными коэффициентами, а значит остаются непрерывными).

Отношение непрерывности есть отношение эквивалентности.

Рефлексивность: a деформируется в a при помощи a_i(t) = a_i.

Симметричность: если a деформируется в b при помощи a_i(t), то b деформируется в a при помощи b_i(t) = a_j(1 – t).

Транзитивность: если a деформируется в b при помощи a_i(t), b деформируется в c при помощи b_i(t), то a деформируется в c при помощи деформации c_i(t), где c_i(t) = a_i(2t) при t  [0;½] и c_i(t) = b_i(2t – 1) при t  [½;1].

Все базисы ^ V распадаются на непересекающиеся классы деформируемых друг в друга базисов. Эти классы называются ориентациями линеала V (или аффинного пространства, с которым ассоциирован этот линеал).

Примеры.

n = 1. Базисы a и b = δa (δ ≠ 0) деформируемы друг в друга  δ > 0 (Действительно, если δ > 0 , то деформация – b_i(t) = (1+ t(δ – 1))a t  [0;1] , а если есть деформация, то она обязательно имеет вид b(t) = δ(t)a. При этом δ(t) непрерывна на [0;1], δ(0) = 1 и в ноль на [0;1] не обращается 

δ(1) = δ > 0. Наглядно условие δ > 0 означает, что векторы a и b имеют одно и тоже направление. Таким образом, задание ориентации на прямой равносильно заданию на ней одного из 2 возможных направлений (2 ориентации).

n = 2. На плоскости каждый базис a₁,a₂ задаёт некоторое направление вращения, а именно, направление, в котором следует вращать a₁, чтобы кратчайшим путём совместить его направление с направлением a₂. Интуитивно ясно, что деформируемые базисы задают одно и то же направление вращения и, напротив, базис, задающий вращение по часовой стрелке, нельзя продеформировать в базис, задающий вращение против часовой стрелки.

Теорема. Два базиса деформируемы тогда и только тогда, когда они одноимённы.

Достаточность. Пусть a₁(t),…a_n(t) - деформация, связывающая

a₁,…, a_n и b₁,…, b_n , и (t) – определитель матрицы перехода от базиса a₁,…a_n к базису a₁(t),…a_n(t). Тогда (t) есть непрерывная функция на [0;1] и если бы она имела на концах отрезка значения разных знаков, то внутри отрезка нашлась бы точка, в которой (t) = 0, что невозможно в силу невырожденности матрицы перехода. Следовательно (1) > 0, поскольку (0) = 1 > 0.

Необходимость доказать не так просто. Для этого нам понадобится ряд вспомогательных понятий и утверждений, имеющих и самостоятельное значение.

Определение1. Преобразования базисов вида

(a₁,a₂,…,a_n) → (a₁+ka₂,a₂,…,a_n) или (a₁,a₂,…,a_n) → (λa₁, λ^-1a₂,…,a_n) (k и λ – произвольные числа, λ ≠ 0) называются элементарными.

Замечания. 1) роль первого и второго векторов чисто случайна; 2) при элементарных преобразованиях линейная зависимость не нарушается, т.е. базис переходит в базис; 3) при элементарных преобразованиях сохраняется объём параллелепипеда, построенного на векторах базиса.


Лемма 1. Если базис b₁,…b_n получен из a₁,…a_n элементарным преобразованием, то базис a деформируется в базис b.

Доказательство. Если элементарное преобразование первого типа, то деформацию можно определить формулами

a₁(t) = a₁ + tka₂, a₂(t) = a₂,. . . ,a_n(t) = a_n.

Если элементарное преобразование второго типа и λ > 0, то положим

a₁(t) = (1 + t(λ – 1))a₁, a₂(t) = (1 + t(λ^-1 – 1))a₂,…,a_n(t) = a_n.

При λ < 0 разложим такое элементарное преобразование второго типа в композицию

(a₁,a₂,…,a_n) → (‌‌‌‌λa₁, λ^-1a₂,…,a_n) и (a₁,a₂,…,a_n) → (-a₁,-a₂,a₃…,a_n).

Первое из этих преобразований - это уже рассмотренный случай,

а для второго положим

a₁(t) = сos(t)a₁ – sin(t)a₂ a₁(t) = sin(t)a₁ + сos(t)a₂,…,a_n(t) = a_n

Определение 2. Два базиса называются унимодулярно эквивалентными, если от одного к другому можно перейти цепочкой элементарных преобразований.

(Очевидно, отношение унимодулярной эквивалентности есть действительно отношение эквивалентности, т.е. рефлексивно, симметрично и транзитивно).

Следствие. Унимодулярно эквивалентные базисы деформируемы.

Лемма 2. Базис b₁,b₂,…,b_n унимодулярно эквивалентен базису

(det C)a₁,a₂,…,a_n, где b = aС.

Доказательство. Элементарные преобразования базиса b соответствуют элементарным преобразованиям столбцов матрицы перехода C. Но, как известно из курса алгебры, элементарными преобразованиями столбцов всякую невырожденную матрицу C можно привести к диагональному виду

det C	0	0	…	0
0	1	0	…	0
0	0	1	…	0
…	…	…	…	…
0	0	0	…	1

.


Полученная матрица означает переход к базису (det C)a₁,a₂,…,a_n, следовательно, элементарными преобразованиями базис b переводится в указанный базис.

Замечание. Матрицы перехода, отвечающие элементарным преобразованиям, имеют вид

1	0	0	…	0		λ	0	0	…	0
k	1	0	…	0		0	λ-1	0	…	0
0	0	1	…	0	и	0	0	1	…	0
…	…	…	…	…		…	…	…	…	…
0	0	0	…	1		0	0	0	…	1

и равный 1 определитель. Композиции элементарных преобразований отвечает произведение матриц перехода, значит, для унимодулярно эквивалентных базисов матрица перехода имеет равный 1 определитель. Обратное утверждение следует из леммы 2.

Закончим доказательство теоремы.

Пусть базисы a₁,a₂,…,a_n и b₁,b₂,…,b_n одноимённы, т.е. det C > 0 .

Тогда базис b₁,b₂,…,b_n деформируется в базис (det C)a₁,a₂,…,a_n в силу леммы 2, а последний деформируется в a₁,a₂,…,a_n при помощи отображения

a₁(t) = (1+ t(det C – 1))a, a₂(t) = a₂, . . . , a_n(t) = a_n (поскольку det C > 0, коэффициент при a₁ в ноль на отрезке [0;1] не обращается). Теорема доказана.

Теперь можно сказать, что ориентации линейного (или аффинного) пространства – это в точности классы одноимённых базисов (координатных систем). Поэтому ориентаций в точности 2, они называются противоположными. Базисы (или координатные системы), задающие одну и ту же ориентацию, называются одинаково ориентированными (одинаково ориентированные – значит одноимённые). Пространство, в котором выбрана ориентация, называется ориентированным. Считается, что выбрав в пространстве базис, мы уже выбрали ориентацию. Автоморфизмом ориентированного линейного (аффинного) пространства называется всякий сохраняющий ориентацию автоморфизм линейного (аффинного) пространства. Последнее требование равносильно тому, что для любого положительно ориентированного базиса матрица автоморфизма имеет положительный определитель.